八年级数学上册 轴对称填空选择单元测试卷(含答案解析)

八年级数学上册轴对称填空选择单元测试卷（含答案解析）
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．如图，已知点I是△ABC的角平分线的交点．若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝______（用含α的式子表示）
【答案】120
6
α
︒-
【解析】
【分析】
在AC上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，
设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.
【详解】
解：如图所示，在AC上截取AD=AB，连接DI，
点I是△ABC的角平分线的交点
所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，
在△ABI和△ADI中，
AB=AD
BAI=DAI
AI=AI
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
∴△ABI≌△ADI（SAS）
∴DI=BI
又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC
∴DI=DC
∴∠DCI=∠DIC
设∠DCI=∠DIC=β
则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β
在△ABC 中， ∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180ββ︒++=a ，
∴180=3066
β︒︒=--a a 在△ABI 中，180︒∠=-∠-∠AIB BAI ABI
121802
αβ︒=-- 1=23160028αα︒︒⎛⎫--- ⎪⎝
⎭ =1206α
︒-
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.
2．如图，10AB =，45A B ∠=∠=︒，32AC BD ==．点E ，F 为线段AB 上两点．现存在以下条件：①4CE DF ==；②AF BE =；③CEB DFA ∠=∠；
④5CE DF ==．请在以上条件中选择一个条件，使得ACE △一定．．
和BDF 全等，则这个条件可以为________．（请写出所有正确的答案）
【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定定理逐个判断即可.
【详解】
①如图1，过点C 作CM AB ⊥，过点D 作DN AB ⊥
32,45A B AC BD ∠=∠===︒
3CM AM DN BN ∴====
4CE DF ==
由勾股定理得：22227,7ME CE CM NF DF DN =-==-=37,37AE AM ME BF BN NF ∴=-=-=+=+AE BF ≠
此时，ACE ∆和BDF ∆不全等
②AF BE
=
AF EF BE EF
∴+=+，即AE BF
=
又452
,3
AC D
A B B
∠=∠=︒==
则由SAS定理可得，ACE BDF
∆≅∆
③
CEB DFA
CEB C A
DFA D B
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠+∠
⎨
⎪∠=∠+∠
⎩
C A
D B
∴∠+∠=∠+∠
又A B
∠=∠
C D
∴∠=∠
32
AC BD
==
则由ASA定理可得，ACE BDF
∆≅∆
④由（1）知，当5
CE DF
==时，2222
4,4
ME CE CM NF DF DN
=-==-=
此时，
,
,
CE CA DF BD
ME AM NF BN
>>
⎧
⎨
>>
⎩
则点E在点M的右侧，点F在点N的左侧
又10
AM BN ME AM BN NF AB
++=++==
则点E与点N重合，点F与点M重合，如图2所示
因此必有347
AE BF
==+=
由SSS定理可得，ACE BDF
∆≅∆
故答案为：②③④.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各判定定理是解题关键.
3．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,
当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)
【答案】0；4；8；12
【解析】
【分析】
此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP 或AC＝BN进行计算即可．
【详解】
解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝6−2＝4，
∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；
②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，
这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝2＋6＝8，
∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；
④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，
∵BC＝6，
∴BP＝6，
∴CP＝6＋6＝12，
点P的运动时间为12÷1＝12（秒），
故答案为：0或4或8或12．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．如图,C为线段AE上一动点(不与A． E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边
△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论：
①AD=BE;②PQ∥AE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤∠AOB=60°，一定成立的有________（填序号）
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE．
③先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP=CQ，③正确；
②根据∠PCQ=60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC=∠DCE=60°，得出PQ∥AE，②正确．
④没有条件证出BO=OE，得出④错误；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，⑤正确；即可得出结论．
【详解】
解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC BC
ACD BCE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACP=∠BCQ=60°，
在△ACP和△BCQ中，
ACP BCQ
CAP CBQ AC BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴CP=CQ，结论③正确；
又∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠AEO，
∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，
∴结论⑤正确．没有条件证出BO=OE，④错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故答案是：①②③⑤．
【点睛】
此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
5．如图，平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），BC∥y轴，且BC＜OA，第一象限内有一点P（a，2a-3），若使△ACP是以AC斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标为
_______________．
【答案】（10
3
，
11
3
）．
【解析】
【详解】
解：∵点P的坐标为（a，2a-3），
∴点P在直线y=2x-3上，
如图所示，当点P在AC的上方时，过P作y轴的垂线，垂足为D，交BC的延长线于E，
则∠E=∠ADP=90°，
∵△ACP 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，
∴AP=PC ，∠APD=∠PCE ，
∴△APD ≌△PCE ，
∴PE=AD ，
又∵OD=2a-3，AO=3，
∴AD=2a-6=PE ，
∵DE=OB=4，DP=a ，
又∵DP+PE=DE ，
∴a+（2a-6）=4， 解得a=
103 ∴2a-3=
113， ∴P （103，113
）； 当点P 在AC 下方时，过P 作y 轴的垂线，垂足为D ，交BC 于E ，
a=2，
此时，CE=2，BE=2，
即BC=2+2=4＞AO ，不合题意；
综上所述，点P 的坐标为P （
103，113） 故答案为P （103，113
）．
6．如图，已知ABC △是等边三角形，点D 在边BC 上，以AD 为边向左作等边ADE ，连结BE ，作BF AE ∥交AC 于点F ，若2AF =，4CF =，则
AE =________．
【答案】27 【解析】
【分析】
证明△BAE ≌△CAD 得到ABE BAC ∠=∠，从而证得BE
AF ，再得到AEBF 是平行四边
形，可得AE=BF ，在三角形BCF 中求出BF 即可.
【详解】
作FH BC ⊥于H ，
∵ABC 是等边三角形,2AF =，4CF =
∴BC=AC=6 在HCF 中， CF=4, 060BCF ∠=
030,2CFD CH ∴∠==
2224212FH ∴=-=
22241227BF BH FH ∴++=
∵ABC 是等边三角形，ADE 是等边三角形
∴AC=AB ，AD=AE ，060CAB DAE ∠=∠= CAD BAE ∴∠=∠
CAD BAE ∴∆≅∆
060ABE ACD ∴∠=∠=
ABE BAC ∴∠=∠
BE AF ∴
∵BF AE
∴AEBF 是平行四边形
∴AE=BF= 27【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE//AB 交BC 于点E.若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请写出相应的BF 的长：BF ＝_________
【答案】23或43.
【解析】
【分析】
过点D 作DF 1∥BE ，求出四边形BEDF 1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF 1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F 1为所求的点，过点D 作DF 2⊥BD ，求出
∠F 1DF 2=60°，从而得到△DF 1F 2是等边三角形，然后求出DF 1=DF 2，再求出∠CDF 1=∠CDF 2，利用“边角边”证明△CDF 1和△CDF 2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F 2也是所求的点，然后在等腰△BDE 中求出BE 的长，即可得解．
【详解】
如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，
所以BE=DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，
此时S △DCF1=S △BDE ；
过点D 作DF 2⊥BD ，
∵∠ABC=60°，F 1D ∥BE ，
∴∠F 2F 1D=∠ABC=60°，
∵BF 1=DF 1，∠F 1BD=
12
∠ABC=30°，∠F 2DB=90°， ∴∠F 1DF 2=∠ABC=60°，
∴△DF 1F 2是等边三角形，
∴DF 1=DF 2，
∵BD=CD ，∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点， ∴∠DBC=∠
DCB=12
×60°=30°， ∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF 2=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF 1=∠CDF 2，
∵在△CDF 1和△CDF 2中，
1212DF DF CDF CDF CD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△CDF 1≌△CDF 2（SAS ），
∴点F 2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=
12×60°=30°， 又∵BD=6，
∴BE=12×6÷cos30°=3÷32
=23， ∴BF 1=BF 2=BF 1+F 1F 2=23+23=43，
故BF 的长为23或43.
故答案为：23或43.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题关键，（3）要注意符合条件的点F 有两个．
8．如图，OP 平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC ＝4，点D 是射线OA 上的一个动点，则PD 的最小值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
作PE⊥OA 于E ，根据角平分线的性质可得PE ＝PD ，根据平行线的性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE ，即可求得PD ．
【详解】
当PD⊥OA时，PD有最小值，作PE⊥OA于E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝30°，
∴在Rt△PCE中，PE＝1
2
PC＝
1
2
×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边
的一半），
∴PD＝PE＝2，
故答案是：2．
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
9．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠D＝__________.
【答案】30°
【解析】
试题解析：（1）连接CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
在△BCE与△ACE中，
{
AC BC
AE BE
CE CE
＝
＝
＝
∴△BCE≌△ACE（SSS）
∴∠BCE=∠ACE=30°
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE，
在△BDE与△BCE中，
{
BD BC
DBE CBE
BE BE
∠∠
＝
＝
＝
∴△BDE≌△BCE（SAS），
∴∠BDE=∠BCE=30°．
10．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别过A、B、C三点，l1∥l2∥l3，若l1与l2之间的距离为4，l2与l3之间的距离为5，则正方形的边长为______．
【答案】41
【解析】
解：过B作直线BF⊥l3于F，交直线l1于点
E．∵l1∥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴BE=4，BF=5．∵ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°．∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF．在
△ABE和△BCF中，
∵∠BAE=∠CBF，∠AEB=∠BFC，AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF=5．在Rt△AEB中，AB=22
AE BE=22
54
+=41．故答案为41．
点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解答本题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出△ABE≌△BCF，难度适中．
二、八年级数学全等三角形选择题（难）
11．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：
①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】 ①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知AH DF =，即可作出判断.
【详解】
①正确：∵ABC △是等边三角形，
∴60BAC ︒∠=，∴CA AB =．
∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．
又∵90BAD ︒∠=，∴150CAD BAD BAC ︒∠=∠+∠=，
∴DA CA =，∴()
1180150152ADC ACD ︒︒︒∠=∠=
-=； ②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°
∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG ∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°
∠AFG≠∠AGD
∴AF≠AG
③，④正确，由题意可得45DAF ABH ︒∠=∠=，DA AB =，
∵AE BD ⊥，AH CD ⊥．∴180EHG EFG ︒∠+∠=．
又∵180?DFA EFG ∠+∠=，∴EHG DFA ∠=∠，
在DAF △和ABH 中
()
AFD BHA
DAF ABH AAS
DA AB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴DAF
△≌ABH．∴DF AH
=．
⑤正确：∵150
CAD︒
∠=，AH CD
⊥，
∴75
DAH︒
∠=，又∵45
DAF︒
∠=，∴754530
EAH︒︒︒
∠=-=
又∵AE DB
⊥，∴2
AH EH
=，又∵=
AH DF，∴2
DF EH
=
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.
12．如图, AB=AC，AD=AE， BE、CD交于点O，则图中全等三角形共有（）
A．五对B．四对C．三对D．二对
【答案】A
【解析】
如图，由已知条件可证：①△ABE≌△ACD；②△DBC≌△ECB；③△BDO≌△ECO；
④△ABO≌△ACO；⑤△ADO≌△AEO；
∴图中共有5对全等三角形.故选A.
13．如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，
BE=BA．下面结论：①△ABD≌△EBC；②AC=2CD；③AD=AE=EC；
④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【解析】
已知BD为△ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，在△AB D和△EB C 中，BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BA，由SAS可判定△ABD≌△EBC，即可得①正确；根据已知条件，无法证明AC=2CD，②错误；已知BD为△ABC的角平分线，
BD=BC ，BE=BA ，可得∠BCD =∠BDC =∠BAE =∠BEA ， 再由
∠BCE =∠BDA ，∠BCE =∠BCD +∠DCE ，∠BDA =∠DAE +∠BEA ，∠BCD =∠BEA ，可得∠DCE =∠DAE ，所以AE =EC ；再由△ABD ≌△EBC ，可得AD=EC ，所以AD=AE=EC ，即③正确；由△ABD ≌△EBC ，可得∠BCE =∠BDA ，所以∠BCE +∠BCD =∠BDA +∠BDC =180°，④正确.故选C.
点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
14．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结
论:①45ADC ∠=︒;②12
BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】
试题解析：如图，
过E 作EQ ⊥AB 于Q ，
∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，
∴CE=EQ ，
∵∠ACB=90°，AC=BC ，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ ⊥AB ，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ ，
∴∠QEB=45°=∠CBA ，
∴EQ=BQ ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，
∴③正确；
作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，
∵∠CAD=
12
∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，
∴∠DBC=∠CAD ，
在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BC
ACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ，
∴CN=CD ，AN=BD ，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDA=45°，
∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，
∴AN=CN ，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE ，
∴CD=AN=EN=
12AE ， ∵AN=BD ，
∴BD=12
AE ， ∴①正确，②正确；
过D 作DH ⊥AB 于H ，
∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠FCD=∠DBA ，
∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，
∴DF=DH ，
在△DCF 和△DBH 中
90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝＝，
∴△DCF ≌△
DBH ，
∴BH=CF ，
由勾股定理得：AF=AH ，
∴
2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF
+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，
AC+AB=2AC+2CF ，
AB-AC=2CF ，
∵AC=CB ，
∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．
故选D
15．如图，点P 、Q 分别是边长为6cm 的等边ABC △边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点 A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，下面四个结论：
①BQ AM =②ABQ △≌CAP △③CMQ ∠的度数不变，始终等于60︒④当第 2秒或第4秒时，PBQ △为直角三角形，正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】 ∵点P 、Q 速度相同，
∴AP BQ =．
在ACP △和ABQ △中，
60AP BQ CAP ABQ AC BA =⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩
， ∴ACP △≌BAQ △，故②正确．
则AQC CPB ∠=∠．
即B BAQ BAQ AMP ∠+∠=∠+∠．
∴60AMP B ∠=∠=︒．
则60CMQ AMP ∠=∠=︒，故③正确． ∵APM ∠不一定等于60︒．
∴AP AM ≠．
∴BQ AM ≠．故①错误．
设时间为t ，则AP=BQ=t ，PB=4-t
①当∠PQB =90°时，
∵∠B =60°，
∴PB =2BQ ，得6-t =2t ，t =2 ；
②当∠BPQ =90°时，
∵∠B =60°，
∴BQ =2BP ，得t =2（6-t ），t =4；
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ 为直角三角形．
∴④正确.
故选C.
点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．
16．在边长为1的正方形网格中标有A 、B 、C 、D 、E 、F 六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC 全等的是（ ）
A ．△ACF
B ．△ACE
C ．△ABD
D ．△CEF 【答案】C
【解析】
【分析】 利用勾股定理先分别求得△ABC 的各边长以及各选项中三角形的各边长，再根据三角形全等的判定方法进行判定即可得.
【详解】
在△ABC 中，2231+10，2211+2，2，
A 、在△ACF 中，2221+5105252，则△ACF 与△ABC 不全等，故不符合题意；
B 、在△ACE 中，10，2，2，则△ACE 与△AB
C 不全等，故不符合题意； C 、在△AB
D 中，AB=AB ，2=BC ，2=AC ，则由SSS 可证明△AC
E 与△ABC 全
等，故符合题意；
D、在△CEF中，CF=3≠10，3≠2，3≠22，则△CEF与△ABC不全等，故不符合题意，故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理以及全等三角形的判定方法是解题的关键.
17．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点O为斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：
①图中全等三角形有三对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的倍；
③DE2+2CD•CE=2OA2；④AD2+BE2=2OP•OC．正确的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
结论（1）正确．因为图中全等的三角形有3对；
结论（2）错误．由全等三角形的性质可以判断；
结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．
结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．【详解】
结论（1）正确，理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．
在△AOD与△COE中，
∴△AOD≌△COE（ASA），
同理可证：△COD≌△BOE．
结论（2）错误．理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴S△AOD=S△COE，
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论（3）正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=OA，
∴（CD+CE）2=CD2+CE2+2CD•CE=DE2+2CD•CE=2OA2；
结论（4）正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．
∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，
又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．
∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，
∴△OEP∽△OCE，
∴，
即OP•OC=OE2．
∴DE2=2OE2=2OP•OC，
∴AD2+BE2=2OP•OC．
综上所述，正确的结论有3个，
故选C．
【点睛】
本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．
18．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】 作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM ，再根据角平分线的判定定理可得PB 平分∠ABC ，即可判定①；证明△PAN ≌△PAH ，△PCM ≌△PCH ，根据全等三角形的性质可得∠APN=∠APH ，∠CPM=∠CPH ，由此即可判定②；在Rt △PBN 中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由∠BPN=∠CPA=60°即可判定④.
【详解】
如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．
∵∠PAH=∠PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，
∴PN=PH ，同理PM=PH ，
∴PN=PM ，
∴PB 平分∠ABC ，
∴∠ABP=
12
∠ABC=30°，故①正确， ∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中， PA PA PN PH =⎧⎨=⎩
， ∴△PAN ≌△PAH ，同理可证，△PCM ≌△PCH ，
∴∠APN=∠APH ，∠CPM=∠CPH ，
∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，
∴∠APC=
12
∠MPN=60°，故②正确， 在Rt △PBN 中，∵∠PBN=30°， ∴PB=2PN=2PH ，故③正确，
∵∠BPN=∠CPA=60°，
∴∠CPB=∠APN=∠APH，故④正确．
综上，正确的结论为①②③④.
故选D.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
19．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；
④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明
△BRP≌△QSP．
【详解】
试题分析：
解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正确；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
没有条件可证明
△BRP≌△QSP，∴④错误；
连接RS，
∵PR=PS，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴点P在∠BAC的角平分线上，
∴PA平分∠BAC，∴①正确．
故答案为①②③．
故选A.
点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20．在△ABC与△DEF中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠F
C．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F
【答案】B
【解析】利用全等三角形的判定定理，分析可得：
A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS证明△ABC与△DEF全等；
B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，对应边不对应，不能证明△ABC与△DEF全等；
C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA证明△ABC与△DEF全等；
D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS证明△ABC与△DEF全等；
故选：D．
点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【解析】
分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS
得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG，
故结论①正确.
②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.
由①可知，△BCE≌△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，
∴∠DOM=∠MCB=90°，
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示，连接BD、EG，
由②知，BE⊥DG，
则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，
在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，
在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，
在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，
∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③结论正确.
故选：D.
点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.
22．如图，把ΔABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN
上，直线MN∥AB．在ΔABC中，若∠AOB=125°，则∠ACB的度数为（）
A．70°B．65°C．60°D．85°
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，得出O为三条角平分线的交点，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论．
【详解】
如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．
∵MN∥AB，∴OD=OE=OF（平行线间的距离处处相等）．
如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'．
由题意可知：OD=OD'，OE=OE'，OF=OF'，∴OD'=OE'=OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点．
∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=180°－125°=55°，
∴∠CAB+∠CBA=2×55°=110°，∴∠ACB=180°－110°=70°．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形的内心，平行线间的距离处处相等，角平分线定义，解答本题的关键是判断出OD=OE=OF．
23．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（）．
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，连接AP,根据HL判定△APR和△APS全等，即可说明①正确；由△APR和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，得到
∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出OP//AB，即②正确；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等；连接RS，与AP交于点D，先证
△ARD≌△ASD，即RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定.
【详解】
解：如图，连接AP
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS
∴△APR≌△APS
∴AS=AR，∠RAP=∠PAC
即①正确；
又∵AQ=PQ
∴∠QAP=∠QPA
∴∠QPA=∠BAP
∴OP//AB，即②正确.
在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.
如图，连接PS
∵△APR≌△APS
∴AR=AS，∠RAP=∠PAC
∴AP垂直平分RS，即④正确；
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的
判定和性质是解答本题的关键
24．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN 于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )
A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个
C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．
【详解】
∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．
∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；
与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；
∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=1
2
∠EOD，∠BOC=
1
2
∠MOE，
∴∠AOB=1
2
(∠EOD+∠MOE)=
1
2
×180°=90°，故C选项结论正确；
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
AO AO
AD AE
=
⎧
⎨
=
⎩
，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理
可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
25．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（）
A．AC＝DF B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE
【答案】A
【解析】
【分析】
根据AB∥DE证得∠B＝∠E，又已知BF＝CE证得BC＝EF，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断.
【详解】
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
∴BC＝EF，
若添加AC＝DF，则不能判定△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，可以判断△ABC≌△DEF（ASA），故选项B不符合题意；
若添加∠A＝∠D，可以判断△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意；
若添加AB＝DE，可以判断△ABC≌△DEF（SAS），故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键.
26．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】 利用“角边角”证明△APE 和△CPF 全等，根据全等三角形的可得AE=CF ，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP 是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE 的面积等于△CPF 的面积相等，然后求出四边形AEPF 的面积等于△ABC 的面积的一半．
【详解】
∵AB=AC ，∠BAC=90°，点P 是BC 的中点，
∴AP ⊥BC ，AP=PC ，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF 是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF ，
在△APE 和△CPF 中，
45APE CPF AP PC
EAP C ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩
＝＝＝＝， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），
∴AE=CF ，故①②正确；
∵△AEP ≌△CFP ，同理可证△APF ≌△BPE ，
∴△EFP 是等腰直角三角形，故③错误；
∵△APE ≌△CPF ，
∴S △APE =S △CPF ，
∴四边形AEPF =S △AEP +S △APF =S △CPF +S △BPE =
12S △ABC ．故④正确， 故选C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF ，从而得到△APE 和△CPF 全等是解题的关键，也是本题的突破点．
27．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，△ABP 和△DCE 全等．
A ．1
B ．1或3
C ．1或7
D ．3或7
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．
【详解】
解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP=2t=2，
所以t=1，
因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=16-2t=2，
解得t=7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故选C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．
28．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；
④AC=3BF，其中正确的结论共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【解析】
试题解析：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，{
C CBF
CD BD
EDC BDF
∠=∠
=
∠=∠
，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正
确；
∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．相似三角形的判定与性质．
29．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）
①△AFB≌△AEC；②B F＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC
．
A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．【详解】
如图，
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE；
在△AFB与△AEC中，
AF AE
BAF CAE
AB AC
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△AFB≌△AEC（SAS），
∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，
∴A、F、B、C四点共圆，
∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；
故①、②、③正确，④错误．
故选A.．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．
30．如图，D为BAC
∠的外角平分线上一点并且满足BD CD
=，DBC DCB
∠=∠，过D作DE AC
⊥于E，DF AB
⊥交BA的延长线于F，则下列结论：
①CDE △≌BDF ；②CE AB AE =+；③BDC BAC ∠=∠；④DAF CBD ∠=∠． 其中正确的结论有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】 BD=CD,AD 是角平分线，所以FD=DE,∠DFB =∠DEC =90°，所以CDE ≌BDF ；①正确.由全等得BF=CE ,因为FA=AE,FB=AB+FA ,所以CE=AB+AE , ②正确.由全等知， ∠DCE=∠FBD,所以∠BAC=∠BDC. ③正确. ∴DBF DCE ∠=∠，
∴A 、B 、C 、D 四点共圆，
∴DAF CBD ∠=∠，④正确．
故选D.。