山东高考数学一轮总复习学案设计-第二章第一讲函数及其表示含答案解析

第二章函数、导数及其应用
第一讲
函数及其表示
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一函数的概念及表示
1．函数与映射的概念
函数映射两集合
A，B
设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合
对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，
使对于集合A中的任意一个数x，
在集合B中有唯一的数f(x)和它
对应
如果按某一个确定的对应关系f，
使对于集合A中的任意一个元素
x在集合B中有唯一的元素y与之
对应
名称称对应f：A→B为从集合A到集
合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集
合B的一个映射
记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则.
(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.
(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．
知识点二分段函数及应用
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
重要结论
1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；
(2)映射的两个特征：
第一，在A中取元素的任意性；
第二，在B中对应元素的唯一性；
(3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．
2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
双基自测
题组一 走出误区
1．(多选题)下列判断不正确的为( ABC ) A ．函数f (x )的图象与直线x ＝1的交点只有1个 B ．已知f (x )＝m (x ∈R )，则f (m 3)等于m 3 C ．y ＝ln x 2与y ＝2ln x 表示同一函数
D ．f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋1，－1≤x ≤1，
x ＋3，x >1或x <－1，
则f (－x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋1，－1≤x ≤1，
－x ＋3，x >1或x <－1
题组二 走进教材
2．(必修P 23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] ①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．
3．(必修1P 24T4改编)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( D ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg
132
D ．15
lg 2
[解析] 解法一：由题意知x >0，令t ＝x 5，则t >0，x ＝t 1
5，
∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ，即f (x )＝1
5lg x (x >0)，
∴f (2)＝1
5
lg 2，故选D ．
解法二：令x 5＝2，则x ＝215，∴f (2)＝lg 215＝1
5
lg 2.故选D ．
4．(必修1P 25BT1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；值域是[1,5]；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5].
题组三 考题再现
5．(2019·江苏，5分)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是[－1,7].
[解析] 要使函数有意义，则7＋6x －x 2>0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]．
6．(2015·陕西，5分)设f (x )＝⎩⎨⎧
1－x ，x ≥0，
2x ，x <0，
则f [f (－2)]＝( C )
A ．－1
B ．14
C ．12
D ．32
[解析] ∵f (－2)＝2－
2＝14，
∴f [f (－2)]＝f (1
4)＝1－
14＝1
2
，故选C ．
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究
考点一 函数的概念及表示
考向1 函数与映射的概念——自主练透
例1 (1)下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？ ①A ＝{1,2,3}，B ＝R ，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4. ②A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y ，y 2＝4x . ③A ＝N ，B ＝Q ，f ：x →y ＝1x
2.
④A ＝{衡中高三·一班的同学}，B ＝[0,150]，f ：每个同学与其高考数学的分数相对应． (2)(多选题)(2020·河南安阳模拟改编)设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( BC )
(3)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？ ①f 1：y ＝x
x ；f 2：y ＝1；f 3：y ＝x 0.
②f 1：y ＝
x 2；f 2：y ＝(
x )2；f 3：y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，x >0，－x ，x <0.
③f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x ≤1，2，1<x <2，
3，x ≥2.
f 2：
x x ≤1 1<x <2 x ≥2 y
1
2
3
f 3：
[解析] (1)①是映射，也是函数；
②不是映射，更不是函数，因为从A 到B 的对应为“一对多”； ③当x ＝0时，与其对应的y 值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A 不是数集．
(2)A 图象不满足函数的定义域，不正确；B 、C 满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D 不满足函数的定义，故选B 、C ．
(3)①中f 1的定义域为{x |x ≠0}，f 2的定义域为R ，f 3的定义域为{x |x ≠0}，故不是同一函数； ②中f 1的定义域为R ，f 2的定义域为{x |x ≥0}，f 3的定义域为{x |x ≠0}，故不是同一函数； ③中f 1，f 2，f 3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数． [答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (3)不同函数①②；同一函数③
名师点拨 ☞ 1．映射与函数的含义
(1)映射只要求第一个集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与之对应；至于B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射f ：A →B 中的A ，B 为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数．
2．判断两个函数是否相同的方法
(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数． 考向2 求函数的解析式——师生共研
例2 已知f (x )满足下列条件，分别求f (x )的解析式． (1)已知f (x －1)＝x －2x ，求f (x )；
(2)函数f (x )满足方程2f (x )＋f (1
x
)＝2x ，x ∈R 且x ≠0.求f (x )；
(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；
(4)已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式． [分析] (1)利用换元法，即设t ＝x －1求解； (2)利用解方程组法，将x 换成1
x 求解；
(3)已知函数类型，可用待定系数法； (4)由于变量较多，可用赋值法求解．
[解析] (1)解法一：设x －1＝t (t ≥－1)，∴x ＝t ＋1，x ＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，∴f (t )＝t 2
＋2t ＋1－2(t ＋1)＝t 2－1，
∴f (x )＝x 2－1(x ≥－1)．
解法二：由f (x －1)＝x －2x ＝(x －1)2－1，∵x ≥0，∴x －1≥－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥－1)．
(2)因为2f (x )＋f (1
x )＝2x ，①
将x 换成1x ，则1
x 换成x ，
得2f (1x )＋f (x )＝2
x
.②
由①②消去f (1x )，得3f (x )＝4x －2x .
所以f (x )＝43x －2
3x
(x ∈R 且x ≠0)．
(3)(待定系数法)因为f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17. 即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，
因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝7.
故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7.
(4)令x ＝0，得f (－y )＝f (0)－y (－y ＋1)＝1＋y 2－y ， ∴f (y )＝y 2＋y ＋1，即f (x )＝x 2＋x ＋1.
名师点拨 ☞
函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，即令t ＝g (x )，反解出x ，代入原式可得f (t )，改写即得f (x )．此时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1
x )或f (－x )等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一
个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
(5)赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式． 〔变式训练1〕
(1)已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝1－x 2，x ∈[－1,1].
(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝12x 2＋1
2x (x ∈R ).
(3)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x (x ＋1)
2
.
[解析] (1)(换元法)设cos x ＝t ，t ∈[－1,1]， ∵f (cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ， ∴f (t )＝1－t 2，t ∈[－1,1]． 即f (x )＝1－x 2，x ∈[－1,1]． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)． 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，
得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，
解得a ＝b ＝12.
所以f (x )＝12x 2＋1
2
x (x ∈R )．
(3)(转换法)当－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，
故f (x ＋1)＝(x ＋1)(1－x －1)＝－x (x ＋1)，又f (x ＋1)＝2f (x )， 所以当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x (x ＋1)
2
.
考点二 分段函数及应用——多维探究
角度1 分段函数求值问题
例3 (2020·山西太原期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(12)x ，x ≥2，
f (x ＋1)，x <2，则f (lo
g 23)＝( A )
A ．1
6
B ．3
C ．13
D ．6
[解析] ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(12)x ，x ≥2，
f (x ＋1)，x <2，
∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝(12)log 23＋1＝(12)log 1213×12＝13×12＝1
6.故选A ．
角度2 分段函数与方程的交汇问题
例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0.
若f (1)＋f (a )＝2，则a ＝1或－2
2.
[解析] 由于f (1)＝e 1－1＝1，再根据f (1)＋f (a )＝2得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝e a －
1＝1，解得a ＝1；当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，解得a 2＝12＋2k ，k ∈Z .由－1<a <0，得a ＝－2
2.
综上，a ＝1或－
2
2
. 角度3 分段函数与不等式的交汇问题
例5 (2018·全国Ⅰ，12)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2－
x ，x ≤0，1，x >0，
则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 取值范
围是( D )
A ．(－∞，－1]
B ．(0，＋∞)
C ．(－1,0)
D ．(－∞，0)
[解析]
画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知：
①当x ＋1≥0且2x ≥0，即x ≥0时，f (2x )＝f (x ＋1)，不满足题意； ②当x ＋1>0且2x <0，即－1<x <0时，f (x ＋1)<f (2x )显然成立；
③当x ＋1≤0时，x ≤－1，此时2x <0，若f (x ＋1)<f (2x )，则x ＋1>2x ，解得x <1.故x ≤－1.
综上所述，x 的取值范围为(－∞，0)．
名师点拨 ☞
分段函数问题的求解策略
(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．
(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·江西抚州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －2
2m ＋
1，x ≤3，log 2
(x －3)，x >3，其中m ∈R ，则f (3＋
4m )＝( A )
A ．2m
B ．6
C ．m
D ．2m 或6
(2)(角度2)(2020·安徽江淮十校联考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －
1－2，x ≤1，
－log 2(x ＋1)，x >1，
且f (a )＝－2，则f (4－a )
＝( C )
A ．－4
B ．－2
C ．－1
D ．0
(3)(角度3)(2017·课标全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1
2)>1的x 的
取值范围是(－1
4
，＋∞).
[解析] (1)因为3＋4m >3，所以f (3＋4m )＝log 24m ＝2m ，故选A ．
(2)当a ≤1时矛盾；当a >1时，令－log 2(a ＋1)＝－2得a ＝3，∴f (4－a )＝f (1)＝－1，故选C ．
(3)当x >12时，x －12>0，f (x )>212＝2，f (x －12)>20＝1，∴f (x )＋f (x －12)>1，在x >1
2时恒成立，
当0<x ≤12时，x －1
2≤0，
f (x )＋f (x －12)＝2x ＋(x －1
2
)＋1>1，
当x ≤0时，x －12<0，此时f (x )＋f (x －12)＝x ＋1＋(x －12)＋1＝2x ＋3
2，
令f (x )＋f (x －12)>1，则有2x ＋32>1，∴x >－1
4，
当－14<x ≤0时，有f (x )＋f (x －1
2)>1恒成立，
综上，当x >－14时，f (x )＋f (x －1
2)>1恒成立．
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升
数学抽象——函数新定义问题中的核心素养
例6 设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )
成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f (x )＝x 2；②f (x )＝1
x －1；③f (x )＝ln(2x ＋3)；
④f (x )＝2x －2－
x ；⑤f (x )＝2sin x －1. 其中是“美丽函数”的序号有②③④.
[解析] 由已知，在函数定义域内，对任意的x 都存在着y ，使x 所对应的函数值f (x )与y 所对应的函数值f (y )互为相反数，即f (y )＝－f (x )．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数的值域为R ，值域关于原点对称，故④符合题意；⑤中函数f (x )＝2sin x －1的值域为[－3,1]，不关于原点对称，故⑤不符合题意．
名师点拨 ☞
以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．
〔变式训练3〕
定义a ☆b ＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ·
b ，a ·b ≥0，a b ，a ·b <0，设函数f (x )＝ln x ☆x ，则f (2)＋f (1
2)＝( D )
A ．4ln 2
B ．－4ln 2
C ．2
D ．0
[解析] 2×ln 2>0，所以f (2)＝2×ln 2＝2ln 2.因为12×ln 12<0，所以f (1
2)＝ln 1
2
1
2＝－2ln 2.则
f (2)＋f (1
2
)＝2ln 2－2ln 2＝0.。