人教版七年级下册艺术教案(新)

导数与函数的单调性
【教学重难点】
教学重点：1.会求函数的单调区间
2.利用导数及单调性解决含有参数的问题
教学难点：1.已知函数的单调性求参数范围
2.含参数的函数的单调性
【知识点梳理】
函数的导数与单调性的关系
函数y =f (x )在某个区间内可导,
(1)若f '(x )>0,则f (x )在这个区间内① 单调递增 ;
(2)若f '(x )<0,则f (x )在这个区间内② 单调递减 ;
(3)若f '(x )=0,则f (x )在这个区间内是③ 常数函数 .
用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系
1o . '()0f x 〉( 或0)('〈x f )是)(x f 在（a ,b ）内单调递增（或递减）的充分不必要条件
2o . 0)('≥x f （或 0)('≤x f ）是)(x f 在（a,b ）内单调递增(或递减)的必要不充分条件（0
)('=x f 不恒成立）
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定恒有f ′(x )>0.( )
(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( )
【热身训练】
1．f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为( )
A ．(0,4)
B ．(0,2)
C ．(4，＋∞)
D ．(－∞，0)
【设计意图】掌握基本常用函数导数公式，巩固一元二次不等式的解法
2.函数y =f (x )的导函数y =f '(x )的图象如图所示,则下面判断正确的是( )
A.在区间(-3,1)上f (x )是增函数
B.在区间(1,3)上f (x )是减函数
C.在区间(4,5)上f (x )是增函数
D.在区间(3,5)上f (x )是增函数
【设计意图】导数与函数单调性的关系体现在图形上，信息在图形上寻找。

渗透数形结合的思想
3．已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (1)＝3，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )<2(x ∈R )，则不等式f (x )<2x ＋1的解集为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)
C ．(－1,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【设计意图】充分利用条件，培养学生构造函数能力
4．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【设计意图】f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0，且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
考点一 不含参数的函数的单调性
例1 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________________
设计意图：熟练基本函数导数公式，巩固导数运算法则，掌握分式不等式的解法，掌握导数与函数单调性的密切关系，强化优先考虑定义域
方法技巧
导数法求函数单调区间的一般步骤
【易错警示】
(1)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错.如本例易忽视定义域为(0,+∞)而导致解题错误.
(2)个别导数为0的点不影响函数在该区间上的单调性,如函数f (x )=x 3,
f '(x )=3x 2≥0(x ≠0时, f '(x )=0),但f (x )=x 3在R 上是增函数.
变式训练：
1-1已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x
)的单调递增区间是
________________．
【设计意图】巩固三角函数导数运算法则
1-2 已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( )
A ．在(0，＋∞)上递增
B ．在(0，＋∞)上递减
C ．在(0，1e )上递增
D ．在(0，1e )上递减 设计意图：熟练基本函数导数公式，巩固导数运算法则
考点二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )，试讨论f (x )的单调性．
【设计意图】巩固基本函数导数公式和导数运算法则，理解参数的取值对函数单调区间的影响，进而掌握对参数进行分类讨论的要点。

贯穿分类讨论的思想。

【易错警示】
解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响
进行分类讨论.讨论时还应注意题干中限定的参数在范围.
(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的
点和函数的间断点.
变式训练
2-1已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．
(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)判断函数f (x )的单调性．
考点三 已知函数单调性求参数
例3 设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.
设函数g (x )＝f (x )＋2x 。

(1)求b ，c 的值；
(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间；
(3)若g (x )的单调减区间为(－2，－1)，求a 的值
(4)若g (x )在(－2，－1)内为减函数，求实数a 的取值范围．
引申探究 本例中
(5)若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值范围．
(6)若g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．
方法技巧
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．
【易错警示】
f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0，且在(a ，
b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
课堂小结
1. 不含参数的单调性（优先考虑定义域）
2. 含参数的函数的单调性（分类讨论的标准:方程是否有根，根的大小分布，根是否在定义域内，数与形）
3. 已知函数的单调性求参数范围（命题等价转换）
思想方法：数形结合思想，分类讨论思想，参变分离思想，化归思想，补集思想
课后练习
1.已知函数32()31f ax x x x =+-+在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是______________．答
案：(,3]-∞-．
2．已知函数32()3()f ax x x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为( )
A ．(3,)-+∞
B ．(3,0)(0,)-+∞
C ．(,0)(0,3)-∞
D ．[3,)-+∞
答案：B 3.设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是________
答案：(1,2]
4.已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[]1,2上为单调函数，则a 的取值范围是
________． 答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞)
5．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )＜12，则不等式f (x 2)＜x 22＋12的解集为
________． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
6.已知函数f (x )＝x 2e x ，若f (x )在[],1t t +]上不单调，则实数t 的取值范围是________．
答案：(－3，－2)∪(－1,0)
7．设函数
，其中. （1）若
，求函数在处的切线方程； （2）讨论
的单调区间. 答案：（1）；（2）a ＞0时，f （x ）的增区间为（﹣∞，），（，+∞），减区间为（
）；a ≤0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无减区间.。