高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第39讲 数列求和的方法

第39讲 数列求和的方法
【知识要点】
一、数列的求和要有通项意识，先要对通项特征进行分析（数列的通项决定了数列的求和方法），再确定数列求和的方法.
二、数列常用的求和方法有六种：求和六法 一公二错三分四裂五倒六并，最后一定要牢记，公比为1不为1.
1、公式法：
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.
①等差数列求和公式：()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q
q ⎧=⎪
=-⎨-=≠⎪
--⎩
③常见的数列的前n 项和：123+++……+n=(1)
2
n n +，
135721n ++++⋅⋅⋅+-=2n ,2222123+++……+n =(1)(21)
6
n n n ++，
3333123+++……+n =2
(1)2n n +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
等. 2、错位相减法：
若数列{}n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法. 若n n n a b c =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令 112211n n n n n S b c b c b c b c --=++
++,则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++
两式错位相减并化简整理即得. 3、分组求和法：
有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.
4、裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵
消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
（其中
{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常
见的裂项方法： ①
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++
1
k
=
，特别地当1k =
=③2222(2)(41)11111
11()(21)(21)414122121
n n n a n n n n n n -+=
==+=+--+---+ ④])2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
⑤ 1212(1)111
(1)2(1)22(1)2n n n n n
n n n a n n n n n n -++-=
⋅=⋅=-++⋅+
⑥![(1)1]!(1)!!n n n n n n ⋅=+-=+- 5、倒序相加法：
类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法.如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.这一种求和的方法称为倒序相加法.
6.并项求和法.
有些数列的通项里有
1n
（-），这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.
【方法讲评】
【例1】已知等比数列{n a }中，164a =,公比1q ≠,234,,a a a 又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项.
(1)求n a ；(2)设2log n n b a =,求数列{||}n b 的前n 项和n T . 【解析】（1）依题意有24343()a a a a -=-，
即432230a a a -+=,32
111230a q a q a q -+=，
即
2
2310q q -+= 2.∵1q ≠,∴12
q =. 故1164()2
n n a -=⨯.
【点评】（1）利用公式法求数列的前n 项和，一般先求好数列前n 项和公式的各个基本量，再代入公式.（2）第2问注意要分类讨论，因为n 与7的大小关系不能确定.
【反馈检测1】已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）求数列{2n a
}的前n 项和n S .
}n c ，其中n n b c ∙，其中
23b c +
+两式相减并整理即得.
【例2】 已知函数x x x f 63)(2
+-= ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，n S ）（n N *∈）在曲线
)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）若1)2
1
(-=n n b ，6n n n b a c ∙=，且n T 是数列}{n c 的前n 项和. 试问n T 是否存在最大值？若存在，请求出n T 的最大值；若不存在，请说明理由.
（Ⅱ）因为1
11
(96)()1112(),(32)()2662n n n n n n n n b c a b n ---====- ① 所以231111
(1)()(3)()(32)(),2222
n n T n =+-+-++- ②
234111111
()(1)()(3)()(32)(),22222
n n T n +=+-++-++- ③ ②－③得 132)2
1
)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T
112)21)(23(211]
)21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n .
整理得1)2
1
)(12(-+=n n n T ， ④
策略二 利用商值比较法
由④式得0)2
1)(12(1>+=+n n n T .
因为1
11(23)()123(21)22,112(21)2(21)(21)()2
n n n n n T n n T n n n +++++++===++++165)1221(21)1221(21<=++≤++
=n 所以111+<++n n T T ，即n n T T <+1. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以n T 存在最大值2
11=T . 策略三 利用放缩法
由①式得0)2
1)(21()2
1)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为n T 是数列}{n c 的前n 项和， 所以n n n n T c T T <+<++11. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T
所以n T 存在最大值2
11=
T . 【反馈检测2】数列{}n a 的通项n a 是关于x 的不等式2x x nx -<的解集中正整数的个数，
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2
n
n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）求证：对2n ≥且*n N ∈恒有7
()112
f n ≤<．
【例3】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． （1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；
（2）数列{n a }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足20152
2>++n
n T n 的
最小正整数n ．
（2）(21)2n n
n b n n n =-⋅=⋅-
设231222322n
n K n =⨯+⨯+⨯++⨯… ①
【点评】（1）数列2n n b n n =⋅-求和时，要分成两个数列求和，其中一个是数列通项是2n
n c n =⋅，它
用错位相减来求和，另外一个数列是n d n =，它是一个等差数列，直接用公式法求和.（2）解不等式
1(1)222015n n +-⨯+>时，直接用代值试验解答就可以了.
【反馈检测3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()
*23n n a S n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .
【例4】 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令2
1
1
n n b a =
-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
112721026
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)
3n+22⨯=2n +2n .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =
211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111
(-)4n n+1
⋅，
【点评】利用裂项相消时，注意消了哪些项，保留了哪些项.如1(2)n a n n =
+111
()22
n n =-+，
121111111(2132435n n S a a a =+++=-+-+-++111111
)
2112
n n n n n n -+-+---++11111()21212
n n =+--++.为了确定保留了哪些项，最好前后多写一些项. 【反馈检测4】 设数列{}n a 满足32121
2222
n n a a a a n -++++=，n N *
∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()
111n
n n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【反馈检测5】已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
42n n n S a a =+(*n ∈N ).
(Ⅰ) 求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 记数列3
1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ,求证:532n T <(*
n ∈N ).
【例5 】 已知数列{}n a 的前n 项和()2
*
2
4
n n S n N +=-∈，函数()f x 对R x ∈∀有
()(1)1f x f x +-=，数列{}n b 满足12
(0)()()n b f f f n n
=+++
1
(
)(1)n f f n
-++. （1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，n T 是数列{}n c 的前n 项和，若存在正实数k ，使不等式
n n a n T n n k 226)369(>+-对于一切的*n N ∈恒成立，求k 的取值范围．
【解析】（1） 12111,
244n a S +===-=
()()21112,24242n n n n n n n a S S +++-≥=-=---=
①-②得231
422(1)2n n T n +-=+++⋅⋅⋅-+⋅ 即 1
2n n T n +=⋅
要使得不等式n n a n T n n k 2
26)369(>+-恒成立,
2
6936
n
k n n ∴>
-+对于一切的*n N ∈恒成立, 即6
369
k n n >+-
令6
()369
g n n n =+-,则
6()2369g n n n
=≤=+-
当且仅当6n =时等号成立,故max ()2g n =
所以2k >为所求.
【点评】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以利用倒序相加法求和.
【例6】求证：n
n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++
【点评】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以利用倒序相加法求和.
【反馈检测6】已知函数()
x
f x =
（1）证明：()()11f x f x +-=； （2）求128910101010f f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
++++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值.
【例7】求和：2222
1234n S =-+-+ (1)
2(1)
n n -+-．
【解析】当n 为偶数时，
222222(12)(34)[(1)]n S n n =-+-+
+--
3711(21)n =----
--(321)(1)
222
n n n n +-+=-
⋅=-
． 当n 为奇数时，
【点评】（1）如果数列的通项里有1n
（-）
，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.把两项合成一项来求和. (2)这种情况最好先计算偶数的情况，再计算奇数的情况.讨论奇数情况时，为了减少计算量，提高计算效率，可以利用1n n n S S a -=+，而1n S -可以利用前面计算出来的偶数的结论（因为1n -是偶数），只要把偶数情况下n S 表达式中所有的n 都换成1n -即可. 【反馈检测7】已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是公差为2的等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(1)n
n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第39讲：
数列求和的方法参考答案
【反馈检测1答案】（1）n a n =；（2）1
22n n S +=-.
【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）由题设知公差0d ≠， 由11a =，139,,a a a 成等比数列得
121d +＝1812d
d
++， 解得10(d d ==或舍去）， 故{}n a 的通项1(1)1n a n n =+-⨯=. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2
2n
a n =，由等比数列前n 项和公式得
2
3
1
2(122222=2212
n n
n n S +-=+++⋅⋅⋅+=
--）. 【反馈检测2答案】（1）n a n =；（2）1
2(2)()2
n n S n =-+；（3）见解析.
（311
1
1n n
n
<+++
= 由111111
()1212n n n f n a a a n n n n n
=
+++=+++
++++++…… 知11111
(+1)++
2322122
f n n n n n n =
+++++++…
于是111111
(1)()021********
f n f n n n n n n n +-=
+->+-=++++++ 故(1)()f n f n +>()f n ∴当2n ≥且*n N ∈时为增函数7
()(2)12
f n f ∴≥=
综上可知7
()112
f n ≤<
.
（2）由（1）知21
12n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，故12n b n =-
数列{}n n a b +的前n 项和
()()
112211n n n n n T a b a b a b a a b b =++++
+=++++
()2*
11124112221,1233414
n
n
n n n n N ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-+-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=
+=--∈ ⎪⎝⎭
- 【反馈检测4答案】（1）2n
n a =；（2）11
121
n n S +=-
-.
【反馈检测4详细解答】（1）因为32121
2222
n n a a a a n -++++=，n N *
∈， ① 所以当1=n 时，12a =． 当2≥n 时，()3
1
212
2
21222n n a a a a n --++++
=-， ② ， ①－②得，
1
22
n n a -=，所以2n
n a =． 因为12a =，适合上式，所以()
2n n a n N *=∈；
（2）由（1）得2n
n a =，
所以()()()()11
1211
112121
2121n n n n n n n n n a b a a +++===-------， 所以1211111111
1111337715212121n n n n n S b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
+=-+-+-+
+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【反馈检
测5答案】（1）12a =，
2n a n =；（2）见后面解析.
【反馈检测5详细解析】(Ⅰ)当1n =时,21111442a S a a ==+,解得12a =或10a =(舍去)．
当2n ≥时,2
42n n n S a a =+,211142n n n S a a ---=+,相减得2211422n n n n
n a a a a a --=-+-
即()2
2
112n n n n a a a a ---=+,又0n a >,所以10n n a a -+≠,则12n n a a --=,
所以{}n a 是首项为2,公差为2的等差数列,故2n a n =．
证法二:当1n =时,1311145
83232
T a =
==<． 当2n ≥时,先证()341n n n ≥-,即证()()
()2
3
2
414420n n n n n n n n --=-+=-≥显然成立.
所以
()331111118321321n a n n n n n ⎛⎫=≤=- ⎪--⎝⎭
所以3
333123
1111n n T a a a a =
++++
()
3
3
331111
246
2n =++++
3
111111
111111511232223183283232
n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤
+-+-++-=+-<+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 综上,对任意*n ∈N ,均有5
32
n T <
成立. 【反馈检测6答案】（1）()()11f x f x +-=；（2）9
2
S =
.
【反馈检测7答案】（1）43n a n =-；（2）2,2,,
21,21,.n n n k k T n n k k *
*
⎧ =∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩N N
【反馈检测7详细解析】
（1）（1）由已知得
1(1)221n
S n n n
=+-⨯=-， ∴22n S n n =-． 当2n ≥时，2
2
12[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-．
11413a S ==⨯-，∴43n a n =-，*n ∈N ．
（2）由⑴可得(1)(1)(43)n n
n n b a n =-=--．
当n 为偶数时，
(15)(913)[(45)(43)]422
n n
T n n n =-++-++⋅⋅⋅+--+-=⨯
=，
综上，2,2,,21,21,.
n n n k k T n n k k **
⎧ =∈⎪
=⎨-+=-∈⎪⎩N N。