2017年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.1比较法课件新人教A版选修4_5

2.已知a>b>c,证明:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2. 【证明】因为a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=(a2b-bc2) +(b2c-ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ac(ca)=(a-c)(ba+bc-b2-ac)=(a-c)(a-b)(b-c). 因为a>b>c,所以a-c>0,a-b>0,b-c>0,所以(a-c)(ab)(b-c)>0,即a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.
【变式训练】1.(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷, 粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色 各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为 x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分 别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单 位:元)是( )
(b-1)2]≥0,当且仅当a=b=1时取等号,所以
a2+b2+1≥ab+a+b.
【方法技巧】作差比较法证明不等式的技巧 (1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目 的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多 少.
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可 以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法. (3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的 符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的形式, 当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法 判断符号.
因为a>b>0,所以a >1,a-b>0,所以(a )ab >1.
b
b
同理 (b)b>c1, >(a1)a.c
c
c
a 2a b2bc2c 所以 abcbca>ca1b ,所以a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
【方法技巧】作商比较法证明不等式的一般步骤 (1)作商:将不等式左右两边的式子进行作商. (2)变形:化简商式到最简形式. (3)判断:判断商与1的大小关系,也就是判断商大于1或 小于1或等于1. (4)得出结论.
A.ax+by+cz C.ay+bz+cx
B.az+by+cx D.ay+bx+cz
【解析】选B.由x<y<z,a<b<c,所以ax+by+cz(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0,故 ax+by+cz>az+by+cx;ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x) +c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cx<ay+bx+cz; az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y) +b(y-z)=(a-b)(z-y)<0, 故az+by+cx<ay+bz+cx,所以最低费用为az+by+cx.
ab+cbc+aca+b>0,a2ab2bc2c>0. a2ab2bc2c a b bc cacab

aaaabbbbcccc abacbcbacacb
所证不等式左边除以右边,得
( a )ab ( a )ac ( b )bc. bcc =aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是应用不等式的性质,或对差式 的变形不彻底而引起的.
【解析】由②c-b=(a-2)2≥0,知c≥b.
又①-②,得b=a2+1,所以b-a=a2-a+1(a= 1)2 3＞0. 24
所以b>a,故c≥b>a.
编后语
ab 2
a－b b－a
a 2 b 2
（a）a－2 b， b
所以当a=b时,显然有（ba）a=－2 b1;
当a>b>0时,ba ＞1,
a
2
b＞0;
当b>a>0时0,＜a ＜1, a b＜0, b2
由指数函数的单调性,有 （a）a－2 b＞（a）0=1，
b
b
综上可知,对任意a>0,b>0,都有aabb≥ab
类型二 作商比较法
【典例】设a>0,b>0,求证:aabb≥ ab
ab 2 .
【解题探究】由指数函数的性质可知a,b满足什么条
件时ab>1?
提示:若0<a<1,则b<0时,ab>1;若a>1,则b>0时,ab>1.
【证明】因为aabb>0,aba>2b 0,
所以
aabb
ab
【知识探究】 探究点 比较法证明不等式 1.作差比较法的主要适用类型是什么?实质是什么? 提示:作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式 的证明.实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为 一个数(或式子)与0的大小关系.
2.作商比较法主要适用类型是什么? 提示:作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形 式的不等式证明.其证明的一般步骤:作商→变形(化 简)→判断商值与1的大小关系→结论.

ab 2
.
【延伸探究】
ab
1.典例中的条件不变,试证明:abba≤ ab 2 .
【证明】因为abba>0,aba2b>0,
所以
abba
ab
ab 2
b－a a－b
a 2 b 2
（a）b－2 a， b
所以当a=b时,显然有（a）b－2=a 1; b
当a>b>0时,ba ＞1,
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
2019/8/2
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第二讲 证明不等式的基本方法 一比较法
【自主预习】 比较法的定义 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两 种.
(1)作差比较法:要证明a>b,只要证明_a_-_b_>_0_;要证明
a<b,只要证明_a_-_b_<_0_.这种证明不等式的方法,叫做作
差比较法.
(2)作商比较法:若a>0,b>0,要证明a>b,只要证明 >1;要证明b>a,只要证明__ba ＞__1_.这种证明不等式的ab方 法,叫做作商比较法.
【归纳总结】 1.作差法的依据 若a,b∈R,则a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b. 2.作差法的步骤 作差→变形→判断符号(与0比较大小)→结论.
3.作商法的依据
若a>0,b>0,则 a >1⇔a>b; a =1⇔a=b; a <1⇔a<b.
b
b
b
4.作商比较法适用证明的不等式的特点
适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等
式或某些不同底数对数值的大小比较.
类型一 作差比较法 【典例】已知a,b∈R,求证:a2+b2+1≥ab+a+b. 【解题探究】典例中作差后,如何与0比较大小? 提示:化为几个完全平方式的和,然后与0比较大小.
【证明】因为a2+b2-ab-a-b+11= [(a-b)2+(a-1)2+ 2
b
2
a
＜0;
当b>a>0时,0＜a ＜1, b a＞0,
b2
由指数函数的单调性,有
（a）b2a＜（a）0=1，
b
b
综上可知,对任意a>0,b>0,都有abba≤
ab

ab 2
.
2.将典例中的条件改为“a>b>c>0”,求证:
a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
【证明】由a>b>c>0,得
A.a-b>0
B.a2+b2<0
C.a2-b2<0
D.a+b<0
【解析】选D.由a+|b|<0,知a<-|b|≤0,
所以a+b<b-|b|≤0,即a+b<0.故选D.
3.若a∈R且a≠1,则a2+1与2a的大小关系是_________. 【解析】因为a∈R且a≠1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0, 即a2+1>2a. 答案:a2+1>2a
【变式训练】已知a>2,求证:loga(a-1)<log(a+1)a.
【证明】因为a>2,则a-1>1,所以loga(a-1)>0,
log(a+1)a>0,
由于 loga a=l1o ga(a-1)·loga(a+1)
loga1a
＜[ loga a 1 loga a 1 ]2 [loga a2 1 ]2.
【即时小测】
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是
()
A.a>b>-b>-a
B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a
D.a>b>-a>-b
【解析】选C.由a+b>0,b<0,得a>-b>0,于是a>-b>பைடு நூலகம்>-a.
2.设a,b∈R且a+|b|<0,则下列结论中正确的是( )
2
2
因为a>2,所以0<loga(a2-1)<logaa2=2,
所以[ loga a2 1 ]2＜[ logaa2 ]2 1，因此 loga a 1＜1
2
2
loga1a
因为log(a+1)a>0,所以loga(a-1)<log(a+1)a.
自我纠错 利用比较法证明不等式 【典例】设实数a,b,c满足等式①b+c=6-4a+3a2; ②c-b=4-4a+a2;试比较a,b,c的大小关系.