数值分析 第一章 插值方法教材

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注: n次插值多项式 pn(x) ，精确讲应该是次数 ≤n的插值多项式，如下图
y Pn(x) f (x)
0
x
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插值多项式的存在性、唯一性 [利用待定系数法求解并证明]
..,n 求 pn ( x) 已知 f ( xi ) yi , i 0,1,2,....
x2 x3 例如： e 1 x ...... 2! 3!
x
插值多项式：设 f 是区间[a, b]上的一个实函数， 且有n+1个相异点x0, x1,…,xn∈[a,b], f 在xi处的值yi =f (xi) (i=0,1,2,..,n),若存在一个简单函数p(x)，使 得 p(xi)=yi (i=0,1,2,..,n) ①
f " (100) p2 (115) p1 (115) (115 110) 2 2!
10.75 0.028125 10.721875
Байду номын сангаас
115 10.723805 ......
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有4位有效数字。
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结论：利用f (x)的泰勒多项式研究 f (x)，需知f (x)在 某点x0的各阶导数，这不易做到。
( n 1 )! ——泰勒余项定理
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y0 , y ,......,y 泰勒插值 已知一组数据 多项式 pn(x), 使得pn(x)满足
(1) 0
( n) 0
，求n次
(k ) (k ) pn ( x0 ) y0 , k 0,1,2,...... n
(*)
(k ) 对某一函数 f (x)，已知一组数据 f ( k ) ( x0 ) y0 , (k ) (k ) p ( x ) f ( x0 ) 求 p ( x ), 使得 p ( x ) 满足 n 0 (k 0,1,2,, n), n n
第一章 插值方法
教学要求：
掌握插值概念、插值方法；掌握差商和导数的 关系; 初步掌握插值算法的程序设计；最小二乘解 的概念与求法。 教学重点、难点： 插值方法、最小二乘解的概念与求法。 教学内容： 插值问题的提法、拉格朗日插值公式、插值余 项、牛顿插值公式、分段插值法、曲线拟合的最 小二乘法。
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插值：在一定条件下，在某一范围内，用一简单 函数 p(x) 近似代替另一个较为复杂或无法用解析 式表达的函数 f (x)，以便于计算和研究其性质.
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假设已经获得若干点 xi 上的函数值 f xi yi , i 0,1, , n, 即提供 了一张数据表
x
x0
y0
x1
0
x0
x1
x
y1 y0 y y0 ( x x0 ) x1 x0
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即
y1 y0 p1 ( x ) y0 ( x x0 ) x1 x0
(1)
称为线性插值多项式.
(点斜式)
当 y1=y0时， p1(x)=y0 ——0次多项式. 例2 (P16) 已知
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1.2 拉格朗日插值公式
1. 线性插值
求通过两点(x0, y0)、 (x1, y1)函数的插值多项式. 因n=1,插值多项式的次数≤1（一条直线）.
y p1(x) 过两点(x0, y0)、 (x1, y1) f (x)
的线性方程： x x0 x0 x1 y y0 y0 y1
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2. 抛物插值
线性插值仅仅利用两个节点的信息，精度低，为 了提高精度，下面考察三个插值节点的情形. 已知(x0, y0)、 (x1, y1) 和(x2, y2), n=2. 所求插值多项 式次数 ≤2. 由线性插值知： p1 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
100 10 , 121 11 , 求y 115.
解 f ( x) x , x0 100, y0 10 , x1 121, y1 11
1 p1 ( x ) 10 ( x 100) 21
115 f (115) p1 (115) 1 10 (115 100) 10.71428 21
1 ( x 100) 20
1 (115 100) 10.75 20
有3位有效数字。 如果不知道
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115 10.723805 ...... 如何估计误差？
10
误差
f " (x ) ( x x0 ) 2 2!
4x1 x 2!
(115 100 )
2

225 8x x
……
7
p n ( x0 ) f ( x0 ),
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结论：pn(x)与f (x)在x0点具有相同的k阶导数值：
p ( x0 ) f ( x0 ),
(k ) n
(k )
k 0,1,2,......,n
因此， pn(x)在 x0 的邻近能很好地逼近 f (x)。
定理1 假设f (x)在含有点x0的区间[a,b]内有直 到 n+1阶导数，则对于pn(x) ，有 f ( n 1 ) ( x ) n 1 f(x) p (x) ( x x ) , x介于x0 , x之间 . n 0
[ 证pn(x)存在并唯一 ]
证： pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 ...... an x n
, n)代入上式得： 分别将xi (i 0,1,......
[ 证ai存在并唯一 ]
2 n a0 a1 x0 a2 x0 ...... an x0 y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 ...... an x1 y1 ..................................................... 2 n a a x a x ...... a x 1 n 2 n n n yn 0
1
115 10.723805 ......
1 , f ( x0 ) 20
f ( x0 ) 10 ,
f ( x0 )
1 4000
所以
p1 ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 10
115 f (115) p1 (115) 10
求关于未知量 a0,a1,……,an 的n+1阶线性方程组， 如何判断此方程有解？
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判断方程组的系数行列式≠0？
1 1 ... 1 x0 x1 ... xn
2 x0 2 x1 n ... x0 n ... x1
...
2 xn
...
...
n ... x n
上式是范德蒙行列式，由已知xi≠xj , 若i≠ j, 所以 ，根据线性代数知识，该行列式≠0，从而证明方程 组解存在并唯一。 注：上述显然是求解pn(x)的一种方法，但此方 法工作量大，不便应用。
f ' ' ( x0 )( x x0 ) pn ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) 2!
2
......
f
( n)
( x0 )( x x0 ) n!
n
②
显然， pn ( x0 ) f ( x0 ),
p n ( x0 ) f ( x0 )
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将(1)变形:
【便于研究多节点的pn(x)】
(2)
x x0 x x1 p1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0 x x0 x x1 令 l0 ( x ) , l1 ( x ) , x0 x1 x1 x0 则
(对称式)
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插值条件：
插值函数：p(x)称为 f (x)的插值函数； 插值节点： , ；
；----①
插值区间：[a, b]；
插值法： 按插值条件 ①, 求函数 f (x)的插值函数 p(x) 的方法称为插值法。
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因代数多项式结构简单，数值计算和理论分 析方便，故常用代数多项式作为插值函数。
1.1 1.2 1.3 1.4* 1.5 1.6 1.7 1.8* 1.9
问题的提出 拉格朗日插值公式 插值余项 埃特金插值方法 牛顿插值公式 埃尔米特插值 分段插值法 样条函数 曲线拟合的最小二乘法
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实际问题中遇到的函数 , 其表达式可能很复 杂，有些甚至都给不出解析表达形式，仅仅提供 一些离散数据 , 譬如某些点的函数值和导数值 , (xi , yi , y’i , i=0,1,2,…), 直接研究该函数非常困难. 因此 , 一个很自然的想法就是：能否构造某个简 单的函数作为原函数的近似 ——插值问题.
x2 y2
xn yn
y f x
y1
如何利用这张表求某个给定点 x 上的函数值呢?插值方法所要研究 的就是这个课题。 所谓“插值” ，通俗地说，就是在所给函数表中再“插”进一 些所需要的函数值。数据表中的函数值为已知的节点 xi 称为插值 节点， 插值节点上所给的函数值 yi f xi 称为样本值。 函数值待求 的点称为插值点。 插值节点所界定的范围 min xi ,max xi 称为插值 区间。如果所给插值点位于插值区间之内，这种插值过程称为内 插，否则称为外推。
1, i j 且l0 ( x)、 l1 ( x) 满足 l i ( x j ) 0, i j l0 ( x ) y0 l1 ( x) y1 l2 ( x) y2 启示： p2 ( x) ？
l1 ( x )、 l2 ( x ) ? 且满足 能否求得 l0 ( x ) 、 关键是能否构造出li ( x) 1, i j li ( x j ) i , j 0, 1, 2 【li ( x ) 的次数 2 】 0, i j
(k 0,1,2,, n). 由上面知，f (x)的泰勒多项式满足(*)
式条件，所以 f (x) 的泰勒插值多项式就是 pn(x)。
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例1 求 f ( x) x 在x0=100的一次、二次泰勒多项式， 利用他们计算 115 的近似值，并估计误差
1 , f ( x ) , 解：已知x0=100, f ( x) x , 则 f ( x) 2 x 4x x
2. 拉格朗日插值 拉格朗日插值：求n次多项式 pn(x), 满足条件
pn ( xi ) yi , i 0,1,...... ,n
其中，xi 为插值节点，
pn ( x) 称为f ( x)的n次插值多项式。
几何语言描述：通过曲线 y = f (x)上给定的 n+1个点(xi , yi ) (i=0, 1, …, n), 求作一条n次代 数曲线 y=pn(x) 作为 y = f (x) 的近似。
则称p(x)为函数f(x)的插值函数；f (x)称为被插值 函 数 ; 若 p∈Hn, 即 p(x)=a0+a1x+…+anxn, ai (i=0,1,2,..,n)为实数，称 p(x) 为插值多项式.
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1.1 问题的提出
1. 泰勒插值 （ f (x)在x 0的U(x 0,δ)内有n+1阶导数） 泰勒多项式：
p1 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
l0 ( x ) 、 l1 ( x ) 称为拉格朗日插值基函数.
(3)
——显然是一次的
l0 ( x0 ) 1 l0 ( x1 ) 0 1, i j , li ( x j ) l1 ( x0 ) 0 l1 ( x1 ) 1 0, i j
, 115

225 225 8x x 8 100 100
0.028125
x 100
0.05 0.5 10 1 0.5 10 2-3
l 3 (m 2)
同理
f " ( x0 ) f " ( x0 ) 2 p2 ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) p1 ( x ) ( x x0 ) 2 2! 2!