高考数学压轴专题新备战高考《函数与导数》单元汇编及答案解析

【高中数学】数学《函数与导数》复习资料
一、选择题
1．已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =，且()f x 的导函数'()f x 满足'()1f x >，
则不等式()()ln ln f x ex <的解集为（ ） A ．()0,1 B ．()1,e
C ．()0,e
D ．(),e +∞
【答案】A 【解析】 【分析】
设()()g x f x x =-，由题得()g x 在R 上递增，求不等式()()ln ln f x ex <的解集，即求不等式(ln )(0)g x g <的解集，由此即可得到本题答案. 【详解】
设()()g x f x x =-，则(0)(0)01g f =-=，()()1g x f x '='-， 因为()1f x '>，所以()0g x '>，则()g x 在R 上递增，
又(ln )ln()1ln f x ex x <=+，所以(ln )ln 1f x x -<，即(ln )(0)g x g <， 所以ln 0x <，得01x <<. 故选：A 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数.
2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2
x
f x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性． 【详解】
解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=- 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，
∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；
对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-，
函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确． 对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，
图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；
对于④：()cos 2
x
f x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，
故④正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．
3．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+
C ．y x =
D ．2y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】
因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，
(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
4．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据对称性即可求出答案． 【详解】
解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．
5．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1
C ．1ln2-
D ．1ln2+
【答案】D 【解析】
由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，00000
2
ln y kx y x x =-⎧⎨
=⎩，
0002ln kx x x ∴-=，00
2
ln k x x ∴=+
，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.
6．已知2
1()cos 4
f x x x =
+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
Q ()21f cos 4x x x =
+，()()1
'sin ,'2
f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f <Q ，可排除C ，故选A.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
7．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．
13
C ．
23
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，曲线21x
y e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，
所以曲线21x
y e
-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，
令0y =，解得1x =，令y x =，解得23
x y ==
， 所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为121
1233
⨯⨯=，故选B ．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．已知()2
ln33,33ln3,ln3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据,,a b c 与中间值3和6的大小关系，即可得到本题答案. 【详解】
因为3
23e e <<，所以31ln 32
<<
， 则3
ln3223336,33ln 36,(ln 3)3a b c <=<=<=+>=<， 所以c a b <<. 故选：B 【点睛】
本题主要考查利用中间值比较几个式子的大小关系，属基础题.
9．已知函数()2
814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，
(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．-2
D ．-1
【答案】C 【解析】 【分析】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为
()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.
【详解】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()
21f x
-＃-，
此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.
当3a >-时，()2
2814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.
10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ） A ．()()()0.6
33log 132f f f -<-<
B ．()()()0.6
332log 13f f f -<<-
C ．()()()0.6
3
2
log 133f f f <-<- D ．()()()0.6
3
2
3log 13f f f <-<
【答案】C 【解析】 【分析】
利用指数函数和对数函数单调性可得到0.6
32log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可
得大小关系. 【详解】
()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，
0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，
()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.
故选：C . 【点睛】
本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.
11．函数()(
)2
ln 43f x x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
C ．31,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
D ．342⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
【答案】D 【解析】 【分析】
先求函数定义域，再由复合函数单调性得结论． 【详解】
由2430x x +->得14x -<<，即函数定义域是(1,4)-，
2232543()24
u x x x =+-=--+在3(1,]2-上递增，在3
[,4)2上递减，
而ln y u =是增函数，
∴()f x 的减区间是3[,4)2
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调性，解题时先求出函数的定义域，函数的单调区间应在定义域内考虑．
12．已知函数()210
0ax x f x lnx x ⎧+≤=⎨⎩
，，＞，，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判
断，正确的是（ ）
A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个
B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个
C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个
D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个 【答案】B 【解析】 【分析】
分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数． 【详解】
令()t f x =，则()0f t m +=，
当0a =时， 若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =，
即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；
当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；
当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.
13．已知函数()2
943,0
2log 9,0
x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ）
A ．73,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()1,0-
C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()4,5
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令
()()0f f x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93x f x x =+-=，利用
零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.
【详解】
当0x ≤时，()34f x <≤.
当0x ≥时，()2
932log 92log 9x
x
x f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3
x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0f
f x =，得()32
log 93x
f x x =+-=，因为()303f =<，
3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫
=->⨯+-=> ⎪⎝⎭
，
所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
14．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛
⎫=++<< ⎪+++-⎝
⎭的最小值为
（ ） A
．
13
+ B
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=
+=⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛
⎫=
+<< ⎪⎝
⎭， 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 令()cos 0,1t x =∈，()3
2
61g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 所以当03
x π
<<时，
()1
1,02
t g t <<<，从而()'0f x <； 当
3
2
x π
π
<<
时，()1
0,02
t g t <<
>，从而()'0f x >.
故()min 3f x f π⎛⎫==
⎪⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
15．()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有3()()2f x f x +=-，则9()2
f -的值为（ ） A ．0 B ．3
C ．
32
D ．92
-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先确定函数的周期，然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解92f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值即可. 【详解】
函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈总有()32
f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭
，则函数的周
期3T =，
据此可知：()993360002222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-+==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭. 本题选择A 选项. 【点睛】
本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．若函数()()sin x
f x e x a =+在区间,22ππ
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（）
A ．)
+∞ B ．[
)1,+∞ C ．()1,+∞
D ．()
+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化
04x a π⎛⎫
+
+≥ ⎪⎝
⎭
在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得
(
14x a a a π⎛
⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭
，则只需10a -+?即可，解不等式求得结果. 【详解】
由题意得：()()sin cos 4x x x f x e x a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭ ()f x Q 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
上单调递增 ()0f x '∴≥在,22
ππ
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
上恒成立
又0x e > 04x a π⎛
⎫
+
+≥ ⎪⎝
⎭
在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭上恒成立
当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ sin ,142x π⎛⎤⎛
⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦ (
14x a a a π⎛
⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝
⎭ 10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.
17．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b
+-的最小值等于（ ）．
A B ．C ．2
D ．【答案】D 【解析】
试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1
a b
=
，即1ab =，0a b >>
22a b
a b
+-22()2()2
2()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+
---≥=
当且仅当2
a b a b
-=
-，即a b -=时等号成立
所以22
a b a b +-的最下值为故答案选D
考点：基本不等式．
18．如图，对应此函数图象的函数可能是( )
A ．21(1)2x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
B ．22(1)x y x =-
C ．ln y x =
D ．1x y xe =-
【答案】B
【解析】
【分析】 观察图象，从函数的定义域，零点，以及零点个数，特征函数值判断，排除选项，得到正确答案.
【详解】
由图象可知当0x =时，1y =-，C 不满足；
当1x =时，0y =，D 不满足条件；
A.由函数性质可知当2x =-时，()2141122y -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭
，显然A 不成立； 而B 都成立.
故选：B
【点睛】
本题考查根据函数图象，判断函数的解析式，重点考查函数性质的判断，包含函数的定义域，函数零点，零点个数，单调性，特殊值，等信息排除选项，本题属于中档题型.
19．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立，
()20f -=，则()36f x x <+ 解集为（ ）
A ．(),2-∞-
B ．()2,2-
C ．(),2-∞
D ．()2,-+∞
【答案】D
【解析】
【分析】
设()()36g x f x x =--，求导后可得()g x 在R 上单调递减，再结合()20g -=即可得解.
【详解】
设()()36g x f x x =--，
Q ()3f x '<，∴()()30g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减， 又()()22660g f -=-+-=，不等式()36f x x <+即()0g x <， ∴2x >-，∴不等式()36f x x <+的解集为()2,-+∞. 故选：D.
【点睛】
本题考查了导数的应用，关键是由题意构造出新函数，属于中档题.
20．曲线3πcos 02y x x ⎛⎫=≤≤
⎪⎝⎭与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（ ） A ．4
B ．2
C ．52
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】 试题分析：()332222(0cos )sin 2S x dx x π
πππ
=-=-=⎰，选B.
考点：定积分的几何意义。