江苏省徐州市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案9 苏教版选修22

导数在研究函数中的应用—单调性
1.教学目标：
(1)知识与技能：了解函数单调性与导数的关系,会求不超过3次的多项式函数的单调区间.
(2)过程与方法：通过初等方法与导数方法在研究函数过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性与有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律.
(3)情感、态度与价值观：使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，进一步发展学生的思维能力、应用意识，促进学生全面认识数学价值，体会数学的广泛应用！
2.教学重点：利用导数研究函数的单调性.
教学难点：引导学生发现函数的单调性与其导数的关系.
3.教学方法：本节课采用以问题为主线引发学生数学思维活动，探索概念并加以完善和应用. 教学手段：运用多媒体辅助教学.
4.教学过程：
（一）课前导入，巩固已学方法概念，点明课题
问题1：我们刚刚经过二十四节气的大雪，那下一个节气是什么？
冬至：俗话说‘夏至短，冬至长’，所以，冬至这一天白昼时间最短，夜的时间最长，从冬至起，夜间变短，白天变长。

师点明课题：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，刻画函数变化趋势的知识就是函数的单调性，这节课我就和同学们一起来再研究函数的单调性（板书：单调性）
问题2：我们已学过的函数有哪些？ 教师从中选取几个，并列表呈现出来： y x =，2y x =，1y x
=
，ln y x = 问题3：已学过哪些确定函数单调区间的方法？
问题4：函数单调性的定义内容是什么？
（学生活动：思考，并回答）
设计意图：引导学生复习巩固已学过的函数以及确定函数单调区间的方法、函数单调性的定义——刻画函数变化趋势的本质和理论依据！
（二）创设情境，引出问题
.
问题1：你能确定函数：3y x x =-，ln x y x
=的单调区间吗？ （学生活动：利用定义法和图像法去尝试！）
教师点明：这些简单函数通过四则运算构造出的函数拓宽了我们研究的范围，但是已有的研究函数单调性方法呈现了局限性，看来我们要寻找—新的解决方法！
设计意图：奥苏贝尔认为，有意义的学习需要把学生的学习建立在已有的学习经验基础上，本节课的情境设置着眼于学生最近发展区，以学生熟悉的函数通过简单的四则运算组合出新函数去研究单调性，制造强烈认知冲突，从而引发学生积极思考，体现了用导数研究函数单调性的必要性，同时也让学生感受数学自身发展的一般规律。

（三）引导探索，形成概念
问题1：还有哪些与刻画函数变化趋势有关的知识？
并就它们是如何刻画函数变化趋势的谈谈你的观点。

（学生活动：以小组为单位研究讨论，并给出结论）
结）.
问题2：函数的单调性与导数有怎样的联系？
设计意图：波利亚在解题中谈到：“ 提高学生问题解决能力的关键是让学生能够清晰地透视问题的本质！问题的本质是如何找到的？那就离不开三件事，其一是分析问题，即对问题进行解剖，了解条件和所需结论之间的关系和链接，找到一个或多个突破口进行尝试；其二是透视本质，即在分析问题的基础上找到问题的本质，站在更高的地方来看问题解决需要联系的数学知识和解决方法，能够想到存储在脑海中最基本的数学知识和基本技能；最后是转化解决问题， 即将陌生问题进行合理的转化划归，每一个陌生的数学问题都需要转化为熟悉的模式进行求解.
概念呈现：一般地，我们有下面结论：对于函数()y f x =
如果在某区间上()0f x '>，那么()f x 为该区间上增函数；
如果在某区间上()0f x '<，那么()f x 为该区间上减函数；
上述结论可以用以下图形来直观理解：
（四）数学应用，理解概念
问题1：请你用导数的方法来确定函数：3y x x =-、ln x y x
=
的单调区间. （学生活动：板演）
教师对学生板演做总结，并点评
师生共同总结：利用导数确定函数单调区间步骤：
①求函数()f x 的定义域.
②求函数()f x 的导数()f x '.
③令()0f x '>，得出()f x 的递增区间；
令()0f x '<，得出()f x 的递减区间.
问题2：请同学们从表中任选两个函数构造出一个函数给来确定其单调区间！
师总结：转化的思想，导数方法的一般性与有效性！
问题3：你能作出函数3y x x =-的大致图像吗？
（学生活动，作出图像）师投影分析，极值点，为下节课做铺垫 并将作函数ln x y x
=大致图象留给作业） 问题4：已知函数()f x ' 图像（如图所示），你能写出函数()f x 的单调区间吗？
（五）概念反思，完善概念
问题1：对于所得结论的逆命题：如果函数()f x 在某区间上是增函数，那么()f x 在该区间上必有()0f x '>，是否成立？
（六）小结反思，感悟课堂
请同学们回顾本节课的学习，从以下三个方面谈谈你的收获.
0 1 2
()
y f x '=
结合这四个方面：①我学习了哪些新知识？②在学习新知识过程中运用了哪些数学思想方法？③我在学习新知识过程中积累了哪些数学活动经验？
课后作业：。