三角形中的特殊模型-双角平分线模型(学生版)

三角形中的特殊模型-双角平分线模型
模型1、双角平分线模型1)两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：∠BGC =90°+
1
2
∠A ．
图1
图2图3
2)两外角平分线的夹角模型
条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：∠O =90°-1
2
∠A ．
3)一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：∠P =1
2
∠A ．
图4
图5图6
4)凸多边形双内角平分线的夹角模型
条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠D 5)两内角平分线的夹角模型
条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠B +∠E -180°
6)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)
条件：如图6，∠A =α，∠ABC ,∠ACD 的平分线相交于点P 1，∠P 1BC ,∠P 1CD 的平分线相交于点P 2，∠P 2
BC，∠P2CD的平分线相交于点P3⋯⋯以此类推；结论：∠P n的度数是α
2n
．
7)旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD 1(2023·绵阳市八年级课时练习)如图，在ΔABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC=.
2(2023·河南周口·八年级统考期末)如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=∂，∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线交于点P，则∠P=()
A.90°+1
2∂ B.90°-1
2
∂ C.1
2
∂ D.180°-1
2
∂
3(2023秋·山西太原·八年级校考期末)已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC．
(1)猜想：∠BPC与∠ABP、∠ACP、∠A存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若∠A=69°，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，直接利用(1)中结论，可得∠BPC的度数为．
4(2023秋·成都市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．
5(2023·绵阳市·八年级专题练习)如图，已知在ΔABC中，∠B、∠C的外角平分线相交于点G，若∠ABC =m°，∠ACB=n°，求∠BGC的度数.
6(2023春·广西·七年级专题练习)如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数
7(2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习)如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得A2；⋯；∠A2019BC与∠A2019CD的平分线相交于点A2020，得∠A2020，则∠A2020=．
8(2023·河北·九年级专题练习)问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD 平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D=；
如图3，若△ABC 是等腰三角形，顶角∠A =100°，其余条件不变，则∠D =；这两个图中，与∠A 度
数的比是
；(2)猜想证明：如图1，△ABC 为一般三角形，在(1)中获得的∠D 与∠A 的关系是否
还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
9(2023·重庆·七年级专题练习)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，分析发现∠BOC =90°+1
2
∠A ，理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线∴∠1=12∠ABC ，∠2=1
2
∠ACB
∴∠1+∠2=12(∠ABC +∠ACB )=12(180°-∠A )=90°-1
2
∠A
∴∠BOC =180°-(∠1+∠2)=180°-90°-12∠A =90°+1
2
∠A
(1)探究2：如图2中，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？(直接写出结论)
(3)拓展：如图4，在四边形ABCD 中，O 是∠ABC 与∠DCB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A +∠D 有怎样的关系？(直接写出结论)
(4)运用：如图5，五边形ABCDE 中，∠BCD 、∠EDC 的外角分别是∠FCD 、∠GDC ，CP 、DP 分别平分∠FCD 和∠GDC 且相交于点P ，若∠A =140°，∠B =120°，∠E =90°，则∠CPD =
度．
课后专项训练
1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，OG 平分∠MON ，点A ,B 是射线OM ，ON 上的点，连接AB ．按以下步骤作图：
①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于点C ，交BN 于点D ；
②分别以点C 和点D 为圆心，大于1
2
CD 长为半径作弧，两弧相交于点E ；
③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN=140°，∠MON=50°，则∠OPB的度数为()
A.35°
B.45°
C.55°
D.65°
2(2023·江苏·八年级月考)ΔABC中，点O是ΔABC内一点，且点O到ΔABC三边的距离相等；∠A= 40°，则∠BOC=()
A.110°
B.120°
C.130°
D.140°
3(2023·成都·八年级月考)如图，ΔABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=()
A.40°
B.45°
C.50°
D.60°
4(2023·重庆·八年级专题练习)已知，如图，△ABC中，∠ABC=48°，∠ACB=84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为()
A.45°
B.48°
C.60°
D.66°
5(2023秋·绵阳市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是
()
A.∠BAC=70°
B.∠DOC=90°
C.∠BDC=35°
D.∠DAC=55°
6(2022春·重庆黔江·七年级统考期末)如图，已知AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，CE，∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，若∠BFE=50°，则∠C等于( )．
A.70°
B.80°
C.85°
D.90°
7(2022春·北京海淀·七年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是
()
A.30°
B.45°
C.55°
D.60°
8(2023·江苏·八年级月考)如图，ΔABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠BAC的度数是．
9(2023春·河北·七年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC=130°，则∠D=
10(2022秋·浙江八年级课时练习)(2018育才单元考)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的角平分线交于点A2，得∠A2，⋯⋯，∠A n-1BC和∠A n-1CD的角平分线交于点A n，得∠A n
(1)若∠A=80°，则∠A1=，∠A2=，∠A3=
(2)若∠A=m°，则∠A2015=．
11(2023·浙江杭州·八年级期末)如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=m°，∠ABC的平分线与
∠BCD的平分线交于点P，则∠P=．(用含字母m的代数式表示)
12(2023春·河南·七年级专题练习)如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB=3：2，那么∠CAB=．
13(2023·甘肃陇南·统考一模)在△ABC中，AB=AC，∠A=100°．点M在BC的延长线上，∠ABC 的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．
(1)依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；(2)求∠BEC的度数．
14(2023·山东八年级期中)如图，在ΔABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点O，过点B作BG⊥CF于点G，∠OBG=1
∠BAC成立吗？说明理由.
2
15(2023·黑龙江八年级课时练习)(1)如图(1)所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．(2)如图(2)所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？
16(2023春·八年级单元测试)如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
(1)若∠A=70°，求∠D的度数；(2)若∠A=a，求∠E；(3)连接AD，若∠ACB=β，则∠ADB=．
17(2023·福建泉州·七年级阶段练习)在ΔABC中，已知∠A=α.
(1)如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α=80°时，∠BDC度数=度(直接写出结果)；
②∠BDC的度数为(用含α的代数式表示)；
(2)如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F,求∠BFC的度数(用含α的代数式表示)．
(3)在(2)的条件下，将ΔFBC以直线BC为对称轴翻折得到ΔGBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M(如图3)，求∠BMC的度数(用含α的代数式表示)．
18(2023·江苏盐城·七年级阶段练习)如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,(1)若∠A=40°,求∠BPC的度数；(2)设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q，且∠A=m°，求∠BQC的度数(3)设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR=1n∠CBD，∠BCR=
1
n∠BCE，求∠BRC的度数
19(2023·江西上饶·八年级校考阶段练习)(1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70∘，则∠BPC=度；
(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A 的数量关系?并说明理由．
(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,直接写出∠BPC与α的数量关系；
20(2023·甘肃天水·七年级统考期末)已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，
(1)如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．
(2)请直接写出结果．
如图2，若∠A=60°，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O=；
如图3，若∠A=60°，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O=．。