湖南高二高中数学期中考试带答案解析

湖南高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知，，则（）
A．B．
C．D．
2.若非空集合，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.下列四个命题中：①“等边三角形的三个内角均为60”的逆命题；
②“若k>0，则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题；
③“全等三角形的面积相等”的否命题；
④“若ab≠0，则a≠0”的否命题。

其中真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
4.下面给出的四个点中,位于表示的平面区域内的点是( )
A．B．
C．D．
5.设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
6.在△中，若，则（）
A．B．
C．D．
7.设为等差数列的前项和，若，则（）.
A．13B．14
C．15D．16
8.设为等比数列的前项和，已知，，则公比（）
A．3B．4
C．5D．6
9.当x>1时不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（
B ．13，+
C ．（
D ．12，+
10.某观察站与两灯塔、的距离分别为米和米，测得灯塔在观察站
西偏北，灯塔
在观察站
北偏
东，则两灯塔、间的距离为 ( ) A ．米
B ．米
C ．
米
D ．
米
11.制作一个面积为1m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是( ) A ．4.6m B ．4.8m C ．5m D ．5.2m
12.已知
，由不等式
可以推出结论：
=（ ）
A ．2n
B ．3n
C ．n
2
D ．
二、填空题
1.在△ABC 中，若
，则
.
2.命题“∃x 0∈R,2x －3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．
3.若实数
满足
，则
的最小值为_________.
4.若数列是等差数列，则有数列
也为等差数列，类比上述性质，相应地：若
数列
是等比数列，且
则有
也是等比数列。

三、解答题
1.命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对于一切x ∈R 恒成立，命题q ：∀x ∈11,2]， x 2－a≥0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．
2.在△ABC 中，内角所对的边分别为，已知. （Ⅰ）求证：成等比数列； （Ⅱ）若，求△的面积
3.如图,在直四棱柱中,底面四边形是直角梯形，其中,,且.
(Ⅰ)求证:直线平面； (Ⅱ)试求三棱锥-的体积.
4.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为.
（Ⅰ）若方程有两个相等的实数根，求的解析式；
（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围.
5.某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用（即有400公斤不需要保管）.
关于x的函数关系式；（Ⅰ）设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y
1
（Ⅱ）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少（小）值；
6.设数列的前项和为,,且.111]
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）等差数列的各项均为正数,其前项和为,且又成等比数列,求;
（Ⅲ）求数列的前项和.
湖南高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.已知，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
【考点】集合运算
2.若非空集合，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由“”可得到，反之也成立，所以“”是“”的充要条件【考点】充分条件与必要条件
3.下列四个命题中：①“等边三角形的三个内角均为60”的逆命题；
②“若k>0，则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题；
③“全等三角形的面积相等”的否命题；
④“若ab≠0，则a≠0”的否命题。

其中真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】：①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形是等边三角形”，正确；
②“若k＞0，则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题是“方程x2+2x-k=0没有实根，则k≤0”，
对于逆否命题：方程x2+2x-k=0没有实根，则△=4+4k≤0，解得k≤-1，∴k≤0，因此正确；
③“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，不正确．
④“若ab≠0，则a≠0”的否命题为：若ab=0，则a=0，命题错误
综上可知：只有①②正确
【考点】命题的真假判断与应用
4.下面给出的四个点中,位于表示的平面区域内的点是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】将4个选项中的各点坐标代入不等式验证可知只有点的坐标满足不等式，所以位于
表示的平面区域内的点是
【考点】不等式表示平面区域
5.设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】时A项不成立；B项不成立；时D项不成立，所以不等式成立【考点】不等式性质
6.在△中，若，则（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由正弦定理
【考点】正弦定理
7.设为等差数列的前项和，若，则（）.
A．13B．14
C．15D．16
【答案】C
【解析】设等差数列的首项是、公差是，
因为，
所以，解得，
则=-1+8×2=15
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和
8.设为等比数列的前项和，已知，，则公比（）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】B
【解析】，，两式相减得
【考点】等比数列性质
9.当x>1时不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．（B．13，+
C．（D．12，+
【答案】A
【解析】，当且仅当即时等号成立，所
以最小值为3 ，实数a的取值范围是（
【考点】不等式性质求最值
10.某观察站与两灯塔、的距离分别为米和米，测得灯塔在观察站西偏北，灯塔在观察站北偏东，则两灯塔、间的距离为 ( )
A．米B．米
C．米D．米
【答案】A
【解析】依题意，作图如下：
∵∠ACB=30°+60°=90°，|AC|=a，|CB|=b，
∴由余弦定理得：|AB|=
【考点】正弦定理；余弦定理
11.制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是( )
A．4.6m B．4.8m
C．5m D．5.2m
【答案】C
【解析】设一条直角边为x，则另一条直角边是，斜边长为，
故周长，
当且仅当x=时等号成立，
故较经济的（既够用又耗材量少）是5m
【考点】函数最值的应用
12.已知，由不等式可以推出结论：
=（）
A．2n B．3n C．n2D．
【答案】D
【解析】根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简．消去根号，得到右式； 对于给出的等式，，
要先将左式变形为
，
在
中，前n 个分式分母都是n ，
要用基本不等式，必有为定值，可得
【考点】归纳推理
二、填空题
1.在△ABC 中，若，则
.
【答案】1
【解析】由余弦定理
得
【考点】余弦定理解三角形
2.命题“∃x 0∈R,2x －3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】
【解析】命题的否定为真命题，即恒成立
【考点】二次函数性质及命题的否定 3.若实数
满足
，则
的最小值为_________.
【答案】-6
【解析】不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，顶点为，
当
过点
时取得最小值-6
【考点】线性规划问题 4.若数列是等差数列，则有数列
也为等差数列，类比上述性质，相应地：若
数列是等比数列，且
则有
也是等比数列。

【答案】
【解析】在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时， 我们一般的思路有：
由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法， 由算术平均数类比推理为几何平均数等， 故我们可以由数列是等差数列，则当
时，数列
也是等差数列． 类比推断：若数列是各项均为正数的等比数列，则当
时，数列
也是等比数列
【考点】类比推理
三、解答题
1.命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对于一切x ∈R 恒成立，命题q ：∀x ∈11,2]， x 2－a≥0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围． 【答案】{a|1＜a ＜2或a≤－2}
【解析】根据二次函数的图象和性质我们可以求出命题p ：关于x 的不等式x 2+2ax+4＞0对于一切x ∈R 恒成立时，
及命题q ：∀x ∈[1，2]，x 2-a≥0时，a 的取值范围，根据p ∨q 为真，p ∧q 为假，结合复合命题的真值表，可得p 、q 一真一假，分类讨论后可得实数a 的取值范围
试题解析：设g(x)＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对于一切x ∈R 恒成立，所以g(x)函数的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，所以－2＜a ＜2.
若q 为真命题，a≤x 2恒成立，即a≤1.由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 、q 一真一假. ①若p 真q 假，则所以1＜a ＜2；
②若p 假q 真，则
所以a≤－2；
综上可知，所求实数a 的取值范围是{a|1＜a ＜2或a≤－2} 【考点】命题的真假判断与应用
2.在△ABC 中，内角所对的边分别为，已知.
（Ⅰ）求证：成等比数列； （Ⅱ）若，求△的面积 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
【解析】（I ）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB （sinAcosC+sinCcosA ）=sinAsinC ，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin 2B=sinAsinC ，由正弦定理可证（II ）由已知结合余弦定理可求cosB ，利用同角平方关系可求sinB ，代入三角形的面积公式S=acsinB 可求 试题解析：（Ⅰ）由已知得：，
即 ， 所以. 再由正弦定理可得：， 故成等比数列. （Ⅱ）若，则，
∴，
∴△
的面积
.
【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形
3.如图,在直四棱柱中,底面四边形是直角梯形，其中
,,且.
(Ⅰ)求证:直线平面； (Ⅱ)试求三棱锥
-的体积.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
【解析】（1）通过证明C 1D ⊥CD 1，C 1D ⊥AC ，说明AC 与CD 1是平面ACD 1内的两条相交直线，利用直线与平面垂直的判定定理证明直线C1D ⊥平面ACD 1；（2）求三棱锥-的体积．转化为三棱锥C-AA 1D 1的体积，
求出底面面积与高，即可求解棱锥的体积 试题解析：(1)在梯形内过点作交于点,则由底面四边形是直角梯 形,,,以及可得:,且,. 又由题意知面,从而,而,故. 因,及已知可得是正方形,从而. 因,,且,所以面. (2)因三棱锥与三棱锥是相同的,故只需求三棱锥的体积即可,而,且由面
可得,又因为,所以有平面,即为三棱锥的高. 故
.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
4.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为.
（Ⅰ）若方程有两个相等的实数根，求的解析式；
（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，结合不等式的解集，利用待定系数法进行求解即可求f（x）的解析式；（2）根据二次函数的最值，由二次不等式的解法可得所求范围
试题解析：设，由不等式得.
根据题意得，方程的两根为由韦达定理得
，
（Ⅰ），由得，
根据题意得，整理得，
解之得从而
所以
（Ⅱ），.
即.
方程的根为
故的取值范围是
【考点】函数解析式的求解及常用方法与二次函数性质
5.某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每公斤原
材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用（即有
400公斤不需要保管）.
（Ⅰ）设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y
关于x的函数关系式；
1
（Ⅱ）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少（小）值；
【答案】（Ⅰ）y=6x2－6x（x∈N*，x>1)（Ⅱ）当10天购买一次，最少费用为714元.
=每公斤每天的保管费用×每天需要消耗原材料×【解析】（1）由题知每次购买的原材料在x天内总的保管费用y
1
使用的天数可得函数关系式；（2）由（1）表示出购买一次原材料的总的费用，利用基本不等式求出y的最小值
及此时的x的值即可
=(400x－400)×0.03=12x－12；
试题解析：（1）∵第一天的保管费a
1
=12x－24，……，组成一个公差为－12的等差数列，
第二天的保管费a
2
其中项数为：x－1项，（x∈N*，x>1).
∴y
=(x－1)×12(x－1)+=6x2－6x（x∈N*，x>1)
1
+600+400x·1.5)=6x++594≥120+594=714(元).
（2）y=·(y
1
当且仅当6x=，即x=10(天)时取“=”号，
∴当10天购买一次，最少费用为714元.
【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用
6.设数列的前项和为,,且.111]
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）等差数列的各项均为正数,其前项和为,且又成等比数列,求;
（Ⅲ）求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）再写一式，两式相减，可得是首项为1，公比为3的等比数列，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）利用又成等比数列，求出数列的首项与公差，从而可求；
（III）利用错位相减法，可求数列的前n项和
试题解析：（Ⅰ）当时,即,又
,
所以是首项为，公比为的等比数列.故.
（Ⅱ）设数列的公差为,则.由得.又则,得.故,111]
.
（Ⅲ）由,,所以,
故,
,
两式相减得, ,,
,
.
【考点】数列递推式；数列的求和；等比数列的性质。