高考数学二轮复习 第一部分 专题一 融会贯通 第2讲 分类讨论、转化与化归思想课件 理

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所以 a＝2 3. 综上所述，a＝2 2或 a＝2 3. 答案：(1)12或32 (2)2 2或 2 3
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应用 3 由变量或参数引起的分类讨论 【例 3】 (2018·北京卷)设函数 f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋ 3a＋2]ex. (1)若曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为 0，求 a； (2)若 f(x)在 x＝1 处取得极小值，求 a 的取值范围． 解：(1)由 f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex， 得 f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex， 所以 f′(2)＝(2a－1)e2. 由题设知 f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得 a＝12.
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解析：(1)设 y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1， 则 f(t)是一次函数，当 t∈[－2，2]时，f(t)＞0 恒成立， 则ff（（2－）2＞）＞0，0，即（（lloogg22xx））22－－41l＞og02，x＋3＞0， 解得 log2x＜－1 或 log2x＞3，即 0＜x＜12或 x＞8， 故实数 x 的取值范围是0，12∪(8，＋∞)． (2)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若 g(x)在区间(t，3)上总 为单调函数，
综上可知，a1＝32或 a1＝6. 答案：(1)14 (2)32或 6
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[探究提高] 1．指数函数、对数函数的单调性取决于底数 a，因 此，当底数 a 的大小不确定时，应分 0＜a＜1，a＞1 两种 情况讨论． 2．利用等比数列的前 n 项和公式时，若公比 q 的大 小不确定，应分 q＝1 和 q≠1 两种情况进行讨论，这是由 等比数列的前 n 项和公式决定的．
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[变式训练] 已知 f(x)＝x－aex(a∈R，e 为自然对数 的底)．
(1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若 f(x)≤e2x 对 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：(1)f′(x)＝1－aex， 当 a≤0 时，f′(x)＞0，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞) 上单调递增； 当 a＞0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝－ln a，
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[探究提高] 1．参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行 讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．本题中参数 a 与自变量 x 的取值影响导数的符号应进行讨论． 2．如果涉及的参数有明确的几何意义，在进行讨论 时，注意数形结合思想的直观性，分类讨论要标准明确， 层次分明，做到不重不漏．
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应用 1 正与反、常量与变量的转化 【例 1】 (1)设 y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若 t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则 x 的取值范围是 ________________． (2)若对于任意 t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2 －2x 在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范 围是________________．
(2)作出不等式组xy≥≥20x，，
表示的可行域如图阴
kx－y＋1≥0
影部分所示．
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由图可知，若要使不等式组yx≥≥20x，，
表示的平面
kx－y＋1≥0
区域是直角三角形，只有当直线 y＝kx＋1 与 y 轴或 y＝
2x 垂直时才满足．
结合图形可知斜率 k 的值为 0 或－12.
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(2)由(1)得 f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex. 若 a>1，则当 x∈1a，1时，f′(x)<0； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值． 若 a≤1，则当 x∈(0，1)时，ax－1≤x－1<0， 所以 f′(x)>0. 所以 1 不是 f(x)的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．
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所以 a2＝2k＋12(k∈Z)，k 只能取 0，此时 a2＝12，
因为－1＜a＜0，所以
a＝－
2 2.
所以实数
a
的所有可能取值的集合为－
22，1.
答案：(1)－63
(2)－
22，1
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应用 2 由图形位置或形状引起的分类讨论 【例 2】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)设 A，B 是椭圆 C：x32＋ my2＝1 长轴的两个端点．若 C 上存在点 M 满足∠AMB＝ 120°，则 m 的取值范围是( ) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0， 3 ]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0， 3 ]∪[4，＋∞)
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应用 1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论 【例 1】 (1)若函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2] 上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)＝(1－4m) x在 [0，＋∞)上是增函数，则 a＝________． (2)在等比数列{an}中，已知 a3＝32，S3＝92，则 a1＝ ________．
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x≥0， (2)已知变量 x，y 满足的不等式组y≥2x， 表示的
kx－y＋1≥0 是一个直角三角形围成的平面区域，则实数 k 等于( )
A．－12
1 B.2
C．0
D．－12或 0
解析：(1)当 0＜m＜3 时，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，
要使 C 上存在点 M 满足∠AMB＝120°，
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所以 cos A＝± 1－sin2A＝± 1－89＝±13. ①当 cos A＝13时，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×13＝8， 所以 a＝2 2. ②当 cos A＝－13时，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×－13＝12，
专题 一 (zhuāntí) 融会贯通——领悟四种数学思想
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第 2 讲 分类讨论、转化与化归思想
一 分类讨论思想 分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究 时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对 每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结 果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为 零，各个击破，再积零为整”的数学思想．
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所以 g(x)在(0，＋∞)上单调递减．所以 g(x)max＝g(0) ＝－1，
所以 a≥－1. 故 a 的取值范围是[－1，＋∞)．
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二 转化与化归思想 转化与化归思想方法就是在研究和解决有关数学问 题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决 问题的一种思想．其应用包括以下三个方面： (1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题； (2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题； (3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
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所以函数 f(x)在(－∞，－ln a)上单调递增， 在(－ln a，＋∞)上单调递减． (2)f(x)≤e2x⇔a≥exx－ex， 设 g(x)＝exx－ex，则 g′(x)＝1－ee2xx－x. 当 x＜0 时，1－e2x＞0，g′(x)＞0， 所以 g(x)在(－∞，0)上单调递增． 当 x＞0 时，1－e2x＜0，g′(x)＜0，
则ab≥tan 60°＝
3，即
3≥ m
3，解得 0＜m≤1.
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当 m＞3 时，椭圆 C 的焦点在 y 轴Байду номын сангаас，
要使 C 上存在点 M 满足∠AMB＝120°，
则ab≥tan 60°＝
3，即
m≥ 3
3，所以 m≥9，
综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)．
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则①g′(x)≥0 在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(t， 3)上恒成立．
由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2x－3x. 当 x∈(t，3)时恒成立，所以 m＋4≥2t －3t 恒成立， 则 m＋4≥－1，即 m≥－5； 由②得 m＋4≤2x－3x，当 x∈(t，3)时恒成立，则 m ＋4≤23－9，即 m≤－337.
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解析：(1)因为 Sn＝2an＋1， 当 n＝1 时，a1＝2a1＋1，解得 a1＝－1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)， 所以 an＝2an－1(n≥2)．
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因此数列{an}是以－1 为首项，以 2 为公比的等比数列． 则 an＝－2n－1，a6＝－25＝－32. 所以 S6＝2a6＋1＝2×(－32)＋1＝－63. (2)f(1)＝e0＝1，即 f(1)＝1. 由 f(1)＋f(a)＝2，得 f(a)＝1. 当 a≥0 时，f(a)＝1＝ea－1，所以 a＝1. 当－1＜a＜0 时，f(a)＝sin(πa2)＝1， 所以 πa2＝2kπ＋π2(k∈Z)．
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当 q≠1 时，由 a3＝32，S3＝92，
得a1q2＝32，
①
a1（1＋q＋q2）＝92， ②
由①②，得1＋qq＋ 2 q2＝3，即 2q2－q－1＝0，
解得 q＝－12或 q＝1(舍去)．当 q＝－12时，a1＝aq32＝6，
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若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2| ＝3t＝2c，e＝ac＝22ac＝36tt＝12；
若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝ac＝22ac＝32tt＝32. 所以曲线 C 的离心率为12或32. (2)由三角形面积公式，得12×3×1·sin A＝ 2， 故 sin A＝232.因为 sin2A＋cos2A＝1，
(2)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a， b，c 且 b＝3，c＝1，△ABC 的面积为 2，则 a 的值为 ________．
解析：(1)不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t， 其中 t≠0.
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解析：(1)若 a＞1，有 a2＝4，a－1＝m，解得 a＝2， m＝12.
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此时 g(x)＝－ x为减函数，不合题意． 若 0＜a＜1，有 a－1＝4，a2＝m，解得 a＝14，m＝116， 检验知符合题意． 所以 a＝14. (2)当 q＝1 时，a1＝a2＝a3＝32，S3＝3a1＝92，显然成 立．
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[变式训练] (1)(2018·全国卷Ⅰ)记 Sn为数列{an}的前 n 项和．若 Sn＝2an＋1，则 S6＝________．
(2)函数 f(x)＝seixn－（1，πxx≥2）0，. －1＜x＜0，若 f(1)＋f(a) ＝2，则 a 的所有可能取值的集合是________．
答案：(1)A (2)D
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[探究提高] 1．圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分 类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来 分类讨论． 2．相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位 置不同、大小差异等来分类讨论．
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[变式训练] (1)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1， F2，若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶ 3∶2，则曲线 C 的离心率等于________．