dsp部分要点总结

第四章
连续时间信号的采样
1、几个概念
T 或：采样周期；：采样频率；：采样角频率
s T T f s /1=T s /2πΩ=ω：归一化角频率
与ω的关系：，可以这样理解，该归一化是指中的归一化
s ΩT Ωω=)(Ωj X s s Ω=Ω到中的。

在中代入即可得到。

)(ωj e X πω2=)(Ωj X s T /ω=Ω)(ωj e X 2、采样过程数学上可以分为两部分：周期冲击串的调制和冲击串到离散时间序列的转换。

连续时间信号被周期冲击串调制到（注意，此时
)(t x c ∑∞
−∞
=−=
n nT t t s )()(δ)
(t x s
也是一个周期冲击串，并且数学上仍然属于连续时间信号），再经过频率归一化
)(t x s )(t x s 在数学上消除信号与时间的关系，得到与时间无关的序列。

频域关系如下：
)(][nT x n x c =∑∞
−∞
=Ω−Ω=Ωk s c s kj j X T j X )
(1)(的离散时间傅里叶变换为：
][n x )(ωj e X ∑∞−∞=−=k c j T
k
j T j X T e X )
2(1)(πωω
3、奈奎斯特采样定理：
N s T
Ω≥=
Ω22π
注意：①输入信号一定要是带限的！！！②称为奈奎斯特频率；③而2称之N ΩN Ω为奈奎斯特率一定要注意！！！！
4、由样本重构带限信号（原理框图看一下书）步骤1：序列到冲击串的转换
其中T 就是x[n]的采样周期，所以要重构，光凭离散
∑∞
−∞
=−=
n s nT t n x t x ]
[][)(δ时间序列x[n]是不够的，你必须要知道x[n]产生时的采样周期T 步骤2：经过理想重构低通滤波器滤波，得到，该滤波器满足：
)(t x r 增益为T
截止频率
（通常=/2=π/T ）
c Ωc Ωs Ω
频率响应
T
t T t t h r //sin )(ππ=
由上两步，则整个系统的输出为：
∑
∞
−∞
=−−=
n r T
nT t T nT t n x t x /)()/)(sin(]
[)(ππ注解：①每一个函数在某些点上与的值相等，求和后能够在所
T
nT t T nT t n x /)()
/)(sin(]
[−−ππ)(t x c 以采样点上与相等；
)(t x c ②若重构时没有混叠，低通滤波器不仅能重构采样点的准确值，还在内插出采样点之间的点的准确值；
③当然，若有混叠，则②不能达到，仅满足①。

5、连续时间信号的离散时间处理
若要用离散时间系统等效一个连续时间系统，如图4.15，则该离散时间系统需满足：
π
ωω
ω2),()()
(][≤==T
j H e H nT Th n x c j c 注解：①系统的输入一定要是带限的；)(t x c ②用于等效的h[n]一定要是LTI 系统。

6、采样率的改变减采样：
4.73
∑∞
−∞=−=r c j d T r j T j X T
e X )2(1
)('
''
πωω
4.76
∑−=−=
10
)
/2/()
(1
)(M i M i M j j d e
X M
e X πωω
要求理解图4.21和4.22，理解并记忆图4.23
增采样：可以理解为，x[n]是的采样序列，故在已知x[n]的情况下要求相当][n x e ][n x e 于重构。

4.85
][n x e ∑∞
−∞
=−=k e kL n k x n x ]
[][][δ 4.88
L
n L n n h i /)/sin(][ππ= 4.89
∑
∞
−∞
=−−=
k i L
kL n L kL n k x n x /)(]/)(sin[]
[][ππ注意上三式与4.22、4.24、4.25的惊人的相似性。

理解并记忆图4.24，并结合该图理解上述三公式。

非整数因子：
有效的采样周期：L
TM T /'=低通滤波器增益：L
截止频率：
)
/,/min(M L ππ记忆图4.28
7、滤波器与减采样或者增采样交换顺序，系统输出不变。

但滤波器一定要是线性的滤波器！！！记忆图 4.30
8、多项分解理解其原理即可，参考 4.102 4.103 4.104,理解抽取滤波器和内插滤波器的多相实现图4.37和图4.40
第五章
线性时不变系统的变换分析
5.1LTI 系统的频率响应
1、理想低（高）通系统是非因果系统，其响应覆盖从，只能逼近，无法数学上完),(+∞−∞全实现；同时，理想低（高）通的另一特性是相位响应为0.
2、群延迟的概念等)]}({arg[)(jw e H dw
d
w −=τ对于理想线性系统
例 5.1
d
w =)(τ5.2常系数差分方程表征系统函数其关系很简单，可以由5.2例清楚表明，如下式：
]
2[]1[2][]2[8
3
]1[41][)()21()()83
411()()
(8341121)(21212121−+−+=−−−+⇒
++=−+⇒
=−+++=−−−−−−−−n x n x n x n y n y n y z X z z z Y z z z X z Y z z z z z H 4、稳定性：输入有限则输出有限；等价为H （z ）的ROC 包含了单位圆；
因果性：表现在输出上，即当前时刻的输出仅与当前时刻或者以前时刻的输入有关，与“未来”的输入无关，或者可以说是必须有输入才有输出；表现在系统函数上则是当n<0时，h[n]=0，当n<0时h[n]才有非零值；等价为H （z ）的ROC 在最大的极点的外部。

注：当前时刻，表现在h[n]上即是n=0的时刻。

5、疑惑……大家注意看例5.3的零极点图5.4，H(z)在1/2和2处有两个极点，在z=0处画的是一个二阶零点！！虽然H(z)的分子是常数，但并不意味着它没有零点，而是可以认为零点在原点处，且阶数和分母的最高次数相同。

但是这一点仿佛和我在《网络综合原理》里看到的有点不同。

参考《网络综合原理》77页。

6、逆系统的确定准则：只要逆系统的收敛域与原系统收敛于有重合部分，则该系统就是原系统的有效逆系统，这一点是逆系统定义式5.29成立的前提例5.4 5.5
7、最小相位系统：零极点都在单位圆内的系统就是最小相位系统？为什么？真正的定义是：原系统和逆系统都是稳定因果的线性时不变系统
8、怎么样通过系统函数H （z ）一眼看出该系统是IIR 系统还是FIR 系统？不管是FIR 还是IIR ，都是指有理系统，有理系统的一般表达式：
∑∑∑
∑=−==−−=−+−=
−+=N
k n k
k
N M r r
N
K k k
N
M r r
r n u d
A r n
B n h z
d A z B z H 1
11
]
[][][1)(δ，或者当分子的次数高于分母时才会有第一项求和式。

如果出现第二项求和式，则其响应就是无限的（因为有u[n]的存在），此类系统就成为IIR ，如果只含第一项求和式，则其响应必然是有限的，仅在M-N+1个点上有响应。

5.3有理系统函数的频率响应9、几个公式和概念
对于，其平方值为：
)1(jw j e re −−θ)
cos(21122
θωθ
−−+=−−r r e
re jw i 幅度分贝值：)]cos(21[log 101log 2021010θωθ−−+=−−r r e re jw j 相角主值：
]
)cos(1)
sin(arctan[]1[θωθωθ−−−=−−r r e re ARG jw j 群延时：
)
cos(21)cos(]1[22θωθωθ
−−+−−=
−−r r r r e
re grd je
j 零向量：零点到单位圆上某点的向量极向量：极点到单位圆上某点的向量
10、画幅频响应或者相频响应图，我们一般是知道起曲线的极大值点和极小值点，然后将各个点平滑连接即可。

一种方式是根据和的数学表达式数学上求起极值点，)(jw
e H )(jw
e H ∠这比较麻烦；另一种方式是画出H （z ）的零极点图，然后用观察法观察出极值点。

方法是：
是所有零向量的长度的乘积，再除以所有极向量长度值的乘积；)(jw e H 是所有零向量的角度之和，在减去所有极向量的角度之和；
)(jw e H ∠观察在0~2π周期内，随着单位圆上点的逆时针移动，与的极值点；)(jw e H )(jw e H ∠得到极值点的位置和大小后，就可以大概画出幅频曲线和相频曲线了。

5.4相位与幅度之间的关系
当我们知道了一个系统的幅度响应(通常即)，我们可以把它写成因式分解的形
2
)(iw
e H
式：
∏∏=−=−−−=N
k k
M
k k
jw z
b z
a b a
e H 1
1
11
2
02
)
1()1(()(同时，。

其中，分别
)
1()1()
1()1()(
)/1()()(11112
02
z d z d
z c z c a b z H z H e H k N k k
k M
k k jw
∗=−∗
=−∗
∗−−−−==∏∏k k d c ,是H （z ）的零点和极点。

我们看到虽然
的零极点呈共轭倒数对出现，但是由于
2
)(jw
e H 他们混在一起，我们无法区分到底中哪些是哪些是。

除非该系统是因果稳定系统，k b k d ∗k
d 1
即极点全部在单位圆内，则我们可以确定中小于1的即是，大于1的即是。

但是k b k d ∗
k d 1
我们仍然无法确定，除非该系统是最小相位系统，零点全部在单位院圆内，那么我们就k c 可以确定中小于1的就是。

于是我们就唯一确定了H （z ），也得到了相位信息。

k a k c 故最小相位系统的特点就是：幅频响应和幅频响应的零极点唯一确定了该系统的系统函数。

5.5全通系统
增益恒定，与频率无关；复数零极点共轭成对出现；
每一个极点都有一个与之配对的共轭倒数零点；
一般式：∏∏=−∗−−∗
−=−−−−−−−−=c r
M k k k k k M k k k ap z e z e e z e z z d d z A z H 11
111111)
1)(1()
)((1)(其中为实极点，为复极点。

k d k e 5.6最小相位系统
最小相位和全通分解：任何有理系统函数都能表示成：
)
()()(min z H z H z H ap =频率响应补偿，失真系统可表示为：，则其补偿系统为：
)()()(min z H z H z H ap d d +=，见图5.25
)
(1
)(min z H z H d c =
最小相位系统的性质（了解即可）：最小相位滞后性质；最小群延迟性质；最小能量延迟
性质
最大相位系统：全部零点位于单位圆外的系统5.7广义线性相位系统
5.7.1理想群延迟系统函数：，群延迟为：α
πα
<=−w e
e H jw jw
id ,)(当α为整数时:
][][)(][d d id n n x n y n n n h −=−=δ当α不为整数时:
,
)
(][)()(sin ][T nT x n y n n n h c id ααπαπ−=−−=
是的重构信号,故此时就表示:
输入序列带限内插后的时移序列
)(t x c ][n x ][n y 更一般的线性相位系统的频率响应:
α
jw jw jw e e H e H −=)()(当2α是整数时,相应的单位脉冲响应关于α偶对称,即]
[]2[n h n h =−α5.7.2广义线性相位系统:
β
αj w j jw e w A e H +−=)()(注意:A(ω)是ω的实函数
恒定群延迟系统的必要条件:
ωβα对全部,0))(sin(][=+−∑∞
−∞=n n w n h 5.7.3因果广义线性相位系统:
ω
βα对全部,0))(sin(][0
=+−∑∞
=n n w n h 注意与上式的区别
四类FIR 现象相位系统:单位脉冲响应的长度均为2α+1
Ⅰ类:α是整数,且h[n]=h[2α-n]偶对称Ⅱ类:2α是整数h[n]的对称中心是α偶对称Ⅲ类:α是整数,且h[n]=-h[2α-n]奇对称Ⅳ类:2α是整数h[n]的对称中心是α奇对称如图5.36
FIR 线性相位系统的零点位置：令M=2α
对Ⅰ类和Ⅱ类)()(1−−=z H z z H M 对Ⅲ类和Ⅳ类
)
()(1−−−=z H z z H M 普遍的：若是的零点，那么全是的零点0z )(z H 1
001
0)(−∗∗
−z z z 、、)(z H 特别的：Ⅱ类必有z=-1的零点；Ⅲ类必有的零点；Ⅳ类必有z=1的零点1±=z 5.7.4所有单位脉冲响应为实的FIR 线性相位系统均课分解为：
)
()()()(max min z H z H z H z H uc =其中的零点全部在单位圆内，的零点全部在单位圆上，的零点全)(min z H )(z H uc )(max z H 部在单位圆外，切为的零点的倒数。

)(min z H 第六章基本是画框图，我不便于画出来，请大家自己去看书，比较简单，内容也不多，仅要求到6.5节
第七章
滤波器设计方法
7.1.1脉冲响应不变法
变换式
：
通常取1
d
T /ω=Ωd T 步骤：1、将离散时间滤波器的指标转换为连续时间滤波器的指标，
；
Ω↔Ω↔ω,j e jw 2、根据获得的连续时间滤波器的指标，按照连续时间滤波器的设计方法，得到连续时间滤波器的系统函数，通常可以表示为：；)(s H c ∑=−=
N
k k
k
c s s A s H 1)(3、根据得到
，当=1时，)(s H c ∑
=−−=N
k T s k
d z e
A T z H d k 11
1)(d T 。

∑
=−−=N
k s k
z e A z H k 1
1
1)(7.1.2双线性变换法
变化关系式：通常取1
=d T )
29.7()2/arctan(2)28.7()2/tan(2
)
22.7()2/(1)2/(1)21.7(11(2[)(20.7)11(21
1
1
1
……Ω=……=
Ω……−+=
……+−=……+−=−−−−d d
d d d c d T T s
T s
T z z
z T H z H z z T s ωω）（设计步骤和脉冲响应不变法基本一样，要注意的是脉冲响应不变法中频率变换关系式是
或者就是，而双线性法的频率变换关系式是7.28和7.29。

d T /ω=Ωω=Ω7.2窗函数法设计FIR 滤波器
设所需的理想频率响应为
，这是一个响应无限长的理想频
∑∞
−∞
==
n jwn
d
jw
d e
n h e H ][)(率响应，我们用以下有限长响应的函数代替：
θ
π
θωπ
π
θd e W e H e H j j d jw
)()(21
)()(−−∫
=
其中为窗口函数，需满足。

)(jw e W M n n M w n w ≤≤−=0],[][常用的窗函数有：
矩形窗：{M
n n w ≤≤=010,][其他
三角窗：{
2/0/22//220
,][M n M
n M
n M M
n n w ≤≤≤<−=
其他
Hanning 窗：{M
n M n n n w ≤≤−=0)/2(cos 5.05.00,][其他πHamming 窗：{M n M n n w ≤≤−=0)/2cos(46.054.00
,][其他πBlackman 窗：{M n M n M n n w ≤≤+−=0)/4cos(08.0)/2cos(5.042.0,
0,][其他ππ其具体特点见表7.1由于窗函数满足，由第五章的知识可知w[n]具有广义线性相位的性质，
{
M
n n M w n w ≤≤−=
0][,0,
][其他
这也是用窗函数法设计因果滤波器的充分条件。

那么当所需的理想频率响应是关)(jw
d e H 于M/2奇对称或者偶对称时，得到的也必然具有广义线性相位性质，即：
)(jw e H 2
/2/)()(][][)()(][][jwM jw o jw d d jwM jw e jw d d e e jA e H n M h n h e e A e H n M h n h −−=−−==−=时，当时，当其中，为的实偶函数，为的实奇函数。

)(jw e e A ω)(jw
o e A ωKaiser 法：
Kaiser 窗函数：
M
n I n I n w ≤≤−−⎪⎩
⎪⎨⎧=0])]/)[(1([0
,][02
/120其他
βααβ设计低通滤波器的步骤：
1、给出技术指标：}
,min{,21,δδδ=s p w w 2、确定低通滤波器的截止频率：取在与之间适当位置，一般可取
c w p w s w
；2
s
p c w w w +=
3、计算和A ：，
；
ω∆p
s w w −=∆ωδ10log 20−=A 4、计算和M ：（7.62），β50
)
7.8(1102.050
2121
)21(07886.04.0)21(5842.00
.0,>−≤≤<−+−⎩⎨⎧=A A A A A A βω
∆−=
285.28
A M 5、由要求的求出，然后计算所求滤波器的脉冲响应：
)(jw
lp e H ][n h lp M
n I n I n h lp n h ≤≤−−•⎪⎩
⎪⎨⎧=0])]/)[(1([][0
,][02
/120
其他
β
ααβ7.4FIR 滤波器的最佳逼近这一节上课讲了的，不过好像是选学内容，大家其他部分复习完了可以再回过头来看看，这里略过。

连续时间滤波器：这一章的数字滤波器设计要大量用到连续时间滤波器设计的知识，请大家仔细阅读附录B 和《网络综合原理》第四章。

这里列点主要知识。

1、巴特沃斯低通滤波器，幅度平方函数：，在通带与阻带内
N
c
j j j H 22
)
(11
)(ΩΩ+=
Ω都是单调递减的；
2、切比雪夫Ⅰ型：幅度平方函数：，在通带内振荡，在)
/(11
)(2
22
c N V j H ΩΩ+=Ωε阻带内单调递减；
3、切比雪夫Ⅱ型：幅度平方函数：，在通带内单调
1
222)]/([11
)(−ΩΩ+=Ωc N V j H ε递减，在阻带内振荡；
上两式中，称为切比雪夫多项式；
)cos
cos()(1
x N x V N −=4、椭圆滤波器：幅度平方函数：，在通带内与阻带内都是振)
(11
)(2
22
Ω+=
ΩN U j H ε荡的，为Jacobian 椭圆函数。

)(ΩN U 5、一般情况下，对于相同的指标要求，巴特沃斯低通滤波器需要的阶数最高，切比雪
夫其次，椭圆滤波器最少。

第八章离散傅里叶变换
8.1离散傅里叶级数（DFS ）
为了表示方便，通常我们有如下简写形式：
)
/2(N j N e W π−=那么：
kn
N j kn N e W )/2(π−=DFS 分析/综合对：
分析式：
∑−==10
~
~
][][N n kn
N
W n x k X 综合式：
∑−=−=
10~
~
][1][N k kn N
W
k X N
n x 我们用如右的符号表示：
]
[]
[~
~
k X n x DFS
↔8.2离散傅里叶级数的性质见表8.1我就不抄了
周期卷积：上次我详细讲过线性卷积、周期卷积和循环卷积的异同,请大家回忆我当时画的图，认真区分，用数学表达式来观察区别始终不是很直观。

对周期都为N 的周期序列和，若令：
][~
1n x ][~
2n x ]
[][][~
2~1~3k X k X k X =则：
∑−=−=10
~
21~
~
3]
[][][N m m n x m x n x 由对偶性：
∑
−=−=
=10
~2
1
~
~
3~
2~1~3]
[][1
][][][][N l l k X
l X
N
k X n x n x n x 8.3周期信号的傅里叶变换
对于周期为N 的周期序列，其离散傅里叶级数表示为：
][~
n x ∑−=−=
10
~~
][1][N k kn
N
W k X N
n x 其离散傅里叶变换为：
∑∞
−∞
=−=k jw
N k
k X N e X )
2(][2)(~~
πωδπ取在一个周期[0,N-1]内的值，除此之外的点全部取0，得到非周期序列x[n]，对应的][~
n x 傅里叶变换为，那么的傅里叶级数的系数就可以求得：
)(jw
e X ][~
n x ][~
k X
k
N w jw k N j e X e X k X )/2()/2(~)()(][ππ===这就是傅里叶级数与一个周期的傅里叶变换之间的关系，组织成语言可表述如下：
的傅里叶级数的系数等于对一个周期的傅里叶变换进行采样，采样区][~n x ][~k X ][~n x 间为，采样间隔为。

)2,0(πω=N /2π8.4对傅里叶变换采样
这一节深化了上一节的的观点。

对于有限长非周期序列x[n],其长度为N 。

将其周期延拓为周期序列，则的傅里叶级数的系数就是x[n]的傅里叶变换的采样值。

唯一值得注][~n x ][~n x 意的一点是：无论是x[n]平移N （或N 的整数倍）还是平移了（<N ）得到的，][~n x `N `N 上述结论都成立。

8.5离散傅里叶变换
新符号：表示x[n 以N 为模]PS:个人感觉这种表示没什么意思
]
))[((N n x DFT 的概念：取一个周期的值形成，称为有限长序列x[n]的离散时间傅][~k X ][k X ][k X 里叶变换，这就是传说中的DFT 。

理一下思路：][][][]
[~~k X k X n x n x ⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯→⎯取一个周期离散傅里叶级数系数周期延拓于是：
⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤=其他
,010],[][~N k k X k X DFT 分析/综合对：
分析式：∑−==10][][N n kn N
W n x k X 综合式:
∑−=−=10][1][N k kn N
W k X N n x 8.6离散傅里叶变换的性质见表8.2循环卷积：表达式对应于，即将][][][213k X k X k X =][][][213n x n x n x ○=N ][2n x 以N 为周期延拓为无限长序列后再与做卷积。

][1n x ，]
))[((][][21013N N m m x m x n x ∑−==1
0−≤≤N n 8.7若有限长序列的长度为L ，的长度为P ，当时，二者的循环卷][1n x ][2n x 1−+≥P L N 积与线性卷积相等。

即，][][][][2121n x n x n x n x ∗=○
N
这样，我们就可以先求得和的离散傅里叶级数的系数、，然后作][1n x ][2n x ][1k X ][2k X 乘，再离散傅里叶反变换，就可以得到与的线性卷积。

][1n x ][2n x 第九章
离散傅里叶变换的计算9.1离散傅里叶变换的高效计算
1、直接计算离散傅里叶变换，由，对于每一个k ，需要做N 次复
∑−==1
0][][N n kn N W n x k X 乘和（N-1）次复加；同时k 有N 个取值，则一共需要次复乘和次复加；又同2
N )1(−N N 时，一次复乘需要4次实乘和2次实加，一次复加又需要2次实加，那么一共需要次24N 实乘以及次实加！计算量正比于，当N 很大时，这个计算量无法接受。

利用N N 242−2N 的性质，可大幅减少计算量。

kn N W 2、的性质
kn N W （1）复共轭对称性
*)()(kn N kn N n N k N W W W ==−−（2）对n 和k 的周期性n N k N
N n k N kn N W W W )()(++==3、当输入为复数时，GOERTZEL 算法的计算量为：2(N+2)次实乘和4(N+1)次实加。

9.3按时间抽取的FFT 算法
对于N 点DFT （，N ，M 均为整数，不足N 的在序列后面补0），将其分为奇部和m N 2=偶部、长度各为2/N 的序列：
G[k]:原序列奇数点N/2点的DFT;
H[k]:原序列偶数点N/2点的DFT;
则递推关系为：1
,1,0],[][][−……=+=N k k W k G k X k N 由次关系式并灵活运用的性质的，可得到8点DFT 的蝶形图图9.10记住它。

同时还
kn N W 要记住4点DFT 的蝶形图，可以动手自己画一下，不会的找周围会的同学画一下，然后记住。

多半会考。

计算量：复数乘法和复数加法的次数正比于，图9.10中复数乘法约为N N 2log ，复数加法约为N N 2log 2
1N N 2log 另外，图9.10的输入为倒位序，输出为正常序位。

出此之外还有图9.14图9.15图9.16的形式。

这些形式都没有本质上的区别，只是根据信号输入x[n]的方便和硬件内存储数据的方便程度灵活选用。

这三个图我估计不会考，但是就怕万一，丢分可惜，建议也记一下。