专题13 全等三角形的应用- 七年级数学下册强化巩固专题知识(北师大版)

专题13 全等三角形的应用
教师讲义
一、上节课作业检查及纠错
二、上节课内容再现
三角形全等的判定：
（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
三、巩固练习(10min)
1、如图△ABC≌△BAD，若AB=9，BD=8，AD=7，则BC的长为（）
A、9
B、8
C、7
D、6
2、如图所示，点E在AC上，AB=AD，BC=DC，则图中全等的三角形有（）
A、1对
B、2对
C、3对
D、4对
3、如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2，∠C=50°，求∠B．
4、如图中的△BDC′是将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠到的．则图中（包括虚，实线）共有几对全等三角形并对其证明
5、已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，问ABD ≌⊿ACE .吗？为什么？
四、知识点梳理
作三角形
1、 作三角形的依据
（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。

（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”） （3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”） （4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”） 根据全等的判定及性质作图 2、已知三角形两边及其夹角
作法：（1）做一条线段BC =a
(2)以B 为顶点，以BC 为一边，作∠DBC =∠a （3）在线段BD 上截取线段BA=c （4）连接AC 、ΔABC 就是所要求作的图形
A
D
E
B
C
1 2
3、已知两角及其夹边
作法：
（1）作一条线段AB
（2）分别以A、B两点为角的顶点，以射线AB和射线BA为一边在线段AB的同侧作两个角,使他们分别等于两个已知角，这两个角的另一边交于C点，
则：△ABC就是求作的三角形
五、讲练结合
【例1】用尺规作图，下列条件中可能作出两个不同的三角形的是（）
A、已知三边
B、已知两角及夹边
C、已知两边及夹角
D、已知两边及其中一边的对角
【同步练习】
1、利用尺规作图，在下列条件中不能作出惟一直角三角形的是（）
A、已知两个锐角
B、已知一直角边和一个锐角
C、已知两条直角边
D、已知一个锐角和斜边
2、根据下列已知条件，能画出惟一的△ABC的是（）
A、AB=3cm，BC=7cm，AC=4cm
B、AB=3cm，BC=7cm，∠C=40°
C、∠A=30°，AB=3cm，∠B=100°
D、∠A=30°，∠B=100°，∠C=50°
【例2】已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是（）
A、平分已知角
B、作已知直线的垂线
C、作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D、作已知直线的平行线
【同步练习】
3、如图所示，小敏做《典中点》中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是（）
A、SSS
B、SAS
C、ASA
D、AAS
【例3】如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出（）个
A 、2
B 、4
C 、6
D 、8
【同步练习】
4、已知线段a ，b 和m ，求作△ABC ，使BC=a ，AC=b ，BC 边上的中线AD=m ，作法合理的顺序依次为（ ） ①延长CD 到B ，使BD=CD ；②连接AB ；③作△ADC ，使DC=12
a ，AC=
b ，AD=m ． A 、③①②
B 、①②③
C 、②③①
D 、③②①
5、已知∠a 和线段m ，n ，求作△ABC ，使BC=m ，AB=n ，∠ABC=∠α，作法的合理顺序为 （填序号1，2等即可）．
①在射线BD 上截取线段BA=n ；②作一条线段BC=m ；③以B 为顶点，以BC 为一边，作角∠DBC=∠α；④连接AC ，△ABC 就是所求作的三角形． 【例4】如图，使用直尺作图，看图填空：
（1）过点 和 作直线AB ； （2）连接线段 ；
（3）以点 为端点，过点 作射线 ； （4）延长线段 到 ，使BC=2AB ． 【同步练习】
6、如图，使用圆规作图，看图填空：
（1）在射线AM 上 线段 = ；
（2）以点 为圆心，以线段 为半径作弧 交于点 ；
（3）分别以点 和点 为圆心，以大于1
2
PQ 的长为半径作弧，两弧分别交于点 和点 （4）以点 为圆心，以任意长 为半径作弧 ，分别交∠AOB 两边，于点 ，点 ． 【例5】如图所示，△ABC 中，a=5cm ，b=3cm ，c=3.5cm ，∠B=36°，∠C=44°，•请你从中选择适当的数据，画出与△ABC 全等的三角形，不写画法，但要在所画的三角形中标出用到的数据，并说明符合条件的三角形共有多少个．
【同步练习】
7、如图所示，已知线段a及线段m，n，（n<m），求作：△ABC，使BC=a，BC边上中线和高分别为m和n．
【例6】如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB=9cm，则容器的内径A′B′为（）
A、8cm
B、9cm
C、10cm
D、11cm
【同步练习】
8、如图所示，已知∠1=∠2，∠C=∠D，AC=3，BC=2，求AD+BD的值
9、把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，求垂足之间的距离DE的长
【例7】如图所示，AB∥CD，E，F是BD上的两点，且AE∥CF，BF=DE，AE=5cm，求CF
【同步练习】
10、如图所示，△ABC≌△DEF，AD=10cm，BE=6cm，求AE的长
【例8】如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，因无法直接量出A，B两点的距离，请你设计一种方案，求出A，B的距离，并说明理由．
【例9】为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：
（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP并延长到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；
（2）如图所示，也可先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C，D•两点，•使BC=CD．接着过点D作BD的垂线DE交AC的延线长于E，则测出DE的长即为A，B的距离．•你认为这种方案是否切实可行，请说出你的理由．作BD ⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？为什么？
【同步练习】
11、如图所示，小王想测量小口瓶下半部的内径，他把两根长度相等的钢条AA′，BB′的中点连在一起，A，B两点可活动，使M，N卡在瓶口的内壁上，A′，B•′卡在小口瓶下半部的瓶壁上，然后量出AB的长度，就可量出小口瓶下半部的内径，请说明理由．
六、课堂小结
学生总结，老师补充
七、家庭作业
一、选择题
1、根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）
A．用尺规作一条线段等于已知线段； B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角； D．不能确定
2、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）
A．作一条线段等于已知线段
B．作一个角等于已知角
C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角
D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角
3、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）
A、带①去
B、带②去
C、带③去
D、带①和②去
4、如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）
A、边角边
B、角边角
C、边边边
D、角角边
5、如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离（）
A、大于100m
B、等于100m
C、小于100m
D、无法确定
6、如图所示，∠BAC=90°，AB=AC，过点A任意作一直线DE，且作CE⊥ED，BD⊥ED，经测量CE=2cm，BD=4cm，则DE的长为（）
A、2cm
B、4cm
C、6cm
D、8cm
二、填空题
7、已知∠A和线段AB，要作一个唯一的△ABC，还需给出一个条件是
8、用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是
9、已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是
10、如图所示，P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则PD与PE的大小关系是．
11、利用全等三角形测距离，其结论依据是．
三、解答题
12、如图所示，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，BD=7cm，求CE．
13、如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是多少？
14、某铁路施工队在建设铁路的过程中要打通一座小山，需要测量隧道AB的长，恰好山的周围是宽阔的平地．请你利用三角形全等的知识帮助测量人员测量出AB的长，简要说明测量的方法，画出测量方案，说明方案合理的理由．
15、请用三角形全等的知识自行设计一种如图所示测量池塘两端A、B的距离的方案，并加以证明
附答案
【例题】答案
1、D
2、C
3、B
4、（1）A，B （2）AB （3）O，A，OA （4）AB，C
5、共6个，如图所示:
6、B
7、解：∵BF=DE ∴BE=DF
....
3.5
5
A2
B2C2
C1
B1
A1
36
5
3.53
∴AE=（10﹣6）÷2=2cm．
11、因为△A′OB′≌△AOB，所以AB=A′B′
【家庭作业】答案
1、C
2、D
3、C
4、A
5、B
6、C
7、已知AC（或∠B）
8、SAS
9、SSS．
10、PD=PE
11、全等三角形的对应边也相等
12、解：∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAD=∠CAE
∵AB=AC，AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE=7cm．
13、解：∵∠C=90°，AM平分∠CAB，
∴M到AB的距离等于CM=20cm．
14、解：①找个能同时看见A点和B点的C点，
然后连接AC并延长止D，使AC=DC；
②连接BC并延长止E，使BC=EC，测量DE长度，即为AB的距离．
∵AC=CD，BC=CE，∠ACB=∠DCE，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=DE．
15、解：在平地上选取一个可直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长，就是A，B的距离．
证明：
∵CD=CA，EC=BC；
又∵∠ACB=∠DCE，
在△ACB和△DCE中；
∴△ACB≌△DCE（SAS），∴AB=DE．
测量AB的距离测量DE即可．。