高二上学期第二次阶段考试数学试题 Word版含答案

泰宁一中2019-2020学年上学期第二次阶段考
高二数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间：120分钟总分：
150
分
注意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．命题“
(0,)
x∃∈+∞，2
00
1
lnx x-
≥”的否定为()
A．
(0,)
x∃∈+∞，2
00
1
lnx x-
<B．
(,0]
x∃∈-∞，2
00
1
lnx x
>-
C．(0,)
x
∀∈+∞，21
lnx x
<-D．(,0]
x
∀∈-∞，21
lnx x
>-
2.已知椭圆的左、右焦点分别为12
,
F F，点P在C上，且
12
PF F
∆的周长为16，则m的值是
A. 2
B. 3
C. 23
D. 4
3．函数)
(x
f
y=的图象如右图所示，则导函数)
('x
f
y=的图象的大致形状是 ( )
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
4．函数()()2
2sin f x ex x =+的导数是（ ） A. ()'4cos f x ex x =+ B. ()'4cos f x ex x =- C. ()2
'8cos f x e x x =+
D. ()2
'8cos f x e x x =-
5．把4名新生分到1,2,34，
四个班，每个班分配1名且新生甲必须分配到1班，则不同的分配方法有 A. 24种
B. 12种
C. 6种
D. 3种
6．函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是（ ）
A. 1e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
,
B. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D. 1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
7．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ）
A.22(1)1x y ++=
B.22(1)1x y -+=
C.22(1)1x y +-=
D.22
(1)1x y ++=
8．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A. 10 种 B. 20 种
C. 36 种
D. 52 种
9．“1a >”是“函数()ax n f x si x =-是增函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
10. 已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A
与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为
A ．2 B
C
D
11.对0x ∀>，不等式ln 2a
x ex x ≥
-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 2,e ⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
B. 2,e
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
C. (),2e -∞-
D. (],2e -∞-
12．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则
A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在复平面内，复数
对应的点的坐标为 ▲ 14．五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有有 ▲ 种．（用数字填写答案）
15．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线
AD 与BC 所成的角为 ▲ ．
16．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，平行y 轴的直线l 与圆22:(1)1x y Γ+-=交于,A B 两点（点A 在点B 的上方）， l 与C 交于点D ，则ADF ∆周长的取值范围是 ▲ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
21i
i
-
（Ⅰ）已知m R ∈，复数(
)(
)
2
2
45215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值； （Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值．
18．(本小题满分12分)
已知函数2
()3ln .f x x x x =--
（Ⅰ）求()f x 的图象在点()()
1,1f 处的切线方程；
（Ⅱ）求()f x 在1
[,3]2
上最大值与最小值。

19．（本小题满分12分）
平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为双曲线13
2
2
=-y x 的右顶点．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）经过已知双曲线的左焦点作抛物线C 的切线，求切线方程．
的
20．（本小题满分12分）
如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2,60AA AB BAD ==∠=︒，
,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.
（Ⅰ）证明：//MN 平面1C DE ；
（Ⅱ）求二面角1A MA N --的正弦值.
21．（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为2，且椭圆上的点到焦点的最长距离为1+
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线l （不过原点O ）与椭圆C 交于两点A 、B ，M 为线段AB 的中点．
（ⅰ）证明：直线OM 与l 的斜率乘积为定值；
（ⅰ）求OAB ∆面积的最大值及此时l 的斜率．
22.（本小题满分12分）
已知函数()()R a x ax x f ∈+=ln . （Ⅰ）讨论()x f 的单调性；
（Ⅱ）当1=a 时，不等式()m x f xe x
+>+1对于任意()+∞∈,0x 恒成立，求实数m 的取值范围.
高二数学参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题5分，共20分） 13、)
1,1(-
14、90 15、()3,4 16、
2(,]
e
-∞-
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、【答案】（Ⅰ）1m =-；（Ⅱ）1z i =-
【解析】
（Ⅰ）根据纯虚数概念列方程，解得结果，（Ⅱ）解复数方程z ，再根据共轭复数概念以及模的定
义的结果.
【详解】（Ⅰ）∵z 为纯虚数，
∴2251
45053
2150m m m m m m m m ⎧==-⎧--=⇒⎨⎨≠≠---≠⎩⎩或且，∴1m =-；
（Ⅱ）()()()
2121111i i i z i i i i -=
==+++-，∴1z i =-， ∴(
)2121z i i i i +=-+=+=
【点睛】本题考查纯虚数、共轭复数以及复数运算，考查基本分析求解能力，属基础题.
18、解:【答案】（1）22y x =-+；（2）63ln3- 【解析】 【分析】
（1）利用导数求出()1f '的值，作为切线的斜率，并计算出()1f ，再利用点斜式写出切线的方程；
（2）利用导数分析函数()y f x =在区间1
,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的单调性，并求出极值，再与端点值比较大小，
即可得出函数()y f x =在区间1,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值。

【详解】（1）
()2
3ln f x x x x =--，()()2323
210x x f x x x x x
--∴=--=>，
所以，函数()
y f x =图象在点()()
1,1f 处的切线的斜率为()12k f ='=-，
的
()10f =，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()21y x =--，
即22y x =-+；
（2）()()()212323x x x x f x x x
+---∴==，1,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦。

当13,22x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '> 所以，()min 33
33ln 242f x f ⎛⎫==-
⎪⎝⎭
， 因为113ln 224f ⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭
，()363ln3f =-， 所以，()2
111363ln 663ln 0244f f e ⎛⎫-=->->
⎪⎝⎭，则()132f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，
所以，函数()y f x =在1,32
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上的最大值为63ln3-。

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。

19、解：⑴依题意，设抛物线C 的方程为px y 22= ……1分
12
=p
……3分， 所以2=p ，抛物线C 的方程为 x y 42
= ……5分。

⑵双曲线13
2
2
=-y x 的左焦点为)0 , 2(-F ……6分
显然2-=x 不是抛物线C 的切线，设所求切线为)2(+=x k y ……8分
由⎩⎨⎧+==)
2(42x k y x y 及0≠k 得，)2(42-=k y y
0842=+-
y k y ，依题意084)4(2=⨯-k ……8分，解得2
2
±=k ……11分 切线方程为)2(2
2
+±
=x y ……12分
20.（12分）答案：
（1）连结,M E 和1,B C ，∵,M E 分别是1BB 和BC 的中点，∴1//ME B C 且11
2
ME B C =
， 又N 是1A D ，∴//ME DN ，且ME DN =，∴四边形MNDE 是平行四边形，
∴//MN DE ，又DE ⊂平面1C DE ，MN ⊄平面1C DE ，∴//MN 平面1C DE .
（2）以D 为原点建立如图坐标系，由题(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，1(2,0,4)A
，M
1(0,0,4)A A =-
，1(2)A M =--，1(2,0,4)A D =--，设平面1AA M 的法向量为1111(,,)n x y z =，平面1DA M 的法向量为2222(,,)n x y z =，
由111100n A A n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得11114020z x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪
⎩
，令1x =得1(3,1,0)n =，
由212100n A D n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得2222224020x z x z --=⎧
⎪⎨-+-=⎪
⎩，令22x =得2(2,0,1)n =-，
∴12
12
12
15
cos,
5
n n
n n
n n
⋅
==
⋅
，∴二面角1
A MA N
--的正弦值为10
5
.
21.解：
（1）由题意得
12
2
2
a c
c
a
⎧+=+
⎪
⎨
=
⎪
⎩
，解得
2
1
a
c
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
…………………………………..2分ⅰ22
a=，2221
b a c
=-=，…………………………………………………3分
ⅰ椭圆C的方程为
2
21
2
x
y
+=………………………………………….4分
（2）（ⅰ）设直线l为：2
y kx
=+，1122
(,),(,),(,)
M M
A x y
B x y M x y
，
由题意得2
2
2
1
2
y kx
x
y
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，ⅰ
22
(12)860
k x kx
+++=，……………………..5分
ⅰ28(23)0k ∆=->，即232
k > 由韦达定理得：22121286
,1212k
x x x x k k -+==++…………………………….6分 ⅰ2412M k x k =-+，22212M M y kx k
=+=+………………………………………………7分 ⅰ12M OM M y k x k =
=-，，ⅰ 12OM k k =- ⅰ直线OM 与l 的斜率乘积为定值…………………………………………..8分
（ⅰ）由（ⅰ）
可知：12AB x =-==，…………………………………………………………………..9分
又点到直线的距离
21d k =+，
ⅰ1122OAB
S d AB ∆=⨯⨯==，……………….10分 t =，则0t >，ⅰ24
442
OAB S t t t ∆==≤=++，…………………………………11分
当且仅当2t =时等号成立，此时2
k =±0∆>， ⅰOAB ∆l 的斜率为…………………………….12分
22.解：（1）函数()x f 的定义域为()+∞,0，()x
ax x a x f 11+=+=' ...........1分
当0≥a 时，()0>'x f ，所以()x f 在()+∞,0上单调递增； ...........2分 当0<a 时，令()0>'x f 得，a x 10-<<；令()0<'x f 得，a
x 1->. 则函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上单调递增，在⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-,1a 上单调递减. 综上所述，当0≥a 时，()x f 在()+∞,0上单调递增；
当0<a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛
-a 1,0上单调递增，在⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-,1a 上单调递减. ...........5分
（2）设()()()01ln 1>+--=-+=x x x xe x f xe x g x
x ， 则题意等价于：当0>x 时，()m x g >恒成立，只需()m x g >min .
()()x xe x x e x x g x x
1111)1(-+=--+='，设()1-=x xe x h ，则()0)1(>+='x e x x h ， 所以()x h 在()+∞,0上单调递增.又()011>-=e h ，012
121<-=⎪⎭⎫
⎝⎛e h ， 所以存在唯一⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈1,210x ，使()01000=-=x e x x h ，即010x e x =， 且当()0,0x x ∈时，()0<x h ，即()0<'x g ，函数()x g 单调递减，
当()+∞∈,0x x 时，()0>x h ，即()0>'x g ，函数()x g 单调递增.
所以，()1ln )(0000min 0+--==x x e x x g x g x 21ln 1000
0=+--⋅=-x e x x x 即2<m .
-. ...........12分所以，实数m的取值范围为()2,∞。