高中数学3.1变化率与导数导学案

§3.1 变化率与导数导学案
编号：1.3.1 编制人：陈洪平 二次备课人： 备课组组长：白银仓 年级组长：钟青波 上课时间： 班级： 学习小组： 学生姓名： 教师评价： 二次备课时间：
一、学习目标：
1理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 2.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；
3会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
4.通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.
二、重点难点：
1、用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度
2、理解导数的概念并会运用概念求导数
三、使用说明及学法指导：（读教材P72~ P78，找出疑惑之处）完成下列问题：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率：吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2：高台跳水，求平均速度
如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.
平均变化率：2121()()f x f x f
x x x
-∆=-∆
1、设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，
即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值y
x
∆∆存在，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.
2、 物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做 .瞬时速度是平均速度
t
s ∆∆当t ∆趋近于0时的
3、导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim
lim
x x f x x f x f
x
x ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数 (2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为 ，而y ∆可以为0
(3)
x
y
∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率
(4)导数x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(000
0/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它
反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的 .
4、当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C
在点P 处的 割线的斜率是：n k =
当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k =
5函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k = 四、自学提纲
任务1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.
变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则y
x
∆∆=
任务2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]；
五、课堂讨论及展示 课堂学生活动组织： 复备批注
探究1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0
c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
探究2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，
(1)当t =2，Δt =0.01时，求
t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t
s
∆∆.
(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度
探究3 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
六、学习小结：
1.函数()f x 的平均变化率是
2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 3、利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-； 第二步：求平均变化率
0()
f x x y x x
+∆∆=
∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim
x y
f x x
∆→∆'=∆.
4函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k = 其切线方程为
七．当堂检测：
1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
3.5
6.5
8.6 11 W(kg)
2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.
3. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
4. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆-
5. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）
A ．6t +∆
B ．9
6t t
+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆
6.已知21
2
s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是___ ____
7. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是__ __
8. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t
∆→∆∆为（ ）
Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 9. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．1
10 在0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．大于0或小于0 11、.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 12、. 若0()2f x '=-，则000
1
[]()2lim
k f x k f x k
→-
-等于
13. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 2
14. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）
A ．41y x =--
B ． 47y x =--
C ．41y x =-
D ．47y x =+
15. ()f x 在0x x =可导，则000()()
lim h f x h f x h
→+-（ ）
A ．与0x 、h 都有关
B ．仅与0x 有关而与h 无关
C ．仅与h 有关而与0x 无关
D ．与0x 、h 都无关
16. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为
17. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()
lim x f x x f x x
∆→-∆-∆=
八：课外作业：
课本79页习题3.1A组1、2、3、4、5、6 B组1、2 九：课后反思：。