一元一次方程概念和解方程

一元一次方程概念和解方程
（一）方程的有关概念
1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.
2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。

例如： 1700+50x=1800， 2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程。

3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。

⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。

4.等式的性质
等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等。

等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b ，那么a±c=b±c 。

等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么a c = b
c。

（二）移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

（三）去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各
项的符号相同。

2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各
项的符号改变。

（四）解方程的一般步骤
1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
2. 去括号(按去括号法则和分配律)
3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)
4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)
5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x = b
a )
知识点1：方程的有关概念
⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同. ⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数
不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 典型例题
例1、 下列方程中不是一元一次方程的是（ ）.
A ．x=1 B.x-3=3x-5 C.x-3y=y-2 D.
2
x
-1=5x 例2、 如果(m-1)x |m| +5=0是一元一次方程，那么m ＝＿＿＿．
例3、 一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 . 例4、根据实际问题列方程。

（1）世界上最大的动物是蓝鲸，一只鲸重124吨。

比一头大象体重的25倍少一吨，这头大象重几吨？若已知大象的重量（如X 吨）如何求蓝鲸的重量？
（2）俄罗斯小说家契诃夫的小说《家庭教师》中，写了一位教师为一道算术题大伤脑筋。

我们来看看这道题。

问题（买布问题）：顾客用540卢布买了两种布料共138尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布。

两种布料各买了多少？（设蓝布料买了X 尺）
例5、 若关于x 的一元一次方程2313
2
x k x k ---=的解是1x =-,则k 的值是（ ）
A ． 27
B ．1
C ．1311-
D ．0
变式练习
1、下列各式：①3x+2y=1 ②m-3=6 ③x/2+2/3=0.5 ④x2+1=2 ⑤z/3-6=5z ⑥(3x-3)/3=4
⑦5/x+2=1 ⑧x+5中，一元一次方程的个数是（ ）
Ａ、1 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、4 2、若方程3(x-1)+8=2x+3与方程3
25x
k x -=+的解相同，求k 的值. 3、已知2x
1
-m +4=0是一元一次方程，则m= .
4、若关于x 的方程2(x-1)-a=0的解是x=3，则a 的值是（ ）
A 、4
B 、-4
C 、 5
D 、 -5 5、根据实际问题列方程。

（1）x 的2倍与3的差是5.
（2）长方形的长比宽大5,周长为36,求长方形的宽.（设长方形的宽为x ）
（3）甲种铅笔每只0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种共20支，两种铅笔各买了多少支？（设甲种铅笔买了x 支）
知识点2：等式及其性质
⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：等式的性质① 如果b a =，那么=±c a ；
等式的性质② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么
=c
a
. 典型例题
例1、已知等式523+=b a ，则下列等式中不一定．．．
成立的是（ ）
（A ）
;253b a =- （B ）;6213+=+b a （C ）;523+=bc ac （D ）.3
5
32+=b a 例2、下列说法正确的是（ ）
A 、在等式ab=ac 中，两边都除以a ，可得b=c
B 、在等式a=b 两边都除以c 2+1可得
1
1
2
2
+=+c
b
c
a
C 、在等式
a
c
a b =两边都除以a ，可得b=c D 、在等式2x=2a 一b 两边都除以2，可得x=a 一b 变式练习
1、将等式4x=2x+8变形为x=4,下列说法正确的是（ ） A 运用了等式的性质1，没有运用等式的性质2 B 运用了等式的性质2，没有运用等式的性质1 C 既运用了等式的性质1，又运用等式的性质2 D 等式的两条性质都没有运用
2、（1）在等式3x-4=5的两边都 得3x=9，依据是 . （2）在等式
x x =-2
1
3的两边都 得2x-3=6x ，依据是 .
知识点3： 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5）
典型例题
例1、 解方程4
1
31312-+=--
y y y . 例2、 解方程：111623x x x ---+=.
例3、 解方程 23{32[1
2
(x-1)-3]-3}=3
例4、如果2005200.520.05x -=-,那么x 等于（ ） (A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45
例5、 要解方程4.5(x+0.7)=9x ,最简便的方法应该首先（ ）
Ａ、去括号 Ｂ、移项 Ｃ、方程两边同时乘以１０ Ｄ、方程两边同时除以4.5
变式练习
1、已知A=2x-5，B=3x+3，求A 比B 大7时的x 的值.
2、解下列方程：
（1）2732+=-x x （2）x x 2
1423=-
（3）1)4(3)1(2=---x x （4）223
146
y y +--= （5）
56
2523+=+-x x （6）512(69)812()8323x x x ---=-
三、 课堂习题演练
1、下列结论正确的是（ ）
A ．若x+3=y-7,则x+7=y-11;
B ．若7y-6=5-2y,则7y+6=17-2y;
C ．若0.25x=-4,则x=-1;
D ．若7x=-7x,则7=-7. 2、列说法错误的是（ ）. A ．若
a
y
a x =,则x=y; B ．若x 2=y 2,则-4x 2=-4y 2; C ．若-
41x=6,则x=-2
3; D ．若6=-x,则x=-6.
3、知等式ax=ay,下列变形不正确的是（ ）. A ．x=y B ．ax+1= ay+1 C ．ay=ax D ．3-ax=3-ay
4、列说法正确的是（ ）
A ．等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式；
B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；
C ．等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式；
D ．一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式； 5、等式2-
3
1
-x =1变形，应得（ ） A ．6-x+1=3
B ．6-x-1=3
C ．2-x+1=3
D ．2-x-1=3
6、在梯形面积公式S=
2
1
（a+b ）h 中，如果a=5cm,b=3cm,S=16cm 2,那么h=（ ） A ．2cm B ．5cm C ．4cm D ．1cm
7、若关于x 的方程3(x-1)+a=b(x+1)是一元一次方程，则（ ）. A ．a,b 为任意有理数 B ．a≠0 C ．b≠0 D ．b≠3
8、方程12-x =4x+5的解是（ ）.
A ．x=-3或x=-3
2 B ．x=3或x=3
2 C ．x=-
3
2
D ．x=-3
9、下列方程①
313262-=+x x ②4
532x
x =+ ③2（x+1）+3=x 1 ④3(2x+5)-2(x-1)=4x+6.
一元一次方程共有( )个.
A.1
B.2
C.3
D.4
10、若关于x 的方程10-4
)
2(35)3(--=+x k x x k 与方程8-2x=3x-2的解相同，则k 的值为( ) A.0 B.2
C.3
D.4
四、 课后作业 1、将公式S=
2
1
（a+b ）h 变形，得a= (其中字母都不等于0). 2、若232
34+x a 与4
31
5
2+x a 是同类项，则x=
.
3、当a=
时，方程
14
523-+=-a
x a x 的解是x=0. 4、若（1-3x ）2+mx -4=0,，则6+m 2=
.
5、a+b=0，可得a=
；由a-b=0,可得a=
;由ab=1,可得a=
6、解方程
（1）2(3)15(23)t t +-=- （2）54324
x x -= （3）21101
136
x x ---= （4）12
225
x x x -+-
=- （5）30.4110.50.3
x x ---= （6）32[23(x-21
)-3]-2=4x
一元一次方程应用题
知识点一：等积变形问题。

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。

1、一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形，折成底面边长是50cm的无盖长方体
盒子，容积是450003
cm.求原来正方形铁皮的边长。

2、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0.62kg的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7.8g，
应截圆钢多长？
3、把直径6cm，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢。

求锻造后的圆钢的长。

4、用长7.2m的木料做成如图所示的“日”字形窗框，窗的高比宽多0.6m。

求窗的高和宽。

（不考虑木料加工时损耗）
5、鱼儿离不开水，用一个底面半径为20厘米，高为45厘米的圆柱形的塑料桶给一个长方
形的玻璃养鱼缸倒水，养鱼缸的长为120厘米、宽为40厘米、高为1米，将满满一桶水倒下去，鱼缸里的水会升高多少？
6、直径为30厘米，高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高。

知识点二：市场经济、打折销售问题
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝
商品利润
商品成本价
×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售．
1. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？
2. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
3.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（）
A.45%×（1+80%）x-x=50
B. 80%×（1+45%）x - x = 50
C. x-80%×（1+45%）x = 50
D.80%×（1-45%）x - x = 50
4．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折．
5．一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优
惠”．经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价．
6.丽丽的妈妈到百盛商场给她买一件漂亮毛衣，售货员说：“这毛衣前两天打八折，今天又在八折的基础上降价10％，只卖144元，丽丽很快算出了这件毛衣的原标价，你知道是多少元吗？
7.一种商品，甲提出按原价降低10元后卖掉，用售价的10％作积累；乙提出将原价降低20元卖掉，用售价的20％仍做积累，经测算两种积累一样多．则这种商品的原价是多少？
8.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售，将赚20元，这种商品的定价为多少元？
9.某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？
10.某服装商店以135元的价格售出两件衣服，按成本计算，第一件盈利25 %，第二件亏损25 %，则该商店卖这两件衣服总体上是赚了，还是亏了？这二件衣服的成本价会一样吗？算一算
知识点三：行程问题。

（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）
★要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。

★相遇问题（相向而行）：甲走的路程+乙走的路程=全路程
★追及问题（同向而行）：
①同时不同地：甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路
程
②同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程
★环形跑道上的相遇和追及问题：
同地反向而行的等量关系是两人走的路程和=一圈的路程；
同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。

★船（飞机）航行问题：
顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度；
逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度。

★车上（离）桥问题：
①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。

②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。

所走的路程为一个成长
③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长
④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长
1、A、B两地相距150千米。

一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发，另一辆汽车以每小时40千米的速度从B地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距30千米？
2、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？
3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要2小时45分，逆风要3小时，已知风速是20千米／小时，则两城市间的距离为多少？
4、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥，用了半分钟，则火车本身的长度为多少米？
5、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求列车的长度。

6、甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
7、甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？
8、某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。

A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。

9、有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．
10、已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？
11、一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为14米/分。

问：①若已知队长320米，则通讯员几分钟返回？②若已知通讯员用了25分钟，则队长为多少米？
12、一架飞机在两个城市之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程？
13、一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。