北京市房山区八年级(上)期末数学试卷

八年级（上）期末数学试卷
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）
1.5的算术平方根是（ ）
A. 25
B. ±5
C. 5
D. −5
2.当x=2时，下列分式的值为0的是（ ）
A. xx−2
B. x+2x
C. x−2x2−4
D. x−2x
3.下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A. −x+yx−y=−1
B. xy=x+1y+1
C. xx+y=11+y
D. (−3xy)2=3x2y2
4.下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. ab2
B. 12
C. x2+y2
D. 25
5.估计7的值在（ ）
A. 0和1之间
B. 1和2之间
C. 2和3之间
D. 3和4之间
6.用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的
长为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.京剧被誉为我国国粹，为传承民族文化，房山区某中学开展了“京剧进课堂”的实践
活动，学生们制作了各式各样的脸谱．下列脸谱中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
9.下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 今年2月1日，房山区的天气是晴天
B. 从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上
C. 长度分别是2cm，3cm，4cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形
D. 小雨同学过马路，遇到红灯
10.如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B
落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（ ）
A. 32∘
B. 64∘
C. 65∘
D. 70∘
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
11.二次根式x+1中，x的取值范围是______．
12.-8的立方根是______．
13.化简(−3)2的结果是______．
14.计算：2x2y×y4x=______．
15.化简分式3a−3b(a−b)2的结果是______．
16.如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于
点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：
______．
17.一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区
别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是______．
18.如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若
∠A=50°，则∠BOE的度数为______．
19.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于
点D，E．若△ABC的周长为30，BE=5，则△ABD的周长
为______．
20.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小米的作法如下：
请回答：小米的作图依据是______．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
21.计算：12+18−|−2|−1550
22.解方程：xx−1-2x=1．
四、解答题（本大题共8小题，共50.0分）
23.先化简，再求值：(x−2−5x+2)÷x−32x+4，其中x=2．
24.已知：如图，C是线段AB的中点，∠A=∠B，∠ACE=∠BCD．
求证：AD=BE．
25.列分式方程解应用题
某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．
26.如图，有一块凹四边形土地ABCD，∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=13m，
BC=12m，求这块四边形土地的面积.
27.
28.如图，△ABC中，∠A=60°．
（1）求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并
且点P到AB、BC的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若∠ACP=15°，求∠ABP的度数．
29.（1）在如下6×6的网格中（每个小正方形边长均为1）．画出一个面积为10的正
方形；
（2）在如图所示数轴上找到表示−5的点（保留画图痕迹）．
30.阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式(x−a)(x−b)x的值为零，则x=a或x=b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx-（a+b），所以关于x的方程x+abx=a+b 有两个解，分别为x1=a，x2=b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+px=q的两个解分别为x1=-1、x2=4，则P=______，q=______；
（2）方程x+3x=4的两个解中较大的一个为______；
（3）关于x的方程2x+n2+n−22x+1=2n的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求2x12x2−3的值．
31.如图，BN是等腰Rt△ABC的外角∠CBM内部的一条射
线，∠ABC=90°，AB=CB，点C关于BN的对称点为D，
连接AD，BD，CD，其中CD，AD分别交射线BN于
点E，P．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠CBN=α，求∠BDA的大小（用含α的式子表
示）；
（3）用等式表示线段PB，PA与PE之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：∵的平方为5，
∴5的算术平方根为．
故选：C．
算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2.【答案】D
【解析】
解：（A）当x=2时，原分式无意义，故本选项错误；
（B）当x=2时，原式==2≠0，故本选项错误；
（C）当x=2时，原分式无意义，故本选项错误；
（D）当x=2时，原式=0，故本选项正确；
故选：D．
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值为0的条件：分子等于零且分母不等于零，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型．
3.【答案】A
【解析】
解：（B）分子分母同时加1，左右两边不一定相等，故B错误；
（C）原式已为最简分式，故C错误；
（D）原式=，故D错误；
故选：A．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】
解：A、=|b|，可化简；
B、==2，可化简；
D、==，可化简．
故选：C．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
5.【答案】C
【解析】
解：∵22=4，32=9，
∴2＜＜3，
故选：C．
先估算出的范围，即可得出选项．
本题考查了估算无理数的大小的应用，能正确估算的大小是解此题的关键．
6.【答案】A
【解析】
解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
根据高线的定义即可得出结论．
本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．7.【答案】A
【解析】
解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD=AC=7，
∵BE=5，
∴DE=BD-BE=2，
故选：A．
根据全等三角形的对应边相等推知BD=AC=7，然后根据线段的和差即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
8.【答案】B
【解析】
解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
9.【答案】C
【解析】
解：A．今年2月1日，房山区的天气是晴天，属于随机事件；
B．从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上，属于随机事件；
C．长度分别是2cm，3cm，4cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形，属于必然事件；
D．小雨同学过马路，遇到红灯，属于随机事件；
故选：C．
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，根据必然事件的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题主要考查了随机事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
10.【答案】B
【解析】
解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=32°，
根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D，
∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+64°，
∴∠1-∠2=64°．
故选：B．
由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出
所求角的度数．
此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，
熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对
称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11.【答案】x≥-1
【解析】
解：由题意可知：x+1≥0，
解得x≥-1，
故答案为x≥-1．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，本题属于基础题型．
12.【答案】-2
【解析】
解：∵（-2）3=-8，
∴-8的立方根是-2．
故答案为：-2．
利用立方根的定义即可求解．
本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根
号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．
13.【答案】3
【解析】
解：==3．
故答案为：3．
根据二次根式的性质解答．
解答此题利用如下性质：=|a|．
14.【答案】x2
【解析】
解：==，
故答案为：．
分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
本题主要考查了分式的乘除法，做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，
乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
15.【答案】3a−b
【解析】
解：原式=
=
故答案为：．
根据分式的约分法则计算即可．
本题考查的是分式的化简，掌握分式的约分法则是解题的关键．
16.【答案】∠B=∠C
【解析】
解：∠B=∠C，
理由是：∵在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD（ASA），
故答案为：∠B=∠C．
添加条件是∠B=∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．17.【答案】58
【解析】
解：∵袋子中装有3个白球和5个红球，共有8个球，从中随机摸出一个球是红球的可能结果有5种，
∴从袋子中随机摸出一个球是红球的可能性是，
故答案为：．
先求出袋子中总的球数，再用红球的个数除以总的球数，即可得到摸到红球的可能性大小．
此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相
同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
18.【答案】65°
【解析】
解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴∠BOC=180°-65°=115°，
∴∠BOE=180°-115°=65°，
故答案为：65°．
由三角形内角和得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，根据角平分线定义得
∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB），进而得到∠BOC的度数，即可得到∠BOE的度数．
本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和
定理、角平分线的定义是解题的关键．
19.【答案】20
【解析】
解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB=DC，BE=EC，
∵BE=5，
∴BC=10，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC=30，
∴AB+AC=20，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=20，
故答案为20．
利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长=AB+AC即可解决问题．
本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
20.【答案】有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
【解析】
解：由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠O=∠O′．
故答案为：有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．
由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，再利用SSS判定
△ODC≌△O′D′C′，再根据全等三角形对应角相等可得∠O=∠O′．
此题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法，掌握全
等三角形的判定与性质．
21.【答案】解：原式=22+32-2-2
=322．
【解析】
先化简各二次根式、取绝对值符号，再合并同类二次根式即可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及绝对值的性质．
22.【答案】解：去分母得：x2-2x+2=x2-x，
解得：x=2，
检验：当x=2时，方程左右两边相等，
所以x=2是原方程的解．
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23.【答案】解：(x−2−5x+2)÷x−32x+4
=[(x+2)(x−2)x+2-5x+2]×2(x+2)x−3
=(x+3)(x−3)x+2×2(x+2)x−3
=2（x+3），
当x=2时，2（x+3）=2×5=10．
【解析】
这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．
考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
24.【答案】证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC=BC．
∵∠ACE=∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
∠A=∠BAC=BC∠ACD=∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（ASA）．
∴AD=BE．
【解析】
根据题意得出∠ACD=∠BCE，AC=BC，进而得出△ADC≌△BEC即可得出答案．本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
25.【答案】解：设甲车的平均速度是x千米/时，则乙车的平均速度是1.2x千米/时，根据题意，得90x=901.2x+1560，
解得x=60．
经检验，x=60是原方程的解，
此时1.2x=72．
答：乙车的平均速度是72千米/时．
【解析】
设甲车的平均速度是x千米/时，则乙车的平均速度是1.2x千米/时，根据甲车行驶的时间=乙车行驶的时间+小时路程方程，求解即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26.【答案】解：连接AC，
∵∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，
∴AC=CD2+AD2=5m．
∵BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC为直角三角形且∠ACB=90°，
S△ABC=12×5×12=30（m2），S△ACD=12×3×4=6（m2）
∴这块四边形土地的面积为：30-6=24 （m2）．
【解析】
连接AC，首先根据解直角△ADC求AC，然后求证△ABC为直角三角形，最后根据“四边形ABCD的面积=△ABC面积-△ACD面积”即可计算．
本题主要考查了直角三角形中勾股定理的运用和根据勾股定理判定直角三角形，本题中求证△ABC是直角三角形是解题的关键．
27.【答案】解：（1）如图，
（2）如图，
∵PD是BC的中垂线，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠PBC=∠ABP，
∵∠A=60°，
∴∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=120°，
∵∠ACP=15°，
∴∠ABP=35°．
【解析】
（1）利用中垂线到线段端点的距离相等及角平分线到两边的距离相等的性质
作图即可．
（2）由中垂线到线段端点的距离相等及角平分线上的点到角的两边的距离相
等的性质，可得出∠ABP=∠PBC=∠PCB，再利用∠ABP+∠PBC+∠PCB=120°求
解即可．
本题主要考查了作图，角平分线及中垂线的性质，解题的关键是熟记角平分
线及中垂线的性质．
28.【答案】解：（1）如图，正方形ABCD即为所求，
（2）如图，点P即为所求
【解析】
（1）利用勾股定理画出长度为的线段，然后利用旋转画出边长为的
正方形即可；
（2）先在数轴的负半轴上画出边长分别为1、2的矩形，然后在负半轴上截取
矩形的对角线得到表示-的点．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
29.【答案】解：（1）-4，3；
（2）3；
（3）∵2x+n2+n−22x+1=2n，
∴2x+1+n2+n−22x+1=2n+1，
2x+1+(n+2)(n−1)2x+1=（n+2）+（n-1），
∴2x+1=n+2或2x+1=n-1，
x=n+12或n−22，
∵x1＜x2，
∴x1=n−22，x2=n+12，
∴2x12x2−3=2⋅n−222⋅n+12−3=n−2n+1−3=1.
【解析】
【分析】
此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键.
（1）根据材料可得：p=-1×4=-4，q=-1+4=3，计算出结果；
（2）设方程x+=4的两个解为a，b，同理得ab=3，a+b=4，解出可得结论；（3）将原方程变形后变为：2x+1+=2n+1，未知数变为整体2x+1，根据
材料中的结论可得：x1=，x2=，代入所求式子可得结论.
【解答】
解：（1）∵方程x+=q的两个解分别为x1=-1、x2=4，
∴p=-1×4=-4，q=-1+4=3，
故答案为-4，3；
（2）设方程x+=4的两个解为a，b，
则ab=3，a+b=4，
∴a=1，b=3或a=3，b=1，
∴两个解中较大的一个为3，
故答案为3；
（3）见答案.
30.【答案】解：（1）图象如图所示：
（2）∵∠ABC=90°，
∴∠MBC=∠ABC=90°，
∵点C关于BN的对称点为D，
∴BC=BD，∠CBN=∠DBN=α，
∵AB=BC，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠ADB=12（180°-90°-2α）=45°-α．
（3）猜想：PA=2（PB+PE）．
证明：过点B作BQ⊥BE交AD于Q．
∵∠BPA=∠DBN+∠ADB，∠ADB=45°-α，∠DBN=α
∴∠BPA=∠DPE=45°，
∵点C关于BN的对称点为D，
∴BE⊥CD，
∴PD=2PE，PQ=2PB，
∵BQ⊥BE，∠BPA=45°，
∴∠BPA=∠BQP=45°，
∴∠AQB=∠DPB=135°，
又∵AB=BD，∠BAD=∠ADB，
∴△AQB≌△BPD（AAS），
∴AQ=PD，
∵PA=AQ+PQ，
∴PA=2（PB+PE）．
【解析】
（1）根据题意作出图形即可；
（2）首先证明BA=BD，再根据三角形内角和定理即可解决问题；
（3）猜想：PA=（PB+PE）．过点B作BQ⊥BE交AD于Q，只要证明PQ= PB，AQ=DP=PE即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。