高考数学一轮复习 第3讲 三角函数、向量的综合问题教学案 (2)

第3讲 三角函数、向量的综合问题 【学习目标】 综合运用三角函数和向量的相关知识解决综合问题
【自主学习】
1. (必修4 P93习题3改编)设O 为坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为单位圆上的两点，且∠P 1OP 2=π4，则x 1x 2+y 1y 2= .
2. (必修4 P 99第12题改编)在△ABC 中，若AB=5，AC=12，BC=13，
则AB ·BC =
3. (必修4 P99第10题改编)已知|a |=2，|b |=1，且a ，b 和夹角是120°，
则|a +2b |= .
4. (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的30°方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m .
【课堂探究】
例1 如图(1)，在矩形ABCD 中，BC=2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF 则AE ·BF 的值为 .
例2 已知向量m =(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为
3π4，且m ·n =-1. (1) 求向量n ；
(2) 若向量n 与q =(1，0)共线，向量p =22cos
cos 2C A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，其中A ，C 为△ABC 的内角，且A ，B ，C 依次成等差数列，求|n +p |的取值范围.
【巩固提升】 1. (2015·苏州调查)已知函数y =Asin(ωx +φ)π00||2ωϕ⎛
⎫>>< ⎪⎝⎭
A ，，的图象上一个最高点的坐标为(2，
，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6，0)，则此函数的解析式为 .
2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =1，角B=45°，S △ABC =2，则b = .
3. (2015·常州期末)函数f (x )=cos
2x sin 22⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 的最小正周期为 .
4. (2015·山东卷)过点P(1作圆x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA ·PB = .
5.在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m =(a ，b )， n =(sin B ，sin A)，p =(b -2，a -2).
(1) 若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；
(2) 若m ⊥p ，边长c =2，C=
π3
，求△ABC 的面积S.
6. (2015·泰州二模)已知向量a =1-2⎛ ⎝⎭
，b =(2cos θ，2sin θ)，0<θ<π. (1) 若a ∥b ，求角θ的大小； (2) 若|a +b |=|b |，求sin θ的值.
7. (2015·常州期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .
已知b c =3
A+3C=π.
(1) 求cos C 的值；(2) 求sin B 的值；(3) 若b ABC 的面积.
8. (2015·湖南卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=b tan A.
(1) 求证：sin B=cos A；
(2) 若sin C-sin Acos B=3
4
，且B为钝角，求角A，B，C的大小.。