2023年湖南省湘西州中考数学试卷(含解析)

2023年湖南省湘西州中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的相反数是( )
A. −2023
B. 2023
C. −1
2023D. 1
2023
2. 今年五一假期，湘西州接待游客160.3万人次，实现旅游收入1673000000元，旅游复苏形势喜人将1673000000用科学记数法表示为( )
A. 16.73×108
B. 1.673×108
C. 1.673×109
D. 1.673×1010
3. 下列运算正确的是( )
A. (−3)2=3
B. (3a)2=6a2
C. 3+2=32
D. (a+b)2=a2+b2
4. 已知直线a//b，将一块直角三角板按如图所示的方式摆放.若
∠1=40°，则∠2的度数是( )
A. 40°
B. 50°
C. 140°
D. 150°
5. 某校九年级科技创新兴趣小组的7个成员体重(单位：kg)如下：38，42，35，40，36，42，75，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 42，36
B. 42，42
C. 40，40
D. 42，40
6. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所
指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
7. 不等式组{
x −1<2
1−x <4的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8. 七边形的内角和是( )A. 1080°
B. 900°
C. 720°
D. 540°
9. 如图，点A 在函数y =2x
(x >0)的图象上，点B 在函数y =3x
(x >0)的图象上，且AB //x 轴，BC ⊥x 轴于点C ，则四边形ABCO 的面积为( )A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为C ，D .若AB =10，PC =12，则sin ∠CAD 等于( )A. 12
5B.
1312
C. 13
5
D. 12
13
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 在实数3，−2，1
，2中，最小的实数是______ ．
2
12. 若二次根式2x−10在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．
13. 分解因式：2x2−2=______ ．
14. 在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是______ ．
15. 在平面直角坐标系中，已知点P(a,1)与点Q(2,b)关于x轴对称，则a+b=______ ．
16. 已知一元二次方程x2−4x+m=0的一个根为x1=1.则另一个根x2=______ ．
17. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB=8，AD=DE=10，则B F的长为______ ．
18. 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作BE
⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点(点P不与B，E重合)，则CP+1
2
BP的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：(π+2023)0+2sin45°−(1
)−1+|2−2|．
2
20. (本小题8.0分)先化简，再求值：(1+1
a−1
)÷a a 2−1，其中a =
2−1．
21. (本小题8.0分)
某校计划开展以弘扬“文化自信”为主题的系列才艺展示活动，要求每位学生从绘画、合唱、朗诵、书法中自主选择其中一项参加活动为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：(1)该校此次调查共抽取了______ 名学生；
(2)在扇形统计图中，“书法”部分所对应的圆心角的度数为______ ．(3)请补全条形统计图(画图后标注相应的数据)；
(4)若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校参加朗诵的学生人数．22. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD 是平行四边形，BM //DN ，且分别交对角线AC 于点M ，N ，连接MD ，B N ．
(1)求证：∠DMN =∠BNM ；
(2)若∠BAC =∠DAC .求证：四边形BMDN 是菱形．
23. (本小题10.0分)
如图(1)所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家0.6km ，图书馆离小明家0.8k
m.小明从家出发，匀速步行了8min去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了3min去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了10min回到家.图(2)反映了这个过程中，小明离家的距离y
与时间x之间的对应关系．
请根据相关信息解答下列问题：
(1)填空：
①食堂离图书馆的距离为______ km；
②小明从图书馆回家的平均速度是______ km/min；
③小明读报所用的时间为______ min．
km时，小明离开家的时间为______ min．
④小明离开家的距离为2
3
(2)当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．
24. (本小题10.0分)
2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元.销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，
求购进A种品牌小电器数量的取值范围．
(3)在(2)的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？25. (本小题12.0分)
如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，
过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．
(1)求证：AE2=AF⋅AD；
(2)若sin∠ABD=25
，AB=5，求AD的长．
5
26. (本小题12.0分)
如图(1)，二次函数y=ax2−5x+c的图象与x轴交于A(−4,0)，B(b,0)两点，与y轴交于点C(0,−4)．
(1)求二次函数的解析式和b的值．
(2)在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使S△B O M=1
S△A B C若存在，请求出
3
点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图(2)，作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆.点E′是圆在x轴上方
圆弧上的动点(点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合)，平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求AA′
的值．
CN
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−2023的相反数是2023．
故选：B．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】C
【解析】解：1673000000=1.673×109，
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：A．(−3)2=3，原计算正确，符合题意；
B.(3a)2=9a2，原计算错误，不符合题意；
C.3与2不是同类二次根式，不可以合并，原计算错误，不符合题意；
D.(a+b)2=a2+2ab+b2，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的性质、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式进行化简计算即可．
本题考查了二次根式的性质、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式，掌握相关性质与法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵a//b，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°．
∵∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°−40°=140°．
故选C．
由a//b，∠1=40°，得∠3=40°，进而得到∠2的度数．
本题主要考查平行线的性质和邻补角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：出现次数最多的数据为42，
∴众数为42，
排序后，位于中间位置的数据为40，
∴中位数为40；
故选：D．
根据众数是出现次数最多的数据，以及中位数是将数据排序后，位于中间位置的数据为中位数进行求解即可．
本题考查求众数和中位数．熟练掌握众数和中位数的确定方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：这个几何体的俯视图为：
故选：C．
根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可．
本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由x−1<2，得：x<3；
由1−x<4，得：x>−3；
∴不等式组的解集为：−3<x<3；
在数轴上表示如下：
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
本题考查求不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集．
8.【答案】B
【解析】解：(7−2)×180°=900°，
故选：B．
n边形的内角和是(n−2)⋅180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
此题主要考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
9.【答案】B
【解析】解：延长BA交y轴于点D，
∵AB//x轴，
∴DA⊥y轴，
(x>0)的图象上，
∵点A在函数y=2
x
∴S△A D O=1
×2=1，
2
(x>0)的图象上，
∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数y=3
x
∴S矩形O C B D=3，
∴四边形ABCO的面积等于S矩形O C B D−S△A D O=3−1=2；
故选：B．
×2=1，S矩形O C B D=3，
延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到S△A D O=1
2
根据四边形ABCO的面积等于S矩形O C B D−S△A D O，即可得解．
本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，
∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，PC=PD，OP平分∠CPD，
∴OP⊥CD，
∴CB=DB，
∴∠COB=∠DOB，
∵∠CAD=1
2
∠COD，
∴∠COB=∠CAD，
∵AB=10，
∴AO=OC=OB=5，
∵OC=5，PC=12，
在Rt△OCP中，
OP=OC2+PC2=52+122=13，
∴sin∠COP=PC
OP =12
13
，
∴sin∠CAD=12
13
．
故选：D．
连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，利用切线的性质和切线长定理得到OC⊥CP，PC=PD，OP平分∠CPD，根据等腰三角形的性质得到OP⊥CD，则∠COB=∠DOB，根据圆周角定理得到∠C
AD=1
2
∠COD，所以∠COB=∠CAD，然后求出sin∠COP即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
11.【答案】−2
【解析】解：∵−2<1
2
<2<3，
∴最小的实数是−2；
故答案为：−2．
根据负数小于0小于正数，即可得出结果．
本题考查实数比较大小．熟练掌握负数小于0小于正数，是解题的关键．
12.【答案】x≥5
【解析】解：由二次根式2x−10在实数范围内有意义可得：
2x−10≥0，
解得：x≥5；
故答案为：x≥5．
根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．13.【答案】2(x−1)(x+1)
【解析】解：2x2−2=2(x2−1)=2(x−1)(x+1)．
故答案为：2(x−1)(x+1)．
先提公因式再利用平方差公式法进行因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
14.【答案】2
7
【解析】解：摸到红球的概率为2
5+2=2
7
．
答案为：2
7
．
用红球个数除以白球与红球数量之和即可．
本题考查概率的计算，掌握简单概率计算公式是解题的关键．概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】1
【解析】解：∵点P(a,1)与点Q(2,b)关于x轴对称，
∴点P(a,1)与点Q(2,b)的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴a=2，1+b=0，
解得b=−1，
∴a +b =1，
故答案为：1．
根据题意可知点P (a ,1)与点Q (2,b )的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可．
本题主要考查关于x 轴对称的两点，属于基础题，明白关于x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．
16.【答案】3
【解析】解：则根据根与系数的关系得：x 2+1=−b a
=4，
解得：x 2=3，
即方程的另一个根为3，
故答案为：3．
根据根与系数的关系得：x 2+1=4，求出即可．
本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当x 1和x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的两个根时，那么x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ．17.【答案】2 5
【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =8，AD =DE =10，
∴∠ABC =∠C =90°，CD =AB =8，BC =AD =10，
∴CE = DE 2−CD 2= 102−82=6，
∴BE =BC−CE =10−6=4，
∴AE = AB 2+BE 2= 82+42=4 5，
∵点F 是AE 的中点，
∴BF =12AE =12×4 5=2 5，
故答案为：2 5．
由矩形的性质得∠ABC =∠C =90°，CD =AB =8，BC =AD =10，而DE =10，所以CE = DE 2−CD 2=6，则BE =BC−CE =4，所以AE = AB 2+BE 2=4 5，则BF =12
AE =2 5，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地求出CE 的长是解题的关键．
18.【答案】6
【解析】如图所示，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∠ABC=30°，
∴∠ABE=∠CBE=1
2
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4，
∴OA=OB=4，CF⊥AB，
∴∠OBA=∠OAB=30°，
∠BAC=30°，
∴∠OAE=∠OAB=1
2
∵BE⊥AC，
OA=2，
∴OE=1
2
∴BE=BO+EO=6，
∵PD⊥AB，∠ABE=30°，
PB，
∴PD=1
2
∴CP+1
BP=CP+PD≤CF，
2
∴CP+1
BP的最小值为CF的长度，
2
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴CF=BE=6，
BP的最小值为6．
∴CP+1
2
故答案为：6．
过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO，根据等边三角形的性质和圆内接三角形
OA=2，进的性质得到OA=OB=4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性质得到OE=1
2
BP=CP+PD≤CF代入求解即可．
而求出BE=BO+EO=6，然后利用CP+1
2
此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
19.【答案】解：(π+2023)0+2sin 45°−(12)−1+| 2−2|
=1+2× 22−2+2−
2
=1+ 2−2+2− 2
=1．
【解析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可．
本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础也是重要知识点，必须熟练掌握，同时考查了特殊角的三角函数值，零次幂的含义，熟练掌握零次幂，特殊角的正弦值以及负指数幂的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1+1a−1)÷a a 2−1
=a−1+1a−1⋅(a +1)(a−1)a
=a a−1⋅
(a +1)(a−1)a =a +1，
当a = 2−1时，原式= 2−1+1= 2．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把a 的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】200 36°
【解析】解：(1)该校此次调查共抽取的学生数为：76÷38%=200(名)，
故答案为：200；
(2)“书法”部分所对应的圆心角的度数为：360°×
20200
=36°，故答案为：36°；
(3)朗诵的人数为：200−24−76−20=80(名)，
补全条形统计如下：
(4)2000×80
=800(名)，
200
答：该校参加朗诵的学生有800名．
(1)根据选择合唱的人数除以所占的百分比，可以计算出本次调查共抽取的学生数；
(2)用360°乘以“书法”部分的百分比即可得解；
(3)根据(1)的结果及图中的数据可以计算出朗诵的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
(4)用2000乘以朗诵人数所占百分比即可得解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，利用数形相结合的思想是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵BM//DN，
∴∠MBO=∠NDO，
又∠BOM=∠DON，
∴△BOM≌△DON(ASA)，
∴BM=DN，
∴四边形BMDN为平行四边形，
∴BN//DM，
∴∠DMN=∠BNM；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BCA=∠DAC，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
【解析】(1)连接BD，交AC于点O，证明△BOM≌△DON，推出四边形BMDN为平行四边形，得到BN//DM，即可得证；
(2)先证明四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，进而得到MN⊥BD，即可得证．
本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．23.【答案】0.20.083026或179
3
【解析】解：(1)①0.8−0.6=0.2(km)，
∴小食堂离图书馆的距离为0.2km，
故答案为：0.2；
②根据题意，68−58=10(min)，
=0.08km/min，
∴小明从图书馆回家的平均速度是0.8
10
故答案为：0.08；
③58−28=30(min)，
故答案为：30；
km时，小明离开家的时间为x min，
④设小明离开家的距离为2
3
km时，
当去时，小明离开家的距离为2
3
km>0.6km，
∵2
3
km，
∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足2
3
由题意得23−0.6=
0.8−0.63
(x−25)，解得x =26，当返回时，离家的距离为23km 时，
根据题意得23=0.08(68−x )，
解得x =1793
(min )；故答案为：26或
1793．(2)设0≤x ≤8时y =kx ，
∵y =kx 过(8,0.6)，
∴0.6=8k ，
解得340
，
∴0≤x ≤8时y =340x ，由图可知，当8<x <25时y =0.6，
设25≤x ≤28时，y =mx +n ，
∵y =mx +n 过(25,0.6)，(28,0.8)，
∴{0.6=25m +n 0.8=28m +n ，
解得{m =115
n =−1615，
∴y =115x−1615
，综上所述，当0≤x ≤28时，y 关于x 的函数解析式为y ={340
x (0≤x ≤8)
0.6(8<x <25)115x −1615(25≤x ≤28)．(1){a }①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用的时间；②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用58减去28即可得解；④设小明离开家的距离为23
km 时，小明离开家的时间为x min ，分小明去时和小明返回时两种情况构造一元一次方程求解即可；
(2)根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当0≤x ≤8、8<x <25和25≤x ≤28时三段对应的函数解析式即可．
本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：(1)设A、B型品牌小电器每台的进价分别为x元、y元，根据题意得：
{2x+3y=90
3x+y=65，
解得：{x=15
y=20，
答：A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
(2)设购进A型品牌小电器a台，
由题意得：{15a+20(150−a)≤2850
15a+20(150−a)≥2750，
解得30≤a≤50，
答：购进A种品牌小电器数量的取值范围30≤a≤50．
(3)设获利为w元，由题意得：w=3a+4(150−a)=−a+600，
∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，
∴−a+600≥565，
解得：a≤35，
∴30≤a≤35，
∵w随a的增大而减小，
∴当a=30台时获利最大，w最大=−30+600=570元，
答：A型30台，B型120台，最大利润是570元．
【解析】(1)列方程组即可求出两种风扇的进价，
(2)列一元一次不等式组求出取值范围即可，
(3)再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．
25.【答案】(1)证明：∵EH⊥AC于点H，AC是⊙O的直径，
∴∠AHE=∠AEC=90°，
∵∠HAE=∠EAC，
∴△HAE∽△EAC，
∴AH AE
=AE AC ，∴AE 2=AH ⋅AC ，
∵∠HAF =∠DAC ，∠AHF =∠ADC =90°，
∴△AHF∽△ADC ，
∴AH AD =AF AC
，∴AH ⋅AC =AF ⋅AD ，
∴AE 2=AF ⋅AD ．
(2)解：连接BC ，
∵∠ADC 的平分线交⊙O 于点B ，
∴∠ADB =∠CDB ，∴A B =B C ，
∴AB =BC =5，
∵∠ABC =90°，
∴AC = AB 2+BC 2= 52+52=5 2，
∵∠ACD =∠ABD ，∴AD AC =sin ∠ACD =sin ∠ABD =2 55
，∴AD =2 5
5AC =2 5
5×5 2=2 10，
∴AD 的长是2 10．
【解析】(1)由EH ⊥AC 于点H ，AC 是⊙O 的直径，得∠AHE =∠AEC =90°，而∠HAE =∠EAC ，所以△HAE∽△EAC ，则AH AE =AE AC ，于是得AE 2=AH ⋅AC ，再证明△AHF∽△ADC ，得AH AD =AF AC ，则A H ⋅AC =AF ⋅AD ，所以AE 2=AF ⋅AD ；
(2)连接BC ，因为∠ADB =∠CDB ，所以A B =B C ，则AB =BC =5，由勾股定理得AC = AB 2+BC 2=5 2，而∠ACD =∠ABD ，则AD AC =sin ∠ACD =sin ∠ABD =2 55，所以AD =2 55AC =2
10．
此题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵二次函数y =ax 2−5x +c 的图象与x 轴交于A (−4,0)，B (b ,0)两点，与y 轴交于点C (0,−4)，
∴{16a+20+c=0
c=−4，
解得：{a=−1
c=−4，
∴二次函数的解析式为y=−x2−5x−4，
当y=0时，得：−x2−5x−4=0，
解得：x1=−4，x2=−1，
∴B(−1,0)，
∴二次函数的解析式为y=−x2−5x−4，b=−1；
(2)不存在．理由如下：
如图，设M(m,−m2−5m−4)，
∵A(−4,0)，B(−1,0)，C(0,−4)，
∴AB=−1−(−4)=3，OB=1，OC=4，
∵点M在二次函数位于x轴上方的图象上，且S△B O M=1
3
S△A B C，
∴1 2×1×(−m2−5m−4)=1
3
×1
2
×3×4，
整理得：m2+5m+8=0，∵Δ=52−4×8=−7<0，∴方程无实数根，
∴不存在符合条件的点M；
(3)如图，设CE′交x轴于点M，∵A(−4,0)，C(0,−4)，
∴OA=OC=4，
∵点E与点A关于原点O对称，∴OE=OA=OC=4，
∵∠AOC=∠EOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°=∠OCE=∠OEC，
∴AC=EC，
∵CE为圆的直径，
∴∠CE′E=90°，
∵平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，①当点E′与点O不重合时，
∴A′E′=AE，A′E′//AE，
∴四边形AEE′A′是平行四边形，
∴A′A//E′E，A′A=E′E，
∴∠ANE′=∠CE′E=90°，∠MAN=∠MEE′，
∴∠ANC=90°，
在Rt△ANM和Rt△COM中，
∵∠MAN=90°−∠AMN，∠MCO=90°−∠CMO，
∴∠MAN=∠MCO，
∵∠OAC=∠OCE=45°，
∴∠CAN=∠ECE′，
又∵∠ANC=∠CE′E=90°，
在△ANC和△CE′E中，
{∠A N C=∠C E′E
∠C A N=∠E C E′
A C=C E
，
∴△ANC≌△CE′E(AAS)，
∴CN=EE′，
∴AA′=CN，
∴AA′
CN
=1，
②当点E′与点O重合时，此时点N与点O重合，
∴AA′=EE′=OE=4，CN=CO=4，
∴AA′CN =4
4
=1，
综上所述，AA′
CN
的值为1．
【解析】(1)将点A，C的坐标代入y=ax2−5x+c得到二元一次方程组求解可得a，c的值，可确定二次函数的解析式，再令y=0，解关于x的一元二次方程可得点B的坐标，从而确定b的值；
S△A B C，可得m2+5m+8=0，根据Δ=52−(2)不存在．设M(m,−m2−5m−4)，根据S△B O M=1
3
4×8=−7<0，可确定方程无实数根，即可作出判断；
(3)根据对称的性质和点的坐标可得OE=OA=OC=4，根据等腰三角形的性质及判定可得∠OAC =∠OCA=45°=∠OCE=∠OEC，AC=EC，再根据CE为圆的直径，可得∠CE′E=90°，然后分两种情况：①当点E′与点O不重合时，由平移的性质可得四边形AEE′A′是平行四边形，从而得到A′A //E′E，A′A=E′E，再证明△ANC≌△CE′E(AAS)，可得CN=EE′，可得AA′
的值；②当点E′与点O
CN
重合时，此时点N与点O重合，可得AA′=EE′=OE=4，CN=CO=4，代入AA′
可得结论．
CN
本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键．。