2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：54 抛物线 Word版含解析

课时作业54 抛物线
一、选择题
1．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为( A )
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(1,0)
D ．(2,0)
解析：由抛物线x 2
＝2py (p >0)的准线为y ＝－p
2＝－1，得p ＝2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．
2．(2019·河北五名校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( B )
A ．y 2＝－12x
B ．y 2＝－8x
C ．y 2＝－6x
D ．y 2＝－4x
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 2
2＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.
3．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若△QAF 的面积为2，则点P 的坐标为( A )
A ．(1,2)或(1，－2)
B ．(1,4)或(1，－4)
C ．(1,2)
D ．(1,4)
解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以1
2×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．
4．(2019·福州四校联考)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，M 为抛物线C 准线上一点，则△ABM 的面积为( A )
A ．16
B ．18
C ．24
D ．32
解析：不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，如图，因为直线l 过抛物线C 的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB 为通径，所以2p ＝8，p ＝4，又M 为抛物线C 的准线上一点，所以点M 到直线AB 的距离即焦点到准线的距离，为4，所以△ABM 的面积为1
2×8×4＝16，故选A.
5．(2019·陕西质量检测)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( B )
A.43 B ．－4
3 C ．±43
D ．－169
解析：将y ＝1代入y 2
＝4x ，可得x ＝14，即A (1
4，1)．由抛物线的
光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－0
1
4－1＝－4
3.故选B.
6．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点N 在x 轴上且在点F 的右侧，线段FN 的垂直平分线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，直线MN 的倾斜角为135°，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率为( A )
A ．22－2
B ．22－1 C.2－1
D ．32－4
解析：解法1：设点M (m 2
2p ，m )(m >0)，因为点M 在FN 的垂直平分线上且点N 在焦点F 的右侧，所以N (2m 2－p 2
2p ，0)，又MN 的倾斜角为135°，所以2pm
p 2－m 2＝－1，解得m ＝(2＋1)p ，所以点M (3＋222
p ，(2＋1)p )，所以直线OM 的斜率为2(2＋1)
3＋22
＝22－2，故选A.
解法2：如图，设直线L 为抛物线的准线，过点M 向准线引垂线，垂足为A ，交y 轴于点B ，设|MF |＝t ，因为点M 在FN 的垂直平分线上，且直线MN 的倾斜角为135°，所以直线MF 的倾斜角为45°，由抛物线的定义得t ＝|MA |＝p ＋22t ，即t ＝2p 2－1＝(2＋2)p ，所以|OB |
＝22t ＝(2＋1)p ，|BM |＝t －p 2＝(3＋22)p 2，设直线OM 的倾斜角为θ，则∠OMB ＝θ，所以直线OM 的斜率为tan θ＝|OB ||MB |＝2(2＋1)3＋22＝22－
2，故选A.
7．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( B )
A ．y 2＝3
2x B ．y 2＝3x C ．y 2
＝9
2x
D ．y 2＝9x
解析：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，
设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ， 由抛物线的定义得，|BD |＝a ， 故∠BCD ＝30°，
在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，
所以6＝3＋3a ，从而得a ＝1， 因为BD ∥FG ，所以|DB ||FG |＝|BC ||FC |. 即1p ＝23，解得p ＝32， 因此抛物线方程为y 2＝3x . 二、填空题
8．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为1
2，则点P 到x 轴的距离为2.
解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝1
2
，解得x P ＝1，
所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.
9．(2019·合肥市质量检测)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线PQ ，
垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为(4,4)．
解析：设P (x ，y )，其中x >0，y >0，由抛物线的定义知|PF |＝|PQ |＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|QA |＝y ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x ＋1)＋2＋y ＝16，y 2＝4x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝9，y ＝－6
(舍去)． 所以点P 的坐标为(4,4)．
10．(2019·潍坊市统一考试)已知抛物线y 2＝4x 与直线2x －y －3＝0相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，则1k 1＋1k 2
的值为12.
解析：设A (y 2
14，y 1)，B (y 22
4，y 2)，易知y 1y 2≠0，则k 1＝4y 1，k 2＝4y 2
，
所以1k 1＋1k 2
＝y 1＋y 2
4，
将x ＝y ＋3
2代入y 2＝4x ，得y 2－2y －6＝0， 所以y 1＋y 2＝2，1k 1
＋1k 2
＝1
2.
三、解答题
11．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.
(1)求直线l 的方程；
(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，抛物线的准线与x 轴的交点为E ，求证：B ，D ，E 三点共线．
解：(1)F 的坐标为(1,0)，则l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，
由题意知k ≠0，且[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4
k 2，x 1x 2＝1，
由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，
∴2k 2＋4
k 2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．
(2)证明：由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，又E (－1,0)，
∴k EB －k ED ＝y 2x 2＋1－－y 1x 1＋1
＝
y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)
(x 1＋1)(x 2＋1)
，
y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)＝y 2(y 214＋1)＋y 1(y 224＋1)＝y 1y 2
4(y 1＋y 2)＋(y 1＋y 2)
＝(y 1＋y 2)(y 1y 2
4＋1)．
由(1)知x 1x 2＝1， ∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 又y 1与y 2异号，∴y 1y 2＝－4， 即y 1y 2
4＋1＝0，∴k EB ＝k ED ， 又ED 与EB 有公共点E ， ∴B ，D ，E 三点共线．
12．(2019·洛阳高三统考)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p
2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB |
|CD |＝( A )
A ．16
B ．4 C.83
D.53
解析：解法1：因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆
心)，故|BF |＝|CF |＝p
2，
所以|AB ||CD |＝|AF |－p 2|DF |－p 2
.
由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p
2＝x D .
由⎩⎪⎨⎪⎧
4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px
整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0， 即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8， 故|AB ||CD |＝x A x D
＝2p
p 8
＝16.故选A.
解法2：同解法1得|AB |
|CD |＝
|AF |－p 2
|DF |－p 2. 过A ，D 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，D 1，该直线AF 交准线于点E ，准线交x 轴于点N ，则由FN ∥AA 1
得|EF ||EA |＝|NF ||AA 1
|，
由直线AF 的斜率为43得tan ∠A 1AF ＝4
3， 故|AA 1||AE |＝3
5.又|AA 1|＝|AF |， 故|NF ||AA 1
|＝|EF ||EA |＝25，
所以|AF |＝|AA 1|＝52|NF |＝5
2p .
同理可得|DD 1||NF |＝|ED |
|EF |，又|DD 1|＝|DF |，
所以|DD 1||NF |＝5
3|NF |－|DD 1|
5
3|NF |， 故|DF |＝|DD 1|＝58|NF |＝5
8p ， 故|AB ||CD |＝52p －p 2
58p －p 2＝2
18
＝16.故选A.
13．(2019·河北名校联考)如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝10.
解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p
2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.
14．(2019·惠州市调研考试)在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2,0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
(1)求证：y 1y 2为定值；
(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由．
解：(1)证法1：当直线AB 垂直于x 轴时，不妨取y 1＝22，y 2
＝－22，所以y 1y 2＝－8(定值)．
当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，
得ky 2－4y －8k ＝0， 所以y 1y 2＝－8.
综上可得，y 1y 2＝－8为定值． 证法2：设直线AB 的方程为my ＝x －2.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
my ＝x －2，y 2＝4x 得y 2－4my －8＝0， 所以y 1y 2＝－8.
因此有y 1y 2＝－8为定值． (2)存在．理由如下：
设存在直线l ：x ＝a 满足条件， 则AC 的中点E (x 1＋22，y 1
2)， |AC |＝(x 1－2)2＋y 21， 因此以AC 为直径的圆的半径 r ＝12|AC |＝12(x 1－2)2＋y 2
1＝12x 21＋4， 点E 到直线x ＝a 的距离d ＝|x 1＋2
2－a |， 所以所截弦长为2r 2－d 2 ＝2
14(x 21＋4)－(x 1＋22
－a )2
＝x 21＋4－(x 1
＋2－2a )2
＝－4(1－a )x 1＋8a －4a 2，
当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线的方程为x ＝1.
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＋(y －12)2＝8，抛物线E ：
x 2＝2py (p >0)上两点A (－2，y 1)与B (4，y 2)，若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切，则E 的准线方程为( C )
A ．x ＝－12
B ．y ＝－1
C ．y ＝－1
2
D ．x ＝－1
解析：由题意知，A (－2，2p )，B (4，8p )，∴k AB ＝8p －2p 4－(－2)
＝1p ，设抛物线E 上的切点为(x 0，y 0)，
由y ＝x 22p ，得y ′＝x p ，∴x 0p ＝1p ，
∴x 0＝1，∴切点为(1，12p )，
∴切线方程为y －12p ＝1p (x －1)，
即2x －2py －1＝0，
∵切线2x －2py －1＝0与圆C 相切，∴圆心C (5，12)到切线的距
离为22，即|9－p |4＋4p
2＝22， ∴31p 2＋18p －49＝0，
∴(p －1)(31p ＋49)＝0，
∵p >0，∴p ＝1.
∴抛物线x 2＝2y 的准线方程为y ＝－12，故选C.。