高中数学必修5新教学案：2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)

必修
5 2.1 数列的概念与简单表示法（学案） （第 1 课时）
【知识要点】
1.数列的概念 ;
2. 数列的通项公式;
3. 数列的表示;
4. 数列的函数性质. 【学习要求】
1. 理解数列及其有关概念，了解数列的简单分类;
2. 理解数列的通项公式，学会观察、归纳、求简单数列的通项公式;
3. 了解数列是一种特殊的函数，理解数列的函数性质 .
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第 28 页～第 30 页）
1． 数列的定义： 称为数列.
（1） 如果组成两个数列的数相同而顺序不同，那么它们 (是,不是)相同的数列． （2） 数列中的数 (能,否)相同?若相同,则为 数列．
(3) 叫做这个数列的项．数列中与顺序 ， 的数称为 ， 排在第二位的数称为 ，……，排在第n 位的数称为 ．
(4) 数列的一般形式可以写成 ,简记为{}n a , 注意:n a 与{}n a 是否相同; {}n a 是集合吗?
2． 数列的分类：
（1）据数列的项数是否有限可分类为 . （2）据数列的 可分类为:
①递增数列：从第二项起，每一项都 它的前一项的数列; ②递减数列：从第二项起，每一项都 它的前一项的数列; ③常数数列：各项 的数列;
④摆动数列：从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 3. 数列的通项公式
(1)定义：如果数列{}n a 的 可以用一个式子表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
(2) 数列的通项公式的作用： ． 4. 数列的函数性质
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 _________项，又是这个数列中所有各项的一般表示即数列是一种特殊的函数，数列可以看成以 为定义域的函数
()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列___ .
5. 数列的表示
数列的表示方法有： . 【基础练习】
1． 下列数列（1） 1，
51,41,31,21（2）,2
1
,31,41,511是同一个数列吗？ 2. 下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号内的数 （1）(
)()1,3,6,10,,21,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （2）()()3,5,9,17,33,,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;
（3）(
)1,4,9,16,,36,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.
3.下面数列中递增数列是 ，递减数列是 ，常数数列是 ，摆动数列是
（1）0,1,2,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（2）82,93,105,119,129,130,132;（3）3,3,3,3,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （4）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01;
（5）1,1,1,1,1,---⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（6精确到1,0.1,0.01,0.001,⋅⋅⋅的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1,1.141,1.414,;2,1.5,1.42,1.415,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 4.据下列数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式 （1）1,3,5,7,9⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （2）9,7,5,3,1,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;
（3）2222
21314151;,;;2345
----
（4）1111,,,,12233445
----⨯⨯⨯⨯.
【典型例题】
类型一 根据数列的前几项写出数列的通项公式
例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（1）1111,,,;234
--（2）2,0,2,0.（3）9,99,999,9999,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;
（4）1925,2,,8,,222⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（5）0,3,8,15,24,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（6）11111,,,,,26122030⋅⋅⋅⋅⋅⋅.
【变式练习】
写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
1. 11111,,,,3579 ;
2. 11111,,,,2122232425---⨯⨯⨯⨯⨯;
3. 1124
;
4.
32 , 154
, 356, 638, 99
10, …… ; 5. 0, 1, 0, 1, 0, 1,……;
6. 2, －6, 12, －20, 30, －42,……；
7. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,5555,555,55,5
类型二 根据数列的通项公式求数列的项 例2 （1）已知数列{}n a 的通项公式为31(21,)
41(2,)
n
n n k k N a n n k k N *
+=+∈⎧=⎨-=∈⎩,则它的前4项依次为 .
（2） 已知数列
{}n a 的通项公式为(2)n
a
n n =+，问：①90,80是不是该数列中的
项？如果是，是第几项？
②从第几项开始，该数列的项大于10000？ 【变式练习】在数列{}n a 中, 1
172,66,a
a ==通项公式为n 的一次函数.
(1) 求数列
{}n a 的通项公式;(2)88是不是该数列中的项？
类型三 数列的单调性
例3（1）判断无穷数列⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-,3,,1,0,1,2n 的增减性;
（2）判断无穷数列⋅⋅⋅+⋅⋅⋅,1
,,43,32,21n n .
1. 数列⋅⋅⋅--,15,11,7,3的一个通项公式是
()
)(A 74-=n a n )(B ()()141+-=n a n n
)(C ()()141--=n a n n )(D ()()1411--=+n a n n
2.下列六个结论中:(1) 数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点;(2) 数列的项数是
有限的;(3) 数列的通项公式是唯一的;(4) 数列不一定有通项公式; (5)数列1,2,3,……不一定递增;(6)数列看作函数,其定义域是
*N 或它的有限子集{}n ,,3,2,1⋅⋅⋅,其中正确的是
().
)(A (1) (2) (4) (6)
)(B (1) (4) (5) (6))(C (1) (3) (4) (5) )(D (1) (2) (6)
3. 已知数列{}n a 的通项公式()()2log 1+=+n a n n
,则它的前30项之积为(
)
)(A (1) (2) (4) (6)
)(B (1) (4) (5) (6))(C (1) (3) (4) (5) )(D
4.下面的数列
()⋅⋅⋅,2222,222,22,215,6,7,8,9,10)2(()⋅⋅⋅,0,1,0,1,0,135
,6,7,8,9,10)4(()⋅⋅⋅,,,,,3a a a a a ,递增数列是 ;递减数列是 ;常数列 ;
摆动数列是 .(直接填写序号) 5. 已知数列
{}n a 是递减数列,且对于任意正整数2,n
n a
n n λ=-+ 恒成立,则λ的取值范
围是 .
6.已知数列()*
∈+⋅⋅⋅N k k
73,,10,7,4,1;
(1)写出数列的通项公式(2) 数列共有多少项?(3)求数列的第10项,并说明100是否为数列的项?(4)从第n 项开始大于5.20?
1.写出数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,7,7,5,5,3,3,1,1一个通项公式.
2. 已知2
1n n a n
+-=,判断数列
{}n a 的单调性.
必修5 2.1 数列的概念与简单表示法（教案）
（第 1 课时）
【教学目标】
1．使学生理解数列及其有关概念，了解数列的简单分类;
2. 使学生理解数列的通项公式，学会观察、归纳、求简单数列的通项公式;
3. 使学生了解数列是一种特殊的函数，理解数列的函数性质 . 【重点】
1.会求简单数列的通项公式; 2．理解数列的函数性质 .
【难点】
1. 会求简单数列的通项公式;
2. 了解数列是一种特殊的函数，理解数列的函数性质 .
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第 28 页～第 30 页） 1．数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.
(1) 如果组成两个数列的数相同而顺序不同，那么它们(是,不是)相同的数列. （2） 数列中的数(能,否)相同?若相同,则为 常 数列.
(3) 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列中与顺序有关,排在第一位的数称为
第1项, 排在第二位的数称为 第2项 ,……, 排在第n 位的数称为第n 项. (4) 数列的一般形式可以写成⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,,321n a a a a ,简记为{}n a ,
注意:n a 与{}n a 是否相同; {}n a 是集合吗?
答：n a 与
{}n a 不相同; {}n a 不是集合，{}n a 中n a 与n 的大小、顺序有关且n
a 的大小可以相同，违背集合元素的无序性和互异性. 2． 数列的分类：
（1）据数列的项数是否有限可分类为有穷数列、无穷数列. （2）据数列的项大小关系可分类为
①递增数列：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列; ②递减数列：从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列; ③常数数列：各项相等的数列;
④摆动数列：从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 3. 数列的通项公式 (1)定义:如果数列
{}n a 的第列与序号n 之间的关系可以用一个式子表示,那么这个
式子叫做这个数列的通项公式.
(2) 数列的通项公式的作用:求数列中任意一项、检验某数是否是该数列的项.
4. 数列的函数性质
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 _n
____
项，又是这个数列中所有各项
的一般表示即数列是一种特殊的函数，数列可以看成以正整数集或它的有限子集为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列___函数值，其图像为一系列孤立的点.
5. 数列的表示
数列的表示方法有： 图象法、列表法、解析法等等 . 【基础练习】
1．下列数列（1） 1，
51,41,31,21（2）,2
1
,31,41,511是同一个数列吗？ 答:不是同一个数列,因为这些数对应的顺序不同.
2. 下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号内的数 （1）()()1,3,6,10,15,21,28,⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （2）()()3,5,9,17,33,65,129,⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （3）()1,4,9,16,25,36,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.
3.下面数列中递增数列是 (1)(2)(6） ，递减数列是（4）(7) ，常数数列是（3） ，摆动数列是 （5） . （1）0,1,2,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;
（2）82,93,105,119,129,130,132; （3）3,3,3,3,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;
（4）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01; （5）1,1,1,1,1,---⋅⋅⋅⋅⋅⋅;
（6）
精确到1,0.1,0.01,0.001,⋅⋅⋅的不足近似值构成数列
1,1.4,1.41,1.414,;2,1.5,1.42,1.415,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.
精确到1,0.1,0.01,0.001,⋅⋅⋅过剩近似值构成数列2,1.5,1.42,1.415,⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 4.据下列数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式 （1）1,3,5,7,9⋅⋅⋅⋅⋅⋅;21n a n =-； （2）9,7,5,3,1,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;211n a n =-+；
（3）222221314151;,;;2345----()()
2
111n n a n +-=
+；
（4）1111,,,,12233445----⨯⨯⨯⨯.()()
111n n a n n =-+； 5.根据数列的通项公式填表
【典型例题】
类型一 根据数列的前几项写出数列的通项公式
例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（1）1111,,,;234
--（2）2,0,2,0.（3）9,99,999,9999,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;
（4）1925,2,,8,,222⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（5）0,3,8,15,24,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（6）11111,,,,,26122030⋅⋅⋅⋅⋅⋅.
【审题要津】注重培养学生观察、分析、归纳的方法和能力.
解:（1）11111111,,,,,,2341234--∴--Q ()1
11n n a n
+∴=-.
（2）法1：2,0,2,011,11,11,11,∴+-+-Q ()1
11n n a +∴=-+.
法2：cos (1)k k π=-Q cos 1n a k π∴=-+
（3）2349,99,999,9999,101,101,101,101,⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴----⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q ， 101n n a ∴=-.
（4）19251491625,2,,8,,,,,,,22222222
⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q 2
2n n a ∴=. （5）0,3,8,15,24,11,41,91,161,251,⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴-----⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q 21n a n ∴=-.
（6）1111111111,,,,,,,,,,261220301223344556⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯Q ()
11n a n n ∴=⨯+.
【方法总结】根据数列的前几项求它的通项公式时注意：（1）通过观察每一项的特点，
可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见的数列的通项公式来求.
（2）对常见的变形方法技巧要加以总结、记忆，是以后求通项公式的基础. （3）求解中要加强特殊项的检验，以避免结果不可靠的错误. （4）并非每个数列都有通项公式；数列有通项公式时并非唯一. 【变式练习】
写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
1. 11111,,,,3579 ;
2. 11111,,,,2122232425---⨯⨯⨯⨯⨯;
3. 1124;
4.
32 , 154
, 356, 638, 99
10, …… ; 5. 0, 1, 0, 1, 0, 1,……; 6. 2, －6, 12, －20, 30, －42,……； 7. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,5555,555,55,5. 解：1. 1
21
n a n =
- ； 2. ()
()
1
11n
n a n n =-+；
3. 1
2n n a -⎛⎫
= ⎪ ⎪
⎝⎭
4. 2(21)(21)
n n
a n n =
-+；
5. 法1： ()1
11
2
n n
a +-+=
.
法2： cos 12n k a π-+=.
6. ()1
1(1)n n a n n -=-+.
7. ()
1109
5-=
n
n a . 类型二 根据数列的通项公式求数列的项
例2 （1）已知数列{}n a 的通项公式为31(21,)
41(2,)
n
n n k k N a n n k k N *
+=+∈⎧=⎨-=∈⎩,则它的前4项依次为 4，7，10，15 .
（2）已知数列
{}n a 的通项公式为(2)n
a
n n =+，问：①90,80是不是该数列中的项？
如果是，是第几项？
②从第几项开始，该数列的项大于10000？ 【审题要津】数列
{}n a 的通项公式实质就是函数的解析式，利用函数的思想方法解决.
解：（1）类比于分段函数易得：它的前4项依次为 4，7，10，15 . （3） ①令(2)80n a n n =+=得8n =或10n =-（舍去），故80是第8项； 同理令(2)90n a n n =+=得不出正整数解，故90不是该数列中的项.
②由2
(2)(1)1n a n n n =+=+-得n a 随()n n N ∈的增大而增大，又知
1001020010000a =>，99999910000a =<，故从第100项开始，该数列的项大于
10000.
【方法总结】通项公式直接反映了n a 与()n n N ∈的关系，数列看作特殊的函数，已知项求项数或已知项数求项数类比于函数中自变量与函数值的对应，已知n a 求()n n N ∈时，只需看方程有无正整数解即可，注求解中加强方程和函数（单调性）的思想方法. 【变式练习】在数列{}n a 中, 1
172,66,a
a ==通项公式为n 的一次函数.
（1）求数列
{}n a 的通项公式;(2)88是不是该数列中的项？
解：（1）设n a pn q =+，则1172,6617,a p q a p q ==+==+ 解得4,2p q ==-，故42n a n =-.
（2）令4288n a n =-=，得45n =，故88是该数列第45项.
类型三 数列的单调性
例3（1）判断无穷数列⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-,3,,1,0,1,2n 的增减性;
(2）判断无穷数列⋅⋅⋅+⋅⋅⋅,1
,
,43,32,2
1n n
的增减性. 【审题要津】数列看作特殊的函数，可类比于函数的增减性的判定方法进行判定；也可
利用递增数列、递减数列的定义只需比较相邻项的大小关系.
解：（1）法1：易知n a n
-=3，由于x x f -=3)(是关于x 的减函数，所以
n a n -=3是关于n 的减函数，故数列⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-,3,,1,0,1,2n 的递减数列.
法
2：
n
a n a n n -=∴-=+231Θ，
1
+>∴n n a a ，故数列
⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-,3,,1,0,1,2n 的递减数列.
（2）法1：易知1+=n n a n ，由函数的定义易证1
)(+=x x x f 是关于x 的增
函数，所以1+=n n a n 是关于n 的增函数， 故数列
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅,1
,,43,32,21n n
是递增数列.
法2：2111++=∴+=+n n a n n a n n Θ1211+-++=-∴+n n
n n a a n n ()
01)2(1
1>++=-∴+n n a a n n 1+<∴n n a a
故数列⋅⋅⋅+⋅⋅⋅,1
,
,43,32,21n n
是递增数列. 【方法总结】研究数列的单调性时既要注重函数的通法通解，又要注重数列的特殊性；
将特殊与一般相结合.
1. 数列⋅⋅⋅--,15,11,7,3的一个通项公式是
()C
)(A 74-=n a n )(B ()()141+-=n a n
n
)(C ()()141--=n a n
n )(D ()
()1411
--=+n a n n
2.下列六个结论中:(1) 数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点;(2) 数列的项数是有限的;(3) 数列的通项公式是唯一的;(4) 数列不一定有通项公式; (5)数列1,2,3,……不一定递增;(6)数列看作函数,其定义域是*
N 或它的有限子集
{}n ,,3,2,1⋅⋅⋅,其中正确的是
()B )(A (1) (2) (4) (6) )(B (1) (4) (5) (6))(C (1) (3) (4) (5) )(D (1) (2) (6)
3. 已知数列
{}n a 的通项公式()()2log 1+=+n a n n ,则它的前30项之积为()A
)(A 5 )(B 4)(C 30log 2)(D 32log 2
4.下面的数列
()⋅⋅⋅,2222,222,22,215,6,7,8,9,10)2(()⋅⋅⋅,0,1,0,1,0,13()⋅⋅⋅,,,,,4a a a a a ,
递增数列是 (1) ;递减数列是 (2) ;常数列 (4) ;摆动数列是 (3) .(直接填写序号) 5. 已知数列{}n a 是递减数列,且对于任意正整数2,n
n a
n n λ=-+ 恒成立,则λ的取值范
围是
3<λ .
6.已知数列()*
∈+⋅⋅⋅N k k
73,,10,7,4,1; (1)写出数列的通项公式(2) 数列共有多少项?(3)求数列的第10项,并说明100是否为数列的项?(4)从第几项开始大于5.20?
解：（1）
(
)
,,233,223,21373,,10,7,4,1⋅⋅⋅-⨯-⨯-⨯∴∈+⋅⋅⋅*
N k k Θ 23-=∴n a n .
（2）令()*
∈-=+N k n k 2373，得3+=k n ，故数列共有3+k 项.
（3）当10=n 时，28210310
=-⨯=a ；
令1002
3=-n 得34=n .
（4）由5.2023>-n 得5.7>n ，故从第8项开始大于5.20.
1.写出数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,7,7,5,5,3,3,1,1一个通项公式
11 解：⎪⎩⎪⎨⎧∈+=-∈==*)
(12,1)
(2,*N k k n n N k k n n a n . 2. 已知21n n a n
+-=,判断数列{}n a 的单调性. 解：∴+-=21n n a n Θ21)1(11++-+=+n n a n 0)1(11211)1(1122221>++++-=++++-=-∴+n n n n n a a n n 故数列{}n a 是递增数列.。