河南省开封市2017届高三上学期10月月考文数试题Word版含解析

1.已知集合{1,0,1,2}M =-，2
{x |x 3x 40}N =+-≤，则M N =
A. }2,1{
B.}1,0,1{-
C. {1,1,3,4}-
D. {1,0,1,2}-
【答案】B
考点：集合的运算
2. 已知复数 z 满足(1)1z i +=+，则||z =（ ）
A ．
2
．21
C D ． 2
【答案】A 【解析】 试题解析：i i
z 311++=,22311=++=i
i z ,选A.考点：复数的运算，复数的模.
3.已知命题p ：0x ">，总有()11x
x e +>，则p ⌝
为
A. 00>∃x ，使得1)1(0
0<+x e x B. 00>∃x ，使得1)1(00≤+x e x C. 0x ">，总有1)1(0
0<+x e x D.0≤x ，总有1)1(00<+x e x
【答案】B 【解析】
试题解析：命题,0:>x p “总有”1)1(>+x e x ，则,0:0>∃⌝
x p 使
得1)1(0
0≤+x e x ，选B.考点：全称量词与特称量词
4.执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 A. 4 B. 5 C. 6 D.7 【答案】B
试题解析：5=n 为奇数，16153=+⨯=n ，1=k ，
1=n ？否，n 为偶数，82
16
==
n ，2=k ，1=n ？否， n 为偶数，42
8
==
n ，3=k ,1=n ？否，n 为偶数， 224==n ,4=k ,1=n ？否，n 为偶数，12
2
==n ,
5=k ,1=n 是，输出5=k .选B.
考点：程序框图
5.若从3个海滨城市和两个内陆城市中随机选2个去旅游，那么概率是7
10
的事件是 A.至少选一个海滨城市 B.恰好选一个海滨城市 C.至多选一个海滨城市 D.两个都选海滨城市 【答案】C
考点：古典概型，对立事件的概率.
6.函数y=4cosx-e |x|
（e 为自然对数的底数）的图象可能是
A B C D
【答案】A
考点：函数的奇偶性、单调性，函数的图象.
7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．
73 B ．83π- C ．83 D ．73
π- 【答案】B 【解析】
试题解析：根据三视图可以看出原几何体为一个四棱锥ABCD P -，
平面⊥PCD 平面ABCD ，割去半个圆锥，圆锥底面直径为CD ,P 为顶点，其体积为
3
8213121-222312π
π-=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯，选B.考点：三视图
8.已知实数,x y 满足40
1010x y y x +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪-≥⎩
，则22(1)z x y =-+的最大值是
A ．1
B ．9
C ．2
D ．11 【答案】B 【解析】
试题解析：画出二元一次不等式所表示的平面区域，可行域为以)1,3(),3,1(),1,1(为顶点的三角形区域（包括边界），目标函数22(1)z x y =-+表示可行域内一点),(y x 到点)0,1(的距离的平方，得出最优解为)3,1(，则22(1)z x y =-+的最大值是93)11(2
2
=+-=z ，选B. 考点：线性规划
【方法点睛】注意目标函数是距离型，表示可行域上一点),(y x 到点)0,1(的距离的平方，只需看可行域内哪个点与点)0,1(的距离最大，哪个点的坐标就是最优解
.
9.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2
,6[π
π上单调，且 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为 A ．
2
π
B ．2π
C ．4π
D ．π 【答案】D
考点：三角函数图象与性质.
【方法点睛】根据三角函数的图象在某区间的单调性可判断ω的范围，根据函数值相等可判断函数图象的对称轴，根据函数值互为相反数可判断函数图像的对称中心，有了函数图像的对称轴和对称中心可判断函数的周期.
10. 在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的( )C
A ．BC ∥平面PDF
B ．DF ⊥平面PAE
C ．平面PDE ⊥平面ABC
D ．平面PA
E ⊥平面ABC 【答案】C 【解析】
试题解析：若平面PDE ⊥平面ABC ，则P 在底面ABC 内的射影落在DE 上，而四面体P －ABC 为正四面体，顶点P 在底面ABC 内的射影为正三角形ABC 的中心,C 不成立. 考点：空间点、线、面的位置关系.
11．双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在
双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为
A. 2
B. 3
C. 5
D.6 【答案】D
考点：求离心率.
【方法点睛】求离心率就是要找出一个关于c b a 、、的等式，借助于曲线上一点的坐标满足曲线方程也是一种很不错的方法.
12．已知变量a,b 满足b=－12a 2+3lna (a>0),若点Q(m,n)在直线y=2x+12
上, 则(a-m)2+(b-n)2
的最小值为 C A. 9 B. 353 C. 5
9
D. 3 【答案】C 【解析】
试题解析：令22
1ln 3x x y -
=及y=2x+1
2，则(a-m)2+(b-n)2的最小值就是曲线
221ln 3x x y -=上一点与直线y=2x+1
2的距离的最小值，对函数22
1ln 3x x y -=求导得：
x x y -='3，与直线y=2x+1
2平行的直线斜率为2，令x x
-=32得1=x 或3-=x （舍），则
1=x ，得到点)21,1(-到直线y=2x+12的距离为553，则(a-m)2+(b-n)2
的最小值为5
9
)553(
=.
【方法点睛】本题转化为一条曲线上一点到一条直线的距离的最小值问题，再转化为曲线上一点的切线平行已知直线，化为两条平行线间的距离的最小值，是一种转化思想. 考点：两点间的距离.
二、填空题
13.已知向量a =（1，b =（3, m ），且向量a 与b 夹角为60,则m=
【答案】0或33-
考点：平面向量.
14.设函数2log ,0()(),0
x x f x g x x >⎧=⎨<⎩，且f （x ）为奇函数，则g （1
4-）=
【答案】2 【解析】
试题解析：由于)41()41
(-=-g f ，而f （x ）为奇函数，24
1
log )41()41(2=-=-=-f f ，则
2)4
1
(=-g
考点：分段函数求值，函数的奇偶性.
15.若f(x)=2
1ln(2)2
x b x -
++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A. D.（-∞，-1） 【答案】C
考点：恒成立问题.
16.在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，则c = ． 【答案】5 【解析】
试题解析：由正弦定理
B b
A a sin sin =
，A A 2sin 62sin 3=得：36cos =A ，由余弦定理： 3
6
6424922⋅
-+==c c a ，3=c 或5=c . 当3=c 时,3==c a ,,2,A B A C ∠=∠∠=∠则2
,4π
π=∠=∠B A ，而2
22b c a ≠+，矛盾
舍去 ， 故5=c . 考点：解三角形.
【方法点睛】本题根据正弦定理可以求出3
6
cos =
A ，下一步有两种方法，（1）如本题解析走余弦定理，解出c ，但要对解出的解进行检验；（2）求C sin ，利用正弦定理求c .
三、解答题
17.(本小题满分12分)
已知数列{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }是b 1=1的等比数列，且491
1
b a =+． （Ⅰ）分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）令
c n = a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ． 【答案】(1)a n =3n-1,b n =
1
13n -,(2)T n = 214- 14
（6n+7）31-n
.
【解析】
（Ⅱ）c n = a n b n =（3n-1）1
13n - ∴T n =2×
013+5×1
3
+8×213+……+（3n-1）113n - ① 13T n = 2×1
3
+5×213+8×313+……+（3n-1）13n ②
① - ②：
23T n =2 +3×1
3
+3×213+……+3×113n - -（3n-1）13n =2 + 3×11
33113
n ---（3n-1）13n
∴T n =
214- 14
（6n+7）31-n
. 考点：等差（比）数列通项公式，错位相减法数列求和.
【方法点睛】数列求和常用方法有分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法，其中错位相减法、裂项相消法尤其重要.
18.(本小题满分12分)
某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数； （Ⅱ）从测试成绩在内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m 、n ，求事件“|m﹣n|＞10”概率．
【答案】
（II ）由直方图知，成绩在的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a 、b 、c ， 若m ，n∈时，有ab ，bc ，ac 三种情况， 若m ，n 分别在内时，有
共有6种情况，所以基本事件总数为10种， 事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种 ∴
．
考点：频率分布直方图和概率.
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为矩形，11,AB BC AA D ===为1
AA
的中点，BD 与1AB 交于点1,O BC AB ⊥. （Ⅰ）证明：1CD AB ⊥；
（Ⅱ）若OC =
，求四面体AA 1BC 的体积.
【答案】(1)证明略（2
(Ⅱ) 在Rt △ABD 中，AB=1，AD=
2
∴AO=3
在Rt △AOB 中, 得BO=
3
在△BOC 中，BO 2
+CO 2
=BC 2
，∴△BOC 为直角三角形，…………………………8分 ∴CO ⊥BO ， 由（1）易知，平面BCD ⊥平面AA 1B 1B ，平面BCD ∩平面AA 1B 1B=BD ∴CO ⊥平面AA 1B 1B ，…………………………10分
∴四面体AA 1BC 的体积V=
13S △AA1B ⨯OC=13⨯1
2
⨯1⨯⨯
………………12分 考点：垂直的证明和求体积.
【方法点睛】证明线线垂直大多寻求线面垂直，但本题利用相似三角形对应角相等去证明垂直却很少，应引起注意，第二步求体积注意面面垂直，注重面面垂直的交线，面面垂直的性质定理应提升高度. 20. （本题满分12分）
如图，已知圆E ：22
(16x y ++=，点F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂
直平分线和半径PE 相交于Q ． （Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知,,A B C 是轨迹Γ的三个动点，点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，且||||CA CB =，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）22:14x y τ+=（2）min 8
5
S =，x y =
（Ⅱ）由点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，设:(0)AB y kx k =>
CA CB =，C ∴在AB 的垂直平分线上，1
:CD y x k
∴=-.
22
22
(14)414
y kx k x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩，
2AB OA ===
同理可得OC =……………6分
2142ABC
S
AB CO === ……………………8分 2224145(1)22
k k k ++++≤=，当且仅当1k =时取等号，
所以8
5
S ≥， ………………………………………………………………………11分
当:AB y x =时min 8
5
S =. …………………………………12分
考点：求轨迹方程，直线与椭圆的交汇问题.
21. (本小题满分12分)
设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．
（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣4e2只有一个零点，求实数a的取值范围
【答案】（1）a=e或a=3e；（2）（－∞，3e）
经检验，a=e或a=3e符合题意，所以a=e或a=3e；…………………………4分（Ⅱ）由已知得方程f（x）=4e2只有一个根，
即曲线f（x）与直线y=4e2只有一个公共点．
易知f（x）∈（﹣∞，+∞），设()2ln1a
h x x
x
=+-，
①当a≤0时，易知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，满足题意； (6)
分
②当0＜a≤1时，易知h（x）是单调递增的，又h（a）=2lna＜0，h（1）=1﹣a≥0，
∴∃x0∈（a，1），h（x0）=0，
当0＜x＜a时，f′（x）=（x﹣a）（2lnx+1﹣a
x
）>o
∴f（x）在（0，a）上是单调递增，
同理f（x）在（a，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
又极大值f（a）=0，所以曲线f（x）满足题意；…………………………8分③当a＞1时，h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0，
∴∃x 0∈（1，a ），h （x 0）=0，即，得a ﹣x 0=2x 0lnx 0，
可得f （x ）在（0，x 0）上单调增，在（x 0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增……10分
又f （a ）=0，若要函数f （x ）满足题意，只需f （x 0）<4e 2
，即（x 0-a ）2
lnx 0<4e 2
∴x 02
ln 3
x 0<e 2
, 由x 0>1，知g （x ）=x 2
ln 3
x>0,且在[1, ＋∞）上单调递增， 由g （e ）=e 2
，得1＜x 0＜e ，因为a=x 0+2x 0lnx 0在[1，+∞）上单调递增， 所以1＜a ＜3e ；
综上知，a∈（－∞，3e ）…………………………12分 考点：利用导数研究极值与零点问题. 选考题
22．（本小题满分10分）
选修4 - 1：几何证明选讲
如图，EF 是⊙O 的直径，AB ∥EF ，点M 在EF 上，AM 、BM 分别交⊙O 于点C 、D 。

设⊙O 的
半径是r ，OM = m 。

（Ⅰ）证明：22222()AM BM r m +=+； （Ⅱ）若r = 3m ，求AM BM
CM DM
+
的值。

【答案】（1）略（2）
2
5
故22222()AM BM r m +=+ …………5分 （Ⅱ）因为EM r m =-，FM r m =+，
所以22AM CM BM DM EM FM r m ⋅=⋅=⋅=-.
因为2222
AM BM AM BM AM BM CM DM AM CM BM DM EM FM ++=+=
⋅⋅⋅ 所以222
2
2()AM BM r m CM DM r m
++=-. 又因为3=r m ，所以5
2
+=AM BM CM DM ． …………….10分 考点：平面几何 23．（本小题满分10分）
选修4 - 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y = 8，圆C 的参数方程是2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩
（φ为
参数）。

以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

（Ⅰ）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线OM ：θ = α（其中02
a π
<<）与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，射
线ON ：2
π
θα=+
与圆C 交于O 、Q 两点，与直线l 交于点N ，求
||||
||||
OP OQ OM ON ⋅的最大值。

【答案】（1）8sin =θρ，θρsin 4=（2）16
1
.
（Ⅱ）依题意得，点M P ,的极坐标分别为⎩⎨⎧==,,
sin 4αθαρ错误！未找到引用源。

和
⎩⎨
⎧==.
,
8sin αθαρ 所以αsin 4||=OP ，α
sin 8
||=
OM ， 从而2||4sin sin 8||2sin OP OM αα
α
==.
同理，2sin ()
||2||2
OQ ON π
α+=. 所以||||||||
OP OQ OM ON ⋅
22
2
sin ()sin sin (2)22216π
ααα+=⋅=， 故当
4
π
α=
时，
||||
||||
OP OQ OM ON ⋅
的值最大，该最大值是
16
1
. ···············…10分 考点：极坐标.
24.（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
已知不等式|x+3|<2x+1的解集为{x|x>m}. （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）设关于x 的方程|x-t|+|x+1t
|=m(t ≠0)有实数根，求实数t 的值. 【答案】(1) 2, (2) t=±
1.
（Ⅱ）因为m=|
|
|
1t
|≥|(x+1t
)|
|
1
t ||t|1||
t ， 当且仅当（x-t ）（x+1t
）≤0时，等号成立
∵m=2， ∴|t|
1
||
t ≤2， 另一方面，|t|
1||t ≥2，当且仅当|t|=1||
t 时，等号成立，
∴只有|t|=1
||t
即t=±
1. ·················································· 10分
考点：不等式。