【教育资料】《课堂新坐标》高考数学(文)一轮总复习(人教新课标·广东专用)课后作业：第五章 第三节 等

课后作业(三十二) 等比数列
一、 选择题
1．(2019·惠州质检)在等比数列{a n }中，a 1＝2且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝( )
A ．1
B ．2 C.14 D.12
2．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
3．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )
A.152
B.314
C.334
D.172
4．(2019·汕尾质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比
数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3
的值为( ) A ．2 B ．3 C.15 D.13
5．(2019·珠海模拟)数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝
3n －1，则a 21＋a 22＋a 33＋…＋a 2n 等于( )
A ．(3n －1)2 B.12
(9n －1) C ．9n －1 D.14
(3n －1) 二、填空题
6．(2019·广东高考)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12
，则a 1a 23a 5＝________． 7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________．
8．(2019·中山统考)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3图象的顶点是(m ，n)，且k ，m ，n ，r 成等比数列，则kr ＝________．
三、解答题
9．(2019·汕头模拟)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a(a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.
(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{a n }唯一，求a 的值．
10．(2019·佛山调研)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a(a ＞0)，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)．
(1)若{a n }是等比数列，求{b n }的前n 项和；
(2)当{b n }是公比为a －1的等比数列时，{a n }能否为等比数列？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由．
11．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋c.
(1)求c 的值并求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝S n ＋2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .
解析及答案
一、 选择题
1．【解析】 由a 4a 6＝4a 27且a 4a 6＝a 25，
∴a 25＝4a 27，则q 2＝12
，故a 3＝a 1q 2＝1. 【答案】 A
2．【解析】 因为等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，①
所以a n ＋1a n ＋2＝16n ＋1，②
②÷①得q 2＝16.
又因为a n a n ＋1＝16n ＞0，所以q ＝4.
【答案】 B
3．【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知
⎩⎪⎨⎪⎧a 21q 4＝1，a 1（1＋q ＋q 2）＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝1，a 1（1＋q ＋q 2）＝7，
解得⎩⎨⎧q ＝12，a 1＝4，∴S 5＝4[1－（12）5]1－12
＝314. 【答案】 B
4．【解析】 由题意，a 1(a 1＋3d)＝(a 1＋2d)2，d ≠0，
∴a 1＝－4d ，
∴S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－2d －d
＝2. 【答案】 A
5．【解析】 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，
n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，
∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，
又n ＝1时，a 1＝2适合上式，
∴a n ＝2·3n －1，
故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．
因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n ）
1－9＝12
(9n －1)． 【答案】 B
二、填空题
6．【解析】 ∵数列{a n }为等比数列，∴a 2·a 4＝a 23＝12
，a 1·a 5＝a 23. ∴a 1a 23a 5＝a 43＝14
. 【答案】 14
7．【解析】 由(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)得a ＝5，因此等比数列{a n }的首项为4，
公比q ＝a ＋1a －1＝64＝32
. ∴a n ＝4×(32
)n －1. 【答案】 4×(32
)n －1 8．【解析】 由题意可得f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)·(x ＋3)＋2x ＝x 2＋4x －3，顶点坐标是(－2，－7)，所以m ＝－2，n ＝－7，又k ，m ，n ，r 成等比数列，则kr ＝mn ＝14.
【答案】 14
三、解答题
9．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，
由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，
解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1.
(2)设数列{a n}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，
由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，
故方程(*)有两个不同的实根．
由数列{a n}唯一，知方程(*)必有一根为0，
将0代入(*)式，得a＝1 3.
10．【解】(1)∵{a n}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a＞0)，
∴q＝a，从而a n＝a n－1，
所以b n＝a n·a n＋1＝a2n－1，
∴{b n}是首项为a，公比为a2的等比数列．
当a＝1时，S n＝n，
当a≠1时，S n＝a（1－a2n）
1－a2
＝
a2n＋1－a
a2－1
.
(2)数列{a n}不能是等比数列．
∵b n＝a n a n＋1，∴b n＋1
b n＝
a n＋2
a n，
依题设a n＋2
a n＝a－1，则a3＝a1(a－1)＝a－1.
假设{a n}是等比数列，则a22＝a1a3，∴a2＝1×(a－1)，但方程无实根．
从而数列{a n }不能为等比数列．
11．【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋c ，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，
∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋c ，n ＝1，
2n －1，n ≥2.
∵数列{a n }为等比数列， ∴a 1＝2＋c ＝1，∴c ＝－1.
∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.
(2)∵b n ＝S n ＋2n ＋1＝2n ＋2n ，
∴T n ＝(2＋22＋…＋2n )＋2(1＋2＋…＋n)
＝2(2n －1)＋n(n ＋1)＝2n ＋1－2＋n 2＋n.。