基本初等函数的图像及性质

基本初等函数的图像及性质
函 数 名 称：常数函数
解析式 形 式：f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线
定 义 域：R 值 域：{b} 单 调 性：没有单调性
奇 偶 性：均为偶函数（当b =0时，函数既是奇函数又是偶函数） 反 函 数：无反函数
周 期 性：是周期函数，任何一个非零常数都是其周期，无最小正周期
函 数 名 称：一次函数
解析式 形 式：f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)
图象及其性质：直线型图象。

|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；
当b =0时，函数f (x )的图象过原点；
当b =0且k =1时，函数f (x )的图象为一、三象限角平分线；
当b =0且k =-1时，函数f (x )的图象为二、四象限角平分线；
定 义 域：R 值 域：R
单 调 性：当k>0时，函数f (x )为R 上的增函数；
当k<0时，函数f (x )为R 上的减函数；
奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；
反 函 数：有反函数（特殊地，当k =-1或b =0且k =1时，函数f (x )的反函数为原函数f (x )本身） 周 期 性：无
函 数 名 称：反比例函数 解析式 形 式：f (x )=
x
k
(k ≠0) 图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k>0时，函数f (x )的
图象分别在第一、三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、四象限；
双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 图象成中心对称图形，对称中心为原点；
图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y =x 、y =-x ； 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞
单 调 性：当k>0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数；
当k<0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的增函数；
b
奇 偶 性：奇函数
反 函 数：原函数本身 周 期 性：无
函 数 名 称：二次函数
解析式 形 式：一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f
顶点式：)0()()(2
≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f
图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为a b x 2-=，顶点坐标为)44,2(2
a
b a
c a b --
或),(h k ，与y 轴的交点为),0(c ；
②当0>a 时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点)44,2(2
a b ac a b --；当0<a 时，抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点)44,2(2
a
b a
c a b --； ③当042
>-=∆ac b 时，函数图象与x 轴有两个交点，当042
=-=∆ac b 时，函数图象
与x 轴有一个交点，当042
<-=∆ac b 时，函数图象与x 轴没有交点；
④横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当0>a 时，横坐标距对称轴近则函数值小，当0<a 时，横坐标距对称轴近则函数值大；
定 义 域：R
值 域：当0>a 时，值域为),44(
2+∞-a b ac ；当0<a 时，值域为)44,(2
a b ac --∞ 单 调 性：当0>a 时，]2,(a b -
-∞上为减函数，),2[+∞-a b
上为增函数； 当0<a 时，),2[+∞-a b 上为减函数，]2,(a
b
--∞上为增函数； 奇 偶 性：当0=b 时，函数为偶函数；当0≠b 时，函数为非奇非偶函数
反 函 数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数 周 期 性：无
函 数 名 称：指数函数
解析式 形 式：)1,0()(≠>=a a a x f x
图象及其性质：①函数图象恒过点)1,0(，与x 轴不相交，只无限靠近；
c bx ++
)1
f (x )=a x
②函数x
a x f =)(与x
x a a
x f -==)1()(的图象关于y 轴对称；
③当1>a 时，y 轴以左的图象夹在在直线1=y 与x 轴之间，y 轴以右的图象在直线1=y 以上；当10<<a 时，y 轴以左的图象在直线1=y 以上，y 轴以右的图象夹在在直线1
=y 与x 轴之间；
④第一象限内，底数大，图象在上方；
定 义 域：R 值 域：),0(+∞
单 调 性：当0>a 时，函数为增函数；当0<a 时，函数为减函数； 奇 偶 性：无
反 函 数：对数函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 周 期 性：无
函 数 名 称：对数函数
解析式 形 式：)1,0(log )(≠>=a a x x f a
图象及其性质：①函数图象恒过点)0,1(，与y 轴不相交，只是无限靠近；
②函数x x f a log )(=与x x x f a a
log log )(1-==的图象关于
x 轴对称；
③当1>a 时，x 轴以下的图象夹在在直线1=x 与y 轴之间，x 轴以上的图象在直线1=x 以右；当10<<a 时，x 轴以下的图象在直线1=x 以右，x 轴以上的图象夹在在直线1=x 与y 轴之间；
④第一象限内，底数大，图象在右方；
定 义 域：R 值 域：),0(+∞
单 调 性：当0>a 时，函数为增函数；当0<a 时，函数为减函数；[与系数函数的单调性类似，因为两函数互为反函数] 奇 偶 性：无
反 函 数：指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x
周 期 性：无
x
y
O
f (x )=)1(lo
g >a x a
f (x )=)10(lo
g <<a x a
函 数 名 称：幂函数
解析式 形 式：)()(R x x f ∈=αα
x
x r x x q x x h x x g x x f 1)(;)(;)(;)(;)(2
1
3
2
=
==== 图象及其性质：① 幂函数必过第一象限，不过第四象限； ②x ϵ(0,1)，α越大越靠近x 轴；x ϵ(1,+∞)，α越大越远离x 轴； ③当α>0时：（研究第一象限）
图像过定点(0,0)和(1,1)；函数在[0,+∞)上是增函数；
α>1，图像是向下凸抛物线型；0<α<1，图像是向上凸抛物线型； ④当α<0时：图像过定点(1,1)；函数在(0,+∞)是减函数；图像是双曲线型，与x 轴、y 轴无限接近但永不相交； ⑤α为偶数，幂函数为偶函数；α为奇数，幂函数为奇函数； 函 数 名 称：三角函数。