人教版七年级初一数学下学期第八章 二元一次方程组单元达标综合模拟测评学能测试

人教版七年级初一数学下学期第八章 二元一次方程组单元达标综合模拟测评
学能测试
一、选择题
1．下列各组数是二元一次方程37
1
x y y x +=⎧⎨
-=⎩的解是( )
A ．1
2
x y =⎧⎨
=⎩
B ．0
1x y =⎧⎨
=⎩
C ．7
x y =⎧⎨
=⎩
D ．1
2
x y =⎧⎨
=-⎩
2．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A ．(5，44)
B ．(4，44)
C ．(4，45)
D ．(5，45)
3．购买甲、乙两种笔记本共用70元．若甲种笔记本单价为5元，乙种笔记本单价为15元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购笔记本的方案有（ ） A ．2种
B ．3种
C ．4种
D ．5种
4．规定”△”为有序实数对的运算，如果(a ，b)△(c ，d)＝(ac+bd ，ad+bc)．如果对任意实数a ，b 都有(a ，b)△(x ，y)＝(a ，b)，则(x ，y)为( ) A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(﹣1，0) D ．(0，﹣1) 5．已知且x ＋y ＝3，则z 的值为( ) A ．9
B ．－3
C ．12
D ．不确定
6．“若方程组1112
22325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3
4x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是
（ ）
A ．4
8x y =⎧⎨=⎩
B ．9
12x y =⎧⎨=⎩
C ．15
20x y =⎧⎨=⎩
D ．9585x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
7．已知二元一次方程3x-y=5,给出下列变形①y=3x+5②5
3
y x +=③-6x+2y=-10,其中正确的是（ ） A ．②
B ．②③
C ．①③
D ．①②
8．已知方程组512x y ax by +=⎧⎨+=⎩和5216
13
x y bx ay +=⎧⎨+=⎩的解相同，则a 、b 的值分别是（ ）
A ．2，3
B ．3，2
C ．2，4
D ．3，4
9．解方程组232261s t s t +=⎧⎨-=-⎩
①②时，①—②，得（ ）
A ．31t -= ．
B ．33t -=
C ．93t =
D ．91t =
10．下列方程中是二元一次方程的是（ ） A ．(2)(3)0x y +-=
B ．-1x y =
C ．
1
32x y
=+ D ．5xy = 二、填空题
11．方程组251036
238
x y z x z ⎧+-=⎪
⎨⎪-=⎩__________________三元一次方程组（填“是”或“不是”）．
12．甲乙两人共同解方程组515(1)
42(2)ax y x by +=⎧⎨
-=-⎩
，由于甲看错了方程（1）中的a ，得到方程
组的解为31x y =-⎧⎨
=-⎩；乙看错了方程（2）中的b ，得到方程组的解为5
4
x y =⎧⎨=⎩；计算
2019
2018110a b ⎛⎫
+-= ⎪
⎝⎭
________．
13．若m 1，m 2，…，m 2019是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，
m 1+m 2+…+m 2019=1525，（ m 1-1）2+（m 2-1）2+…+（m 2019-1）2=1510，则在m 1，m 2，…，m 2019中，取值为2的个数为___________．
14．某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园，门票价格如下：
如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1245元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为945元．那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为_____．
15．某科技公司推出一款新的电子产品，该产品有三种型号.通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A 型、B 型、C 型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售(三种型号的成本相同).经过一个季度的经营后，发现C 型产品的销量占总销量的
3
7
，且三种型号的总利润率为35%.第二个季度，公司决定对A 型产品进行升级，升级后A
产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B 、C 产品的销量和成本均不变，且三种产品在二季度成本基础上分别加价20%，30%，45%出售，则第二个季度的总利润率为______. 16．历代数学家称《九章算术》为“算经之首”.书中有这样一道题的记载，译文为：今有5只雀、6只燕，分别聚集在一起称重，称得雀重，燕轻．若将一只雀、一只燕交换位置，则重量相等；将5只雀、6只燕放在一起称量，则总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设雀每只重x 斤，燕每只重y 斤，则可列方程组为________________ 17．若3x －5y －z ＝8，请用含x ，y 的代数式表示z ，则z ＝________． 18．关于x ，y 的二元一次方程组5323
x y x y a +=⎧⎨+=⎩
的解是正整数，试确定整数a 的值为
_________________.
19．对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n ）．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F （123）＝6． （1）计算：F （241）＝_________，F （635）＝___________ ；
（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y （1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整
数），规定：()
()
F s k F t =，当F (s )＋F (t )＝18时，则k 的最大值是___．
20．如图，在长方形ABCD 中，放入六个形状，大小相同的长方形（即空白的长方形），AD ＝12cm ，FG ＝4cm ，则图中阴影部分的总面积是 __________2cm .
三、解答题
21．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元． （1）求A ，B 两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的1
3
．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,
2n P m +⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；
（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y
的方程组3x y q x y q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩解为坐标的点(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．
23．阅读型综合题
对于实数x ，y 我们定义一种新运算(),L x y ax by =+(其中a ，b 均为非零常数)，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中
x ，y 叫做线性数的一个数对.若实数x ，y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性
数，这时的x ，y 叫做正格线性数的正格数对.
(1)若(),3L x y x y =+，则()2,1L -=_________，31,22L ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
_________； (2)已知(),3L x y x by =+，11,232L ⎛⎫= ⎪⎝⎭
. ①求字母b 的取值；
②若(),18L x kx =(其中k 为整数)，问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由.
24．规定:二元一次方程ax by c +=有无数组解，每组解记为(),P x y ,称(),P x y 为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题： (1) 已知()()()1,2,4,3,3,1A B C ---，则是隐线326x y +=的亮点的是 ; (2) 设()10,2,1,3P Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
是隐线26t x hy +=的两个亮点，求方程
()
22
144265t x t h y ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭
中,x y 的最小的正整数解; (3)已知,m n 是实数，
27n =,
若)
P n 是隐线23x y s -=的一个亮点，求
隐线s 中的最大值和最小值的和.
25．已知关于x 、y 的二元一次方程组232
21x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩
（k 为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k 的代数式表示）； （2）若方程组的解x 、y 满足+x y ＞5，求k 的取值范围； （3）若1k ≤，设23m x y =-，且m 为正整数，求m 的值． 26．先阅读材料再回答问题. 对三个数x ，y ，z ，规定{},,3
x y z
M x y z ++=；{}min ,,x y z 表示x,y,z 这三个数中最小的数，如{}1234
1,2,333
M -++-=
=，{}min 1,2,31-=- 请用以上材料解决下列问题：
（1）若{}min 2,22,422x x +-=,求x 的取值范围； （2）①若{}{}21,2min 2,1,2M x x x x ，+=+，求x 的值；
②猜想：若{}{},,min ,,M a b c a b c =，那么a ，b ，c 大小关系如何？请直接写出结论； ③问：是否存在非负整数a ，b ，c 使
{}{}27,321,41min 27,321,41M a b a b c a b a b c -++++=-++++等式成立？若存
在，请求出a ，b ，c 的值；若不存在，请说明理由.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
分析：所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．此题直接解方程组或运用代入排除法作出选择． 详解：∵y ﹣x =1，∴y =1+x ． 代入方程x +3y =7，得：
x +3（1+x ）=7，即4x =4，∴x =1，∴y =1+x =1+1=2． ∴解为1
2
x y =⎧⎨
=⎩． 故选A ．
点睛：本题要注意方程组的解的定义．
2．B
解析：B 【分析】
根据跳蚤运动的速度确定：(0,1)用的次数是2
1(1)次，到(0,2)是第8(24)次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第2
25(5)次，到(0,6)是第48(68)次，
依此类推，到(0,45)是第2025次，后退5次可得2020次所对应的坐标． 【详解】
解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0,1)用的次数是2
1(1)次，到(0,2)是第
8(24)次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第225(5)次，到
(0,6)第48(68)次，依此类推，到(0,45)是第2025次．
202514
2020，
故第2020次时跳蚤所在位置的坐标是(4,44)． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
设购买甲种笔记本x个，则乙种笔记本y个，利用购甲、乙两种笔记本共用70元得到
x=14-3y，利用143y
y
-
=
14
y
–3为整数可判断y=1，2，7，14，然后求出对应x的值从而得
到购笔记本的方案．
【详解】
设购买甲种笔记本x个，购买乙种笔记本y个，根据题意得5x+15y=70，则x=14–3y，
因为143y
y
-
为整数，而
143y
y
-
=
14
y
–3，
所以y=1，2，7，14，
当y=1时，x=11；当y=2时，x=4；y=7和y=14舍去，
所以购笔记本的方案有2种．
故选A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系，特别是确定甲种笔记本数量和乙种笔记本数量关系，然后利用整除性确定方案．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据新定义运算法则列出方程ax+by=a①，ay+bx=b②，由①②解得关于x、y的方程组，解方程组即可．
【详解】
由定义，知：（a，b）△（x，y）=（ax+by，ay+bx）=（a，b），则ax+by=a①，
ay+bx=b②
由①+②，得：（a+b）x+（a+b）y=a+b．
∵a，b是任意实数，∴x+y=1③
由①﹣②，得：（a﹣b）x﹣（a﹣b）y=a﹣b，∴x﹣y=1④
由③④解得：x=1，y=0，∴（x，y）为（1，0）．
故选B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法．解答此题的关键是弄懂新定义运算的法则，根据法则
列出方程组．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
先利用x ＋y ＝3，得2x+2y=6,3x+3y=9,进而将方程组进行化简整理,再用代入消元法即可求解. 【详解】
解：∵x ＋y ＝3，将其代入方程组得,
由（1）得y=z-6,将其代入（2）得z=-3, 故选B. 【点睛】
本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入消元的方法和对原方程组进行化简是解题关键.
6．D
解析：D 【解析】
∵方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 的解是3
4x y =⎧⎨=⎩，
∴111
2
22985985a b c a b c +=⎧⎨+=⎩，
两边都除以5得：
111
222
9855985
5a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩， 对照方程组1112
22a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩可得，
方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为95
85x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
故选D ．
【点睛】本题主要考查了方程组的解法，正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据等式基本性质进行分析即可. 【详解】
用x 表示y 为y=3x-5，故①不正确；用y 表示x 为5
3
y x +=，故②正确；方程两边同乘以-2可得-6x+2y=-10，故③正确. 故选B. 【点睛】
考核知识点：二元一次方程.
8．B
解析：B 【分析】
由于这两个方程组的解相同，所以可以把这两个方程组中的第一个方程联立再组成一个新的方程组，然后求出x 、y 的解，把求出的解代入另外两个方程，得到关于a ，b 的方程组，即可求出a 、b 的值． 【详解】
根据题意，得：5
5216x y x y +=⎧⎨+=⎩，
解得：2
3x y =⎧⎨=⎩
，
将2x =、3y =代入1213ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩，
得：2312
2313a b b a +=⎧⎨+=⎩，
解得：32a b =⎧⎨=⎩
，
∴a 、b 的值分别是3、2． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解，理解方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值是解题的关键．
9．C
解析：C 【分析】
运用加减消元法求解即可． 【详解】
解：解方程组232261s t s t +=⎧⎨-=-⎩
①
②时，①-②，得3t-(-6t)=2-(-1)，
即，9t=3， 故选：C ． 【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
10．B
解析：B 【分析】
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】
解：(2)(3)0x y +-=化简得3260xy x y -+-=，最高次是2次，故A 选项错误；
-1x y =是二元一次方程，故B 选项正确；
1
32x y
=+不是整式方程，故C 选项错误； 5xy =最高次是2次，故D 选项错误．
故选：B 【点睛】
本题主要考查的是二元一次方程的概念，正确的掌握二元一次方程的概念是解题的关键．
二、填空题 11．是 【分析】
根据三元一次方程组的定义可知，由两个或两个以上方程组成，该如果方程组内含有三个未知数，且未知数的次数都是一次的，就是三元一次方程组，由此判断作答即可． 【详解】
解：如果方程组中含有三
解析：是 【分析】
根据三元一次方程组的定义可知，由两个或两个以上方程组成，该如果方程组内含有三个未知数，且未知数的次数都是一次的，就是三元一次方程组，由此判断作答即可． 【详解】
解：如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组．
所以
25
10
36
238
x y z
x z
⎧
+-=
⎪
⎨
⎪-=
⎩
是三元一次方程组；
故填：是．
【点睛】
本题主要考查三元一次方程组的定义．
12．0
【分析】
根据题意，将代入方程（2）可得出b的值，代入方程（1）可得出a的值，将a与b的值代入所求式子即可得出结果．
【详解】
解：根据题意，将代入方程组中的4x-by=-2得：-12+b=-2
解析：0
【分析】
根据题意，将
3
1
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
代入方程（2）可得出b的值，
5
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程（1）可得出a的
值，将a与b的值代入所求式子即可得出结果．【详解】
解：根据题意，将
3
1
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
代入方程组中的4x-by=-2得：-12+b=-2，即b=10；
将
5
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程组中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=-1，
∴
2019
2018
1
10
a b
⎛⎫
+-
⎪
⎝⎭
=1-1=0．
故答案为：0．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解为能使方程组中两方程成立的未知数的值．13．508
【分析】
先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组求解即可．
【详解】
解：设0有a个，1有b个，2有c个，
由题意得：
解得：
故取值为2的个数为508个，
故答案为：508
解析：508【分析】
先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组
2019
21525
1510
a b c
b c
a c
++=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
求解即
可．
【详解】
解：设0有a个，1有b个，2有c个，
由题意得：
2019
21525
1510
a b c
b c
a c
++=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
解得：
1002
509
508 a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
故取值为2的个数为508个，
故答案为：508．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程组的应用，会根据题意设未知数列方程并正确求解是解题的关键．
14．15
【分析】
根据945不能被11和13整除，能被9整除，可得两个部门的人数之和为105；再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1～50和51～100的范围，结合门票价格和人数
解析：15
【分析】
根据945不能被11和13整除，能被9整除，可得两个部门的人数之和为105；再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1～50和51～100的范围，结合门票价格和人数之间的关系列出方程组进行求解即可．
【详解】
解：设人数较少的部门有x人，人数较多的部门有y人，
∵945不能被11和13整除且945÷9=105（人），
∴两个部门的人数之和为105（人），
∵1245不能被11和13整除，
∴1≤x≤50，51≤y≤100，
依题意，得：
105 13111245 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：4560x y =⎧⎨=⎩
， ∴15-=x y ，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了函数的应用问题和学生分析问题的能力，结合门票和人数之间的关系，建立方程是解题的关键．
15．34%
【分析】
由题意得出A 型、B 型、C 型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A 型、B 型、C 型三种型号产品原来的成本为a ，A 产品原销量为x ，B 产品原销量为y ，C 产品原销量为z ，由题意
解析：34%
【分析】
由题意得出A 型、B 型、C 型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A 型、B 型、C 型三种型号产品原来的成本为a ，A 产品原销量为x ，B 产品原销量为y ，C 产品原销
量为z ，由题意列出方程组，解得13x z y z
⎧=⎪⎨⎪=⎩；第二个季度A 产品成本为(1+25%)a ＝54a ，B 、C 的成本仍为a ，A 产品销量为(1+20%)x ＝65
x ，B 产品销量为y ，C 产品销量为z ，则第二个季度的总利润率为：5620%30%45%455645
a x ay az a x ay az ⨯⨯++⨯++＝34%. 【详解】
解：由题意得：A 型、B 型、C 型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，
设A 型、B 型、C 型三种型号产品原来的成本为a ，A 产品原销量为x ，B 产品原销量为y ，C 产品原销量为z ， 由题意得：20%ax 30%ay 45%az 35%a(x y z)3(x y z)z 7
++=++⎧⎪⎨++=⎪⎩， 解得：13x z y z
⎧=⎪⎨⎪=⎩，
第二个季度A 产品的成本提高了25%，成本为：(1+25%)a ＝54
a ，B 、C 的成本仍为a ，
A产品销量为(1+20%)x＝6
5
x，B产品销量为y，C产品销量为z，
∴第二个季度的总利润率为：
56
20%30%45%
45
56
45
a x ay az
a x ay az
⨯⨯++
⨯++
＝
0.30.30.45
1.5
x y z
x y z
++
++
＝
1
0.30.30.45
3
1
1.5
3
z z z
z z z
⨯++
⨯++
＝34%，
故答案为：34%.
【点睛】
本题考查了利用二元一次方程组解实际问题，正确理解题意，设出未知数列出方程组是解题的关键.
16．【分析】
设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【详解】
解：设每只雀有x两，每只燕有y两，
由题意得，
【
解析：
45
561 x y y x
x y
+=+⎧
⎨
+=
⎩
【分析】
设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【详解】
解：设每只雀有x两，每只燕有y两，
由题意得，
45
561 x y y x
x y
+=+⎧
⎨
+=
⎩
【点睛】
本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
17．3x－5y－8
【解析】
【分析】
根据等式的性质,移项即可解题.
【详解】
解：∵3x－5y－z＝8，
∴z=3x－5y－8（移项）.
【点睛】
本题考查了等式的性质,属于简单题,熟练运用移项是解
解析：3x－5y－8
【解析】
【分析】
根据等式的性质,移项即可解题.
【详解】
解：∵3x－5y－z＝8，
∴z=3x－5y－8（移项）.
【点睛】
本题考查了等式的性质,属于简单题,熟练运用移项是解题关键.
18．7或5
【解析】
分析：首先用含a的代数式分别表示x，y，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数确定a的值．
详解：
①-②×3，得
2x=2
解析：7或5
【解析】
分析：首先用含a的代数式分别表示x，y，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数确定a的值．
详解：
5323
x y
x y a
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
①-②×3，得2x=23-3a
解得x=233
2
a
-
把x=233
2
a
-
代入②得y=
523
2
a-
∵关于x，y的二元一次方程组
5323
x y
x y a
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是正整数
∴233
2
a
-
＞0，
523
2
a-
＞0
解得2323 53
a
＜＜
即a=5、6、7
∵x、y为正整数
∴a为5或7.
故答案为：5或7.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于a的方程．
19．14
【解析】
分析: （1）根据F（n）的定义式，分别将n=241和n=635代入F（n）中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18
解析：14 5
4
【解析】
分析:（1）根据F（n）的定义式，分别将n=241和n=635代入F（n）中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出
F（s）、F（t）的值，将其代入k=
()
()
F s
F t
中，找出最大值即可.
详解:：（1）F（241）=（421+142+214）÷111=7；F（635）=（365+536+653）÷111=14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴
1
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
3
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
4
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
5
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
6
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
∵s是“相异数”，∴x≠2，x≠3．
∴y≠1，y≠5．
∴
1
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
4
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
5
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴
()
()
6
12
F s
F t
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
或
()
()
9
9
F s
F t
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
或
()
()
10
8
F s
F t
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴k＝
()
()
F s
F t
＝
1
2
或k＝
()
()
F s
F t
＝1或k＝
()
()
F s
F t
＝
5
4
，
∴k的最大值为5
4
．
点睛: 本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F（n）的定义式，求出F（241）、F（635）的值；（2）根据s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，找出关于x、y的二元一次方程.
20．48
【解析】
设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据图形可得
①－②得4y＝8，所以y＝2，代入②得x＝6，因此阴影部分总面积＝12×10－6×2×6＝48.
故答案：48.
【方法点睛】本
解析：48
【解析】
设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据图形可得
312
4
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，①
，②
①－②得4y＝8，所以y＝2，代入②得x＝6，因此阴影部分总面积＝12×10－6×2×6＝482
cm.
故答案：48.
【方法点睛】本题目是一道二元一次方程组的问题，找出等量关系是解决问题的关键.三、解答题
21．（1）A的单价30元，B的单价15元（2）购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少
【分析】
（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组
32120
54210
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，即可求
解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为(30)z
-个，购买奖品的花费为W元，根据题
意得到由题意可知，
1
(30)
3
z z
≥-，3015(30)45015
W z z z
=+-=+，根据一次函数
的性质，即可求解；【详解】
解：（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，
根据题意，得
3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 3015x y =⎧∴⎨=⎩
， ∴A 的单价30元，B 的单价15元；
（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，1(30)3
z z ≥-， 152
z ∴≥， 3015(30)45015W z z z =+-=+，
当=8z 时，W 有最小值为570元，
即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少；
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
22．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，q =23
- 【分析】
（1）分别把A 、B 点坐标，代入（m ﹣1，
22n +）中，求出m 和n 的值，然后代入2m ＝8+n 检验等号是否成立即可；
（2）把点A （a ，﹣4）、B （4，b ）各自代入（m ﹣1，22
n +）中，分别用a 、b 表示出m 、n ，再代入2m ＝8+n 中可求出a 、b 的值，则可得A 和B 点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C 点坐标，然后即可判断点C 所在象限；
（3）解方程组，用q 和p 表示x 和y ，然后代入2m ＝8+n 可得关于p 和q 的等式，再根据p ，q 为有理数，即可求出p 、q 的值．
【详解】
解：（1）A 点为“爱心点”，理由如下：
当A （5，3）时，m ﹣1＝5，22
n +＝3， 解得：m ＝6，n ＝4，则2m ＝12，8+n ＝12，
所以2m ＝8+n ，
所以A （5，3）是“爱心点”；
当B（4，8）时，m﹣1＝4，
2
2
n+
＝8，
解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“爱心点”；
（2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下：∵点A（a，﹣4）是“爱心点”，
∴m﹣1＝a，
2
2
n+
＝﹣4，
解得：m＝a+1，n＝﹣10．
代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2，所以A点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B（4，b）是“爱心点”，
同理可得m＝5，n＝2b﹣2，
代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2．
所以点B坐标为（4，2）．
∴A、B两点的中点C坐标为（
2442
,
22
-+-+
），即（1，﹣1），在第四象限．
（3）解关于x，y
的方程组
3
x y q
x y q
⎧+=+
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
，
得：
2
x q
y q
⎧=-
⎪
⎨
=
⎪⎩
．
∵点B（x，y）是“爱心点”，
∴m﹣1
﹣q，
2
2
n+
＝2q，
解得：m
﹣q+1，n＝4q﹣2．
代入2m＝8+n，得：
﹣2q+2＝8+4q﹣2，
整理得
﹣6q＝4．
∵p，q为有理数，若使
p﹣6q结果为有理数4，
则P＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣2
3
．
所以P＝0，q＝﹣2
3
．
【点睛】
本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
23．（1）-1,3（2）①2；②有，分别是
2
6 x
y
=⎧
⎨
=⎩
【分析】
（1）根据题干定义，将x=2，y=-1和31,22
x y ==代入到(),3L x y x y =+求值即可； （2）①将11,232L ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
带入到(),3L x y x by =+，即可求出b 值；②由①可得出(),32L x y x y =+，将(),18L x kx =代入式中，表示出kx ，根据题干x ，y 都取正整数，分析求解即可.
【详解】
解：（1）∵(),3L x y x y =+，∴()()2,12311L -=+⨯-=-，3131,3=32222L ⎛⎫=+⨯
⎪⎝⎭ 故答案为-1，3；
（2）①∵(),3L x y x by =+ ∴1111,323232L b ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭
，解得2b =； ②由①可知(),32L x y x y =+，
∴(),3218L x kx x ky =+=， ∴1832
x kx -=
∵00x kx >>，， ∴
18302
x -> ∴1830,06x x -><< ∵x、y 均为正整数，k 为整数
∴x 为偶数，
∴满足这样条件的正格数为26x y =⎧⎨=⎩
【点睛】
本题考查的是新定义的理解能力，设计二元一次方程的解和一元一次不等式的知识，能够充分理解题干定义是解题的关键.
24．（1）B ；（2）,x y 的最小整数解为104
x y =⎧⎨=⎩；（3）隐线中s 的最大值和最小值的和为72
【分析】
（1）将A,B,C 三点坐标代入方程,方程成立的点即为所求,
（2）将P,Q 代入方程,组成方程组求解即可,
（3）将P 代入隐线方程,27n +=组成方程组,求解方程组的解,再由
()2723147s n n n =--=-即可求解.
【详解】
解：（1）将A,B,C 三点坐标代入方程,只有B 点符合,
∴隐线326x y +=的亮点的是B.
（2）将()10,2,1,3P Q ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
代入隐线方程 得：226163h t h -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
解得253t h ⎧=⎨=-⎩
代入方程得：5626x y -=
,x y ∴的最小整数解为104x y =⎧⎨=⎩
（3
）由题意可得273n n s
==⎪⎩
72n =-
72
n ∴= ()2723147s n n n ∴=--=-
212
s ∴=- s ∴的最大值为14，最小值为212
- 隐线中s 的最大值和最小值的和为2171422-
= 【点睛】
本题考查了二元一次方程的新定义,二元一次方程与直线的关系,运用了数形结合的思想,理解题意是解题关键.
25．（1）214342k x k
y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
；（2）k ＜﹣52；（3）m 的值为1或2． 【分析】
（1）把k 当成一个已知得常数，解出二元一次方程组即可；
（2）将（1）中得,x y 的值代入+x y ＞5 ，即可求出k 的取值范围；
（3）将（1）中得,x y 的值代入23m x y =-得m=7k ﹣5．由于m ＞0，得出7k ﹣5＞0，及
1k ≤得出解集517
＜k ≤ 进而得出m 的值为1或2 【详解】
（1）2x 322x+y=1-k? y k -=-⎧⎨⎩
①② ②+①，得4x ＝2k ﹣1， 即214
k x -= ； ②﹣①，得2y ＝﹣4k +3 即342k y -=
所以原方程组的解为214342k x k y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
（2）方程组的解x 、y 满足x +y ＞5， 所以
2134542
k k --+> ， 整理得﹣6k ＞15， 所以52
k ＜﹣ ； （3）m ＝2x ﹣3y ＝21342342k k --⨯
-⨯ ＝7k ﹣5
由于m 为正整数，所以m ＞0
即7k ﹣5＞0，k ＞
57 所以57
＜k ≤1 当k ＝
67
时，m ＝7k ﹣5＝1； 当k ＝1时，m ＝7k ﹣5＝2．
答：m 的值为1或2．
【点睛】 本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键.
26．（1）0≤x≤1；（2）①x=1；②a=b=c ；③存在 063a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
使等式成立 . 【解析】
【分析】
(1)根据题意可得关于x 的不等式组，解不等式组即可求得答案；
(2)①先求出{}21,21M x x x +=+，，继而根据题意可得{}min 2,1,21x x x +=+，由此可得关于x 的不等式组，求解即可得；
②M{a ，b ，c}=
3a b c ++，如果min{a ，b ，c}=c ，则a ≥c ，b ≥c ，即3
a b c ++=c ，由此可推导得出a=b=c ，其他情况同理可证，故a=b=c ；
③由②的结果可得关于a 、b 、c 的方程组，由此进行求解即可得.
【详解】 (1)由题意得2224-22x x +≥⎧⎨≥⎩
， 解得0≤x≤1；
(2)①{}21221,213
x x M x x x ++++==+， {}{}21,2min 2,1,2M x x x x ，+=+
所以{}min 2,1,21x x x +=+
则有1212x x x +≤⎧⎨+≤⎩ 即11x x ≤⎧⎨≥⎩
所以x=1 ②∵M{a ，b ，c}=3
a b c ++， 如果min{a ，b ，c}=c ，则a ≥c ，b ≥c ， 则有3
a b c ++=c ， 即a+b-2c=0，
∴(a-c)+(b-c)=0，
又a-c ≥0，b-c ≥0，
∴a-c=0且b-c=0，
∴a=b=c ，
其他情况同理可证，故a=b=c ；
③存在，理由如下：
由题意得：()()273212741a b a b a b c ⎧-+=++⎪⎨-+=+⎪⎩
ⅠⅡ，
由(Ⅰ)得 a+3b=6，即23
a b =-， 因为a ，b ，c 是非负整数 ，所以a=0，3，6 ，b=2，1，0，
即06
a b =⎧⎨=⎩，代入(Ⅱ)得c=3， 或31
a b =⎧⎨=⎩，代入(Ⅱ)得c=114，不符合题意，舍去， 或60a b =⎧⎨
=⎩ ，代入(Ⅱ)得c=92，不符合题意，舍去， 综上所述： 存在063a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
使等式成立.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的应用，方程组的应用，读懂题意，正确进行分析得出相应的不等式组或方程组是解题的关键.。