湖南省郴州市苏仙区八年级数学上册 第3讲 分式的运算(2)培优(新版)湘教版

第3讲分式的运算（2）
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一、知识点
1.分式的混合运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。

遇到括号时，要先算括号里面的。

2.注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。

3.整数指数幂：当是正整数时，，特别是.
4.科学记数法: 一个数可以用（其中，为整数）来表示.
二、典型例题
1、条件求值的三种技巧:条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点：都是求某个式子的值．不同点：(1)前者给出的是字母满足的条件，后者给出的是字母的值，因此前者不能直接代入计算；(2)前者中待求式子通常不需要化简，而后者则侧重于化简．
►技巧一整体法
为了把已知条件和待求的式子联系起来，我们常把a＋b，a－b，ab，a2＋b2等当作整体，因为根据题目的条件有时不能求出a，b的值，即使能求出a或b的值，也没必要求出，那样会“走弯路”或把问题复杂化．选择某个式子作为整体不是固定不变的，应视具体条件而定，只要它能把已知和未知“沟通”起来，就可把它当作整体．
【例1】已知实数x满足x＋
1
x
＝3，则x2＋
1
x2
的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【例2】已知a2＋3ab＋b2＝0(a≠0，b≠0)，则
b
a
＋
a
b
的值等于________．变式1：已知x＋y＝xy，求
1
x
＋
1
y
－(1－x)(1－y)的值．
变式2：已知x2－4x＋1＝0，求
2（x－1）
x－4
－
x＋6
x
的值．
►技巧二倒数法
ab
a＋b
的倒数是
a＋b
ab
，而
a＋b
ab
可拆成
1
a
与
1
b
的和，即
a＋b
ab
＝
1
b
＋
1
a
.这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的问题迎刃而解．
【例1】若x2－5x＋1＝0，则
x2
x4＋1
的值为________．
1 / 3
2 / 3
【例2】已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－4
3，求
xyz
xy ＋yz ＋zx 的值．
► 技巧三 转化法
利用分式的基本性质和已知条件，把异分母的加减法转化为同分母的加减法．
【例1】已知a ，b 为实数，且ab ＝2，则a a ＋1＋b
b ＋2
的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例2】若ab ＝1，则31＋a 2＋3
1＋b
2＝________．
变式：已知a ，b ，c 为实数，且abc ＝1，求a ab ＋a ＋1＋b bc ＋b ＋1＋
c
ca ＋c ＋1的值．
2、异分母分式的加减法的两种技巧
异分母分式的加减法的常规做法：先确定各分式的最简公分母，再通分，这样即可把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减．但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算，可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母分式的加减运算或整式的运算，从而达到异曲同工的效果．
► 技巧一 约分
【例1】计算x 2
－1x 2＋2x ＋1＋2
x ＋1
的结果是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例2】计算：x 2
＋9x x 2＋3x ＋x 2
－9
x 2＋6x ＋9＝________．
变式1：计算：x 2
－y 2
x ＋y －4x （x －y ）＋y
2
2x －y
.
变式2：先化简，再求值：(a 2
－4a 2－4a ＋4－12－a )÷2a 2－2a ，其中a 满足a 2
＋
3a ＋1＝0.
► 技巧二 运用分配律
含有括号的分式混合运算，通常先算括号里面的，但对有些算式运用分配律，既可以达到去括号的目的，又可以把异分母分式的加减运算转化为整式运算．
【例1】计算(
a a －2－a a ＋2)÷a 4－a
2的结果是( ) A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a
3 / 3
【例2】先化简，再求值：a 2
－1a ·(3a a －1－a
a ＋1)，其中a ＝2.
变式1．先化简，再求值：(x 2
－16x 2＋8x ＋16＋x x －4)÷1
x 2－16，其中x ＝3.
变式2：化简并求值：12a －1a －b ·(a －b 2a －a 2＋b 2
)，其中a ＝10，b ＝5.
三、强化练习
1.计算：（1） （2） 2．已知，其中是常数，求的值. 3.用科学记数法表示下列各数：
（1）976500 （2）0.0035 （3） 4.计算：（1） （2） 四、课外作业
1 .填空：（1）已知，则_______.
（2）=_____________.（结果用科学记数法表示） （3）若有意义，则_______;若，则=______. 2. 将下列各数写成小数： （1） （2） 3.计算：
（1） （2）
（3）
()()()()()()100
991
32121111--++--+--+-x x x x x x x 。

4.计算：（1） （2）； 5.已知，，，试比较与的大小；
6.化简：()()()()()()()()()
y z x z y x z y x y x z z x y x z y ---+
---+---222已知，求. 7.计算：。