2016-2017学年福建省龙岩市连城县朋口中学高三(上)期中数学试卷(理科)及解析

2016-2017学年福建省龙岩市连城县朋口中学高三（上）期中数
学试卷（理科）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
， x ＜0}，N={y|y=lo g 12
x ，0＜x ＜1}，则“x∈M”是
“x∈N”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z|的取值范围是（ ） A.（1，5） B.（1，3） C.(1,√5) D.(1,√3)
3.定义运算x ⊗y= {x(x ≤y)
y(x >y)
，若|m ﹣1|⊗m=|m ﹣1|，则m 的取值范围是
（ ） A.[ 1
2,+∞ ） B.[1，+∞）
C.（﹣ ∞,12
）
D.（0，+∞）
4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）
A.C 61C 942
B.C 1003 ﹣ C 943
C.C 61C 992
D.A 1003 ﹣ A 943
5.已知函数f （x+1）为奇函数，函数f （x ﹣1）为偶函数，且f （0）=2，则f （4）=（ ） A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4
6.已知集合A={（x ，y ）|y• √x =0}，B={（x ，y|x 2+y 2=1）}，C=A∩B，则C 中元素的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
7.函数f（x）=（a﹣1
e x−1）sinx是偶函数，则常数a等于（）
A.﹣1
B.1
C.﹣1
2 D.1
2
8.设f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上为增函数，且f（1
3）
＞0，则不等式f（log1
8
x）＞0的解集为（）
A.（0，1
2）
B.（2，+∞）
C.（1
2
，1）∪（2，+∞）
D.（0，1
2）∪（2，+∞）
9.设y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），又y=f（x+2）与y=f﹣1（x﹣1）互为反函数，则f﹣1（2004）﹣f﹣1（1）的值为（）
A.4006
B.4008
C.2003
D.2004
10.设全集I={1，2，3，…，9}，A，B是I的子集，若A∩B={1，2，3}，就称（A，B）为好集，那么所有“好集”的个数为（）
A.61
B.62
C.26
D.36
第II卷（非选择题）
二、解答题
，c分别为角A，B，C所对的三边，a2﹣（b﹣c）2=bc，（1）求角A；
（2）若BC=2 √3，角B等于x，周长为y，求函数y=f（x）的取值范围．
12.已知f（x）=x2﹣a
x （x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（x）在（﹣∞，﹣2]上为减函数，求a的取值范围．
13.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f （x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x+x2．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]，求f （x ）的解析式；
（1）+f （2）+…+f（2008）．
三、填空题
14.设g （x ）= {x ≤0lnx,x >0
，则g （g （ 1
2 ））= ．
15.已知a∈R，若关于x 的方程x 2+x+|a ﹣ 1
4 |+|a|=0有实根，则a 的取值范围
是
16.设函数f （x ）=x|x|+bx+c ，给出下列命题：①b=0，c ＞0时，方程f （x ）=0只有一个实数根；②c=0时，y=f （x ）是奇函数；③方程f （x ）=0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为 ．
参考答案
1.A
【解析】1.解：M={y|y=2x， x＜0}={y|0＜y＜1}，
={y|y＞0}，
∴“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件．
故选：A．
2.C
【解析】2.解：|z|= √a2+1，
而0＜a＜2，
∴1＜|z|＜√5，
故选C．
【考点精析】本题主要考查了复数的定义的相关知识点，需要掌握形如
的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部才能正确解答此题．3.A
【解析】3.解：由|m﹣1|⊗m=|m﹣1|可得：|m﹣1|≤m，
∴m≥0，两边平方得：m2﹣2m+1≥m2，
即：m≥ 1
2．
故选A
4.B
【解析】4.解：在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，共有C
100
3种结果，
至少有1件次品的对立事件是没有次品，
没有次品的事件有C
94
3，
∴至少有1件次品的不同取法有C
1003﹣C
94
3，
故选：B．
5.B
【解析】5.解：由题意得 f（﹣x+1）=﹣f（x+1）①
f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）②
由①得f（x+1）=﹣f（﹣x+1），
所以f（4）=f（3+1）=﹣f（﹣3+1）=﹣f（﹣2），
又由②得 f（﹣2）=f（﹣1﹣1）=f（1﹣1）=f（0）=2
于是f（4）=﹣2．
故选B．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质和函数的值的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；
函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能正确解答此题． 6.C
【解析】6.解：根据题意画出图形，如图所示，
∵A={（x ，y ）|y• √x =0}，B={（x ，y ）|x 2+y 2=1）}，且C=A∩B， ∴C 中元素的个数是3， 故选：C ．
【考点精析】关于本题考查的集合的交集运算，需要了解交集的性质：（1）
A∩B A ，A∩B B ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则A B ，反之也成立才能得出正确答案． 7.C
【解析】7.解：∵函数f （x ）=（a ﹣ 1
e x −1 ）sinx 是偶函数， ∴f（﹣x ）=
f （x ），即（a ﹣ 1
e −x −1 ）sin （﹣x ）=（a ﹣ 1
e x −1 ）sinx ∵sin（﹣x ）=﹣sinx ，对x∈R 成立
∴a﹣ 1
e −x −1 =﹣（a ﹣ 1
e x −1 ），对x∈R 成立，
整理，得 1e x −1 + 1e −x −1 =2a ，即 1e x −1 + e x
1−e x =2a
∴2a= 1−e x e x −1 =﹣1，可得a=﹣ 1
2
故选：C
【考点精析】本题主要考查了正弦函数的奇偶性的相关知识点，需要掌握正弦函数为奇函数才能正确解答此题． 8.D
【解析】8.解：∵f（x ）是定义在R 上的偶函数，∴f（﹣x ）=f （x ）=f （|x|），
又f （x ）在[0，+∞）上为增函数，且f （ 1
3 ）＞0， ∴由f （ 13
）＞0，可得 |log 18
x|>13
， 即 log 18
x >13
或log 18
x <−13
，
∴ 0<x <1
2
或x >2 ；
故选D ．
【考点精析】掌握奇偶性与单调性的综合是解答本题的根本，需要知道奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．
【解析】9.解：y=f （x+2） x+2=f ﹣1（y ） ∴x=f ﹣1（y ）﹣2
因此y=f （x+2）的反函数为y=f ﹣1（x ）﹣2 因此f ﹣1（x ﹣1）=f ﹣1（x ）﹣2
f ﹣1（x ）=f ﹣1（x ﹣1）+2对所有x 恒成立
f ﹣1（2004）﹣f ﹣1（1）=2×（2004﹣1）=4006 故选；A ． 10.D
【解析】10.解：若A∩B={1，2，3}， 则集合A 、B 都要包含1，2，3， 且对全集中的其它6个元素，
要么在集合A 中，要么在集合B 中或者不在A 、B 中， 这3种情况只能选择其一，
故6个元素所处集合的不同情况是： 3×3×3×3×3×3=36种， 故选：D ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解子集与真子集的相关知识，掌握任何一个集合是它本身的子集；n 个元素的子集有2n 个,n 个元素的真子集有2n －1个,n 个元素的非空真子集有2n －2个． 11.
（1）解：∵a 2﹣（b ﹣c ）2=bc∴a 2﹣b 2﹣c 2=﹣bc
∴cosA= b 2+c 2−a 2
2bc
=12 又0＜A ＜∴A= π
3
（2）解：∵ AC
sinx =BC
sinA ∴AC= BC sin π3
⋅sinx =
√3
√3
2
=sinx =4sinx
同理
AB= BC
sinA ⋅
sinC =
4sin(2π
3−x)
∴y=4sinx+4sin（ 2π
3−x ）+2 √3 = 4√3sin(x +π
6
)+2√3 ．
∵A= π3 ∴0＜B=x ＜ 2π
3
故x+ π6 ∈（ π6,5π6 ），∴sin（x+ π6 ）∈（ 1
2 ，1]∴y∈（4 √
3 ，6 √3 ]
【解析】11.（1）考查余弦定理，将a 2﹣（b ﹣c ）2=bc 变形，即可求出cosA ，从而求出A （2）利用正弦定理将y 关于x 的函数式写出来，利用A 的范围求其值域
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:
；余弦定理:
;
;
才能正确解答此题．
（1）解：当a=0时，f（x）=x2，
对任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）=x2﹣a
x （a≠0，x≠0），取x=±1，
得f（﹣1）+f（1）=2≠0，f（﹣1）﹣f（1）=﹣2a≠0，∴f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，
综上，当a=0时，f（x）为偶函数；
当a≠0时，函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数
（2）解：f′（x）=2x+ a
x2，
要使函数f（x）在x∈（﹣∞，﹣2]上为减函数，则有f′（x）≤0在（﹣∞，﹣2]时恒成立，
即2x+ a
x2≤0恒成立，
即a≤﹣2x3对x∈（﹣∞，﹣2]恒成立，
故a≤16
【解析】12.（1）通过讨论a=0和a≠0，结合函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）求出函数的导数，问题转化为a≤﹣2x3对x∈（﹣∞，﹣2]恒成立，从而求出a的范围即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法和函数的奇偶
性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x
1,x
2
是所
研究区间内任两个自变量，且x
1＜x
2
；②判定f(x
1
)与f(x
2
)的大小；③作差比
较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
13.
（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f （x），
∴f（x）为周期函数且4是它的一个周期
（2）证明：∵f（x）R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2）=f（0+2）=f（0）=0，满足f（x）=x2﹣2x，∴x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣2x，
当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，∴f（﹣x）=x2+2x，
∴x∈[﹣2，0]时，∴f（x）=﹣[﹣f（x）]=x2﹣2x，
又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，
∴f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4）2﹣2（x﹣4）=﹣x2+6x﹣8
（3）证明：由函数的周期性可得，原式的值=4×502=2008
【解析】13.（1）根据函数的周期性证明（2）利用周期性概念，奇偶性定义转化，（3）根据周期性整体求解得出即可
14.1
2
【解析】14.解：∵g（x）= {e x,x≤0 lnx,x>0，
∴g（1
2）=ln 1
2
=﹣ln2＜0，
∴g（g（1
2））=g（﹣ln2）
=e﹣ln2 = e ln2−1 =2﹣1
= 1
2
．
所以答案是：1
2．
【考点精析】通过灵活运用对数的运算性质，掌握①加法：
②减法：③数乘：
④⑤即可以解答此题．
15.[0,1
4
]
【解析】15.解：x2+x+|a﹣1
4 |+|a|=0即|a﹣1
4
|+|a|=﹣（x2+x），
令y=﹣（x2+x），分析可得，y≤ 1
4
，
若方程x2+x+|a﹣1
4 |+|a|=0有实根，则必有|a﹣1
4
|+|a|≤ 1
4
，
而|a﹣1
4|+|a|≥ 1
4
，当且仅当0≤a≤ 1
4
时，有|a﹣1
4
|+|a|= 1
4
，
故且仅当0≤a≤ 1
4时，有|a﹣1
4
|+|a|=﹣（x2+x）成立，即x2+x+|a﹣1
4
|+|a|=0有实根，
可得实数a的取值范围为[0,1
4
]，
所以答案是：[0,1
4]．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握
含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．
16.①②
【解析】16.解：①b=0，c＞0时，f（x）=x|x|+c= ，如图①，曲线与x轴只有一个交点，
所以方程f（x）=0 只有一个实数根，正确．
②c=0时，f（x）=x|x|+bx，显然是奇函数．
③当c=0，b＜0时，如图②，f（x）=x|x|+bx= ，
方程f（x）=0可以有三个实数根．
综上所述，正确命题的序号为①②．
【考点精析】掌握函数的奇偶性是解答本题的根本，需要知道偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．。