通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测十七文

课时跟踪检测（十七）
1．(2017·洛阳统考)已知抛物线C ：x 2
＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．
(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；
(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|AB |＝2p . 又|FD |＝p ，∴S △ABD ＝p 2
＝1.
∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2
＝2y . (2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p
2
，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py
消去y 得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2
.
其中A ⎝
⎛⎭⎪⎫x 1，x 2
12p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 2
22p .
∴M ⎝
⎛
⎭⎪⎫
kp ，k 2
p ＋p 2，N ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－
x 1＋x 22＝x 21＋p 2
2p x 1－x 22＝x 21－x 1x 2
2p x 1－x 22
＝x 1
p
.
又x 2
＝2py 即y ＝x 22p ，∴y ′＝x
p
.
∴抛物线x 2
＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1
p
.∴直线AN 与抛物线相切．
2．(2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1，过A (2,0)，B (0,1)两点．
(1)求椭圆C 的方程及离心率；
(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．
解：(1)由题意得a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 2
4＋y 2
＝1.
又c ＝a 2
－b 2
＝3，所以离心率e ＝c a ＝
32
. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 2
0＋4y 2
0＝4. 又A (2,0)，B (0,1)，
所以直线PA 的方程为y ＝y 0
x 0－2
(x －2)．
令x ＝0，得y M ＝－
2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0
x 0－2
. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1
x 0
x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－
x 0
y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0
y 0－1
. 所以四边形ABNM 的面积S ＝1
2
|AN |·|BM |
＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 2
0＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋
＝
2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4
x 0y 0－x 0－2y 0＋2
＝2.
从而四边形ABNM 的面积为定值．
3．(2018届高三·广东五校联考)若椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段
F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成了3∶1的两段．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点C (－1,0)的直线l 交椭圆于不同两点A ，B ，且AC ―→
＝
2CB ―→
，当△AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．
解：(1)由题意知，c ＋b
2＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫c －b 2，
所以b ＝c ，a 2
＝b 2
＋c 2
＝2c 2
，即a ＝2c ， 所以e ＝c a ＝
22
. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝ky －1(k ≠0)， 因为AC ―→＝2CB ―→
，所以(－1－x 1，－y 1)＝2(x 2＋1，y 2)， 即2y 2＋y 1＝0，
①
由(1)知，a 2
＝2b 2
，所以椭圆方程为x 2
＋2y 2
＝2b 2
.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ky －1，x 2＋2y 2＝2b 2
，消去x ，
得(k 2
＋2)y 2
－2ky ＋1－2b 2
＝0，
所以y 1＋y 2＝2k
k 2＋2
， ②
由①②知，
y 2＝－2k k 2＋2，y 1＝4k
k 2＋2
，
因为S △AOB ＝12×|OC |×()|y 1|＋|y 2|＝12|y 1|＋1
2|y 2|，
所以S △AOB ＝3·
|k |k 2
＋2＝3·12|k |
＋|k |≤3
2
·12
|k |
·|k |＝32
4，
当且仅当|k |2
＝2，即k ＝±2时取等号， 此时直线l 的方程为x ＝2y －1或x ＝－2y －1.
4．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2
＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，
B ⎝
⎛⎭
⎪⎫32，9
4，抛物线上的点P (x ，y )⎝
⎛⎭
⎪⎫－1
2<x <3
2.过点B 作直线AP 的垂线，垂足
为Q .
(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．
解：(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－
1
4x ＋
12＝x －1
2，
因为－12<x <32，
所以－1<x －1
2
<1，
即直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)设直线AP 的斜率为k .
则直线AP 的方程为y －14＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋12，
即kx －y ＋12k ＋1
4
＝0，
因为直线BQ 与直线AP 垂直，所以直线BQ 的方程为x ＋ky
－94k －3
2
＝0，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
kx －y ＋12k ＋1
4＝0，x ＋ky －94k －3
2
＝0，
解得点Q 的横坐标x Q ＝－k 2
＋4k ＋3k 2＋
.
因为|PA |＝ 1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 1＋k 2
(k ＋1)，
|PQ |＝1＋k 2
(x Q －x )＝－
k －
k ＋2
k 2＋1
，
所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3
. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3
，
因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2
，令f (k )＝0，得k ＝12或k ＝－1(舍)，
所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值27
16
.
5．(2017·云南统考)已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于22
3，P
是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1―→·PF 2―→
＝1.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．
解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)，半焦距为c .
∵椭圆E 的离心率等于22
3，
∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 2
9.
∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2，
∴PF 2⊥F 1F 2.∴|PF 2|＝b 2
a
.
∵9PF 1―→·PF 2―→＝1，∴9|PF 2―→|2＝9b
4
a
2＝1.
由⎩⎪⎨⎪⎧
b 2＝a 2
9，9b 4a 2
＝1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝9，
b 2
＝1，
∴椭圆E 的方程为y 2
9
＋x 2
＝1.
(2)∵直线2x ＋1＝0即x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－1
2相交，
∴直线l 不可能与x 轴垂直， ∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，y 2
9
＋x 2
＝1，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2
－9)＝0.
∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2
－4(k 2
＋9)(m 2
－9)>0，即m 2
－k 2
－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9.
∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， ∴2×
x 1＋x 2
2
＋1＝0，即－2km
k 2＋9
＋1＝0.
由⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2
－k 2
－9<0，－2km
k 2
＋9
＋1＝0，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫k 2
＋92k 2－(k 2＋9)<0.
∵k 2
＋9>0，∴k 2＋9
4k
2－1<0，
∴k 2
>3，解得k >3或k <－ 3.
∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，2π3.
6．(2017·石家庄质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长
为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－3
4
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→
的取值范围．
解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)，设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝
y x ＋4，k 2＝y
x －4
.
由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y
2
12＝1.
故椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，
(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 216＋y 2
12
＝1，
y ＝kx ＋2，
消去y ，得(4k 2＋3)x 2
＋16kx －32＝0.
所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－32
4k 2＋3
.
从而，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2
)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2
－524k 2
＋3＝－20＋8
4k 2＋3
. 所以－20<OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→
≤－523
.
当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 即为x ＝0，此时P (0，23)，Q (0，－23)，则OP ―→·OQ ―→
＋MP ―→·MQ ―→
＝－20.
综上，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－20，－523.。