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简记作 det( aij ). 数 aij 称为行列式 det( aij ) 的元素．
行列式这个词是Cauchy（柯西）把它用于 已经出现在十八世纪著作中的行列式的． 把元素排成方阵并采用双重足标的记法也 是属于他的．（两个竖条线是Cayley（凯 莱）在１８４１年引进的）．
注意: 从二阶三阶行列式可以得到 在n阶行列式展开式中
(3) t (n 1) (n 2) 2 1 (4) t=0。
n(n 1)
2
2. 对换
将一个排列中的两个数位置对调称为对 换。 定理1 对换改变排列的奇偶性。 定理2 在所有n阶排列中，奇偶排列各半， n! 各为个 。
2
证 设奇偶排列分别为p,q个, 则p+q=n!。 全部排列 全部排列
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
t
an 1 an 2 ann
( 1) a1j1a2j 2 anjn )
其中t是列标 j 1 ,j 2, j n 的逆序数 .
4.几种常用的特殊行列式
（1）上三角行列式(upper triangular determinant)
p个奇 一次对换 p个偶 q个偶 q个奇
，故p=q=n!/2 。
3. n阶行列式的定义
a11 记 D a 21 a n1 a12 a 22 a1n a 2n
a n 2 a nn
由n行n列元素组成,称之为n阶行列式(determinant of order n)
a11 a 21 a n1
0 a 22 an 2
0 0 0 0 a n 3 a nn
a 11a 22 a nn .
(3) 对角行列式(diagonal determinant)
1 2
12 n ;
n
(4) 反对角行列式(diagonal determinant)
(1) 一个排列中所有逆序的总和称为此排 列的逆序数，记为t； (2) 逆序数为奇(偶) 数的排列称为奇 (偶) 排列。 例1 求下列排列的逆序数 (1) 312; (2) 134782695; (3) n(n 1) 321 (4) 123 (n 1)n 解 (1) t=2; 是偶排列 (2) t=1+1+3+3+1+1=10;是偶排列
1 2 3 4
例5
D
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
?
1 2 3 4 D 0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8 a11a 22 a 33 a44 1 4 5 8 160.
(2) 下三角行列式(lower triangular determinant)
1 2
1
n n 1 2
12 n .
n
证明 若记 i ai ,n i 1 , 则依行列式定义
1 2
a n1 a 2 , n 1 a1n
n
n 1 2 1 1 a1n a2,n 1 an 1
1
1.2 n阶行列式的定义
1.2 n阶行列式的定义
1. 全排列与逆序数 2 将 1, , ,n 这n个数任意组合后排成
的数组j1 ,j 2 , ,j n 称为一个n阶(全)排列， 例如53214即为一个5阶排列。显然，n阶 排列的总数为n!。 在排列中任取两个数，如前面的数大 于后面的数，则称它们构成一个逆序。
n n 1
2
12 n .
1
n n 1 2 1 2
n.
a11
a12 a1n
0 a22 a2 n 0 0 ann
a11a22 ann
解 观察通项 a1j1a2j 2 anjn 知，要想使 之不为零，必须 j n n ，同理 j n 1 n 1, ,j 2 2,j1 1 ,而 j1j 2 j n D a11a22 ann 12 (n 1)n 为偶排列故
(1)共有n!项 (2)每项由来自不同行不同行列的n个元 素相乘而得到. (3)展开式中正负号各一半，即各n!/2项
t (4) D n ( 1) a1j a2j anj ), 1 2 n
t是列标 j1 ,j 2, j n 的逆序数。
(5)四阶及四阶以上行列式无对角线法则。
定义
D
行列式这个词是Cauchy（柯西）把它用于 已经出现在十八世纪著作中的行列式的． 把元素排成方阵并采用双重足标的记法也 是属于他的．（两个竖条线是Cayley（凯 莱）在１８４１年引进的）．
注意: 从二阶三阶行列式可以得到 在n阶行列式展开式中
(3) t (n 1) (n 2) 2 1 (4) t=0。
n(n 1)
2
2. 对换
将一个排列中的两个数位置对调称为对 换。 定理1 对换改变排列的奇偶性。 定理2 在所有n阶排列中，奇偶排列各半， n! 各为个 。
2
证 设奇偶排列分别为p,q个, 则p+q=n!。 全部排列 全部排列
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
t
an 1 an 2 ann
( 1) a1j1a2j 2 anjn )
其中t是列标 j 1 ,j 2, j n 的逆序数 .
4.几种常用的特殊行列式
（1）上三角行列式(upper triangular determinant)
p个奇 一次对换 p个偶 q个偶 q个奇
，故p=q=n!/2 。
3. n阶行列式的定义
a11 记 D a 21 a n1 a12 a 22 a1n a 2n
a n 2 a nn
由n行n列元素组成,称之为n阶行列式(determinant of order n)
a11 a 21 a n1
0 a 22 an 2
0 0 0 0 a n 3 a nn
a 11a 22 a nn .
(3) 对角行列式(diagonal determinant)
1 2
12 n ;
n
(4) 反对角行列式(diagonal determinant)
(1) 一个排列中所有逆序的总和称为此排 列的逆序数，记为t； (2) 逆序数为奇(偶) 数的排列称为奇 (偶) 排列。 例1 求下列排列的逆序数 (1) 312; (2) 134782695; (3) n(n 1) 321 (4) 123 (n 1)n 解 (1) t=2; 是偶排列 (2) t=1+1+3+3+1+1=10;是偶排列
1 2 3 4
例5
D
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
?
1 2 3 4 D 0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8 a11a 22 a 33 a44 1 4 5 8 160.
(2) 下三角行列式(lower triangular determinant)
1 2
1
n n 1 2
12 n .
n
证明 若记 i ai ,n i 1 , 则依行列式定义
1 2
a n1 a 2 , n 1 a1n
n
n 1 2 1 1 a1n a2,n 1 an 1
1
1.2 n阶行列式的定义
1.2 n阶行列式的定义
1. 全排列与逆序数 2 将 1, , ,n 这n个数任意组合后排成
的数组j1 ,j 2 , ,j n 称为一个n阶(全)排列， 例如53214即为一个5阶排列。显然，n阶 排列的总数为n!。 在排列中任取两个数，如前面的数大 于后面的数，则称它们构成一个逆序。
n n 1
2
12 n .
1
n n 1 2 1 2
n.
a11
a12 a1n
0 a22 a2 n 0 0 ann
a11a22 ann
解 观察通项 a1j1a2j 2 anjn 知，要想使 之不为零，必须 j n n ，同理 j n 1 n 1, ,j 2 2,j1 1 ,而 j1j 2 j n D a11a22 ann 12 (n 1)n 为偶排列故
(1)共有n!项 (2)每项由来自不同行不同行列的n个元 素相乘而得到. (3)展开式中正负号各一半，即各n!/2项
t (4) D n ( 1) a1j a2j anj ), 1 2 n
t是列标 j1 ,j 2, j n 的逆序数。
(5)四阶及四阶以上行列式无对角线法则。
定义
D