2022-2023学年山东省济南市长清区长清高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省济南市长清区长清高一上学期期末数学试题
一、单选题1．已知全集，，则（ ）
{}1,2,3,4,5U ={}1,3A =U
A = A ．
B ．
C ．
D ．
∅{}
1,3{}
2,4,5{}
1,2,3,4,5【答案】C
【分析】根据补集的定义可得结果.【详解】因为全集
，，所以根据补集的定义得，故选C.
{}1,2,3,4,5U ={}1,3A ={}2,4,5U A = 【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．
2．函数的定义域为ln(1)y x =-A ．B ．C ．D ．(,0)-∞(,1)
-∞(0,)
+∞(1,)
+∞【答案】B
【详解】由
，得
选B
3．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是　( )A ．B ．C ．-D ．-π
3
π6
π3
π6
【答案】B
【分析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为．
6π
【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转弧度.π
6故选B.
【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题．4．下列函数是在为减函数的是（ ）(0,1)A ．B ．C ．D ．
lg y x =2
x
y =cos y x
=121
=
-y x 【答案】C
【分析】根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项．【详解】对数函数，底数大于1时，在上增函数，不满足题意；
0x >
指数函数，底数大于1时，在上增函数，不满足题意；0x >余弦函数，从最高点往下走，即上为减函数；
[0,]x π∈反比例型函数，在与上分别为减函数，不满足题意；1
(,2-∞1(,)
2+∞故选C.
【点睛】考查余弦函数，指数函数，正弦函数，以及正切函数的单调性，熟悉基本函数的图象性质是关键．
5．方程的解所在区间是（ ）．3log 280x x +-=A ．B ．C ．D ．(1,2)(2,3)
(3,4)
(5,6)
【答案】C
【分析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案.【详解】∵,
3()log 82f x x x =-+∴,,，,
3(1)log 18260f =-+=-<3(2)log 2840f =-+<3(3)log 38610f =-+=-<3(4)log 40f =>∴,33(5)log 520,(6)log 640f f =+>=+>(3)(4)0f f ⋅<∵函数的图象是连续的,3()log 82f x x x =-+∴函数的零点所在的区间是.()f x (3,4)故选C
【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力.
6．若点在角的终边上，则（ ）2cos ,2sin 66P ππ⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭αsin α=A ．B ．C
D ．
1
2
1
2
-【答案】B
【解析】根据任意角的三角函数的定义及特殊角的三角函数值计算可得.
【详解】解：
2cos ,2sin 66P ππ
⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
1
212sin 22
α-⨯∴=
=
==-故选：B
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.
7．已知，则等于
3
sin()35x π-=
7cos()6x π+A ．B ．C ．
D ．3
545
35
-
45
-
【答案】C
【分析】由诱导公式化简后即可求值．
【详解】＝-sin[]＝7πcos x 6⎛
⎫+ ⎪⎝⎭π cos x 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭26x ππ⎛⎫-+ ⎪
⎝
⎭π3sin x 35⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选C ．
【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．8．四个函数：①；②；③
；④的图象(部分)如下，但顺
sin y x x =cos y x x =cos y x x
=2x
y x =⋅序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A ．④①②③
B ．①④②③
C ．③④②①
D ．①④③②
【答案】B
【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；sin y x x =⋅y ②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，
cos y x x =⋅0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭在上的值为负数，故第三个图象满足；
,2ππ⎛⎫
⎪
⎝⎭③
为奇函数，当时，，故第四个图象满足；
cos y x x
=⋅0x >()0f x ≥④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，
2x
y x =⋅故选：B ．
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
二、多选题
9．下列命题是真命题的是（ ）
A ．若幂函数过点，则()a
f x x =1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭12α=-B ．，(0,1)x ∃∈121lo
g 2x
x
⎛⎫
> ⎪⎝⎭C ．，
(0,)x ∀∈+∞112
3
log log x x
>D ．命题“，”的否定是“，”x ∃∈R sin cos 1x x +<x ∀∈R sin cos 1x x +≥【答案】BD
【解析】根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断.
A BC D 【详解】解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误；
A ()a
f x x =1,42⎛⎫
⎪⎝⎭142a
æöç÷=ç÷èø2α=-A 对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示
B 12x
y ⎛⎫= ⎪
⎝⎭12log y x
=由图可知，，故正确；
(0,1)x ∃∈121log 2x
x
⎛⎫
> ⎪⎝⎭B 对于：在同一平面直角坐标系上画出
与
两函数图象，如图所示
C 13
log y x
=12
log y x =
由图可知，当时，，当时，
，当时，
，
(0,1)x ∈112
3
log log x x
>1x =112
3
log log x x
=(1,)x ∈+∞112
3
log log x x
<故错误；
C 对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，
D x ∃∈R sin cos 1x x +<x ∀∈R ”，故正确；
sin cos 1x x +≥D 故选：BD
【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.10．已知
，
，则下列结论正确的是（ ）()
0,πθ∈1
sin cos 5θθ+=
A ．
B ．
C ．
D ．
π,π2
θ⎛⎫∈ ⎪
⎝
⎭
3cos 5
θ=-
3tan 4
θ=-
7sin cos 5
θθ-=
【答案】ABD
【分析】由题意得
，可得
，根据的范围，可()
2
1
sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=
242sin cos 25θθ=-
θ得，的正负，即可判断A 的正误；求得的值，即可判断D 的正误，联立可求sin θcos θsin cos θθ-得，的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答sin θcos θ案.
【详解】因为，
1
sin cos 5θθ+=
所以，则
，()
2
1
sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=
242sin cos 25θθ=-
因为
，所以，，
()
0,πθ∈sin 0θ>cos 0θ<所以
，故A 正确；
π,2
θπ⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭
所以，
()
2
49sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=
所以
，故D 正确；
7
sin cos 5θθ-=
联立，可得，，故B 正确；1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧
+=⎪⎪⎨
⎪-=⎪
⎩4sin 5θ=
3cos 5θ=-所以，故C 错误.sin 4
tan cos 3θθθ==-
故选：ABD.
11．若，则下列不等式成立的是（ ）
0a b >>A ．B ．
C ．
D ．
11
a b <11b b a a +>+11
a b b a
+
>+11
a b a b
+
>+【答案】AC
【分析】根据不等式的性质判断A ，C ；利用作差法比较大小判断B ，D.
【详解】解：对于A ，因为，所以，故A 正确；
0a b >>11
a b <对于B ，
，由于，所以，
()()()()
111111b a a b b b b a a a a a a a +-++--==+++0a b >>()0,10
b a a a -+则，即
，故B 错误；1
1b b a a +-<+11b b a a +<+对于C ，因为，所以，所以
，故C 正确；0a b >>11
b a >
11a b b a +>+对于D ，，由于，则()()()11111b a ab a b a b a b a b a b a b ab ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-+=-+-=-+
=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭0a b >>，但与的大小不确定，故D 错误.
0,0a b ab ->>ab 1故选：AC.
12．已知函数
，下列四个结论确的是（ ）()sin cos
22f x x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭A ．函数是周期函数；
()f x B ．函数的图象关于点成中心对称；()f x (,0)πC ．函数的图象关于直线成轴对称；()f x 2x π=-D ．函数在区间上单调递增．
()f x 3,2π
π⎛⎫
⎪
⎝
⎭【答案】ABC
【分析】利用诱导公式化简函数，借助周期函数的定义判断A ；利用函数图象对称的意义判断()f x B 、C ；取特值判断D 作答.
【详解】依题意，
，因，是周
()cos cos
2f x x x =4(4)cos(4)cos cos cos ()
22x x
f x x x f x πππ++=+==()f x 期函数，是它的一个周期，A 正确；4π因
，，
()cos()cos
cos sin 22πx x f πx πx x +=+=+()cos()cos 2f πx πx πx =---cos sin 2x
x =-即，因此的图象关于点成对称中心，B 正确；
()()f x f x ππ+=--()f x (,0)π因
，
(2)cos(2)cos
cos cos 222πx
f πx πx x x -+=-+=--+，
(2)cos(2)cos
cos cos 222πx f πx πx x x --=--=---即，因此的图象关于直线成轴对称，C 正确；
(2)(2)f πx f πx -+=--()f x 2x π=-因，，，
()cos cos
2f π
ππ==4421(
)cos cos 3334f πππ==333()cos cos 0
224f πππ==显然有，而，因此函数在区间上不单调递增，D 不正
4332πππ<<34()(()
23f f f πππ=<()f x 3(,)2ππ确，
所以，所有正确命题是ABC.故选：ABC.
三、填空题
13．已知幂函数过点，若，则________．()a
f x x =(28)，
0()5f x =-0x =
【答案】1
3
5
-【分析】先由已知条件求出的值，再由
可求出的值
α0()5f x =-0x 【详解】因为幂函数过点，()a
f x x =(28)，
所以，得，28α
=3α=所以，
3
()f x x =
因为，所以
，得0()5f x =-3
05x =-0x =
故答案为：14．已知某扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为________.
33π
2【答案】π
【分析】根据扇形面积公式可求得答案.
【详解】设该扇形的弧长为,由扇形的面积,可得,解得.
l 12S lr =3π13
22l =⨯πl =故答案为.
π【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.
15．若两个正实数x ，
y
恒成立，则实数m
的取值1
=
26
m m >-范围是____________．【答案】28
m -<<的最小值，进而求解即可
.
2
616m m
-<【详解】由于，所以
,
0,
0x y >
>
88
=+≥+
取等号，故，解得，
64,4
x y ⇒==2616m m -<28m -<<故答案为：28
m -<<16．已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范ln ,0
()e 1,0x
x x f x x >⎧=⎨+≤⎩()()g x f x m =-m 围是___________.【答案】12
m <≤【分析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点()y f x =()g x y m =()y f x =问题解决.
【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，
()0g x =()f x m =()g x y m =()y f x =当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函
0x ≤
()e 1x
f x =+0x >()ln f x x =数，函数值为一切实数，
在坐标平面内作出函数的图象，如图，
()y f x =
观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，12m <≤y m =()y f x =()g x 所以实数的取值范围是：.m 12m <≤故答案为：12
m <≤四、解答题
17．计算：（1）
；
7log 23log lg 252lg 27+-（2）已知
，求．()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭sin 4cos 5sin 2cos αααα-+【答案】（1）；（2）3216
-
【解析】（1）根据对数的运算法则和对数恒等式，即可求解；
（2）根据诱导公式，由已知可得，代入所求式子，即可求解.
sin 2cos αα=【详解】（1）原式
；3
2
3log 32(lg 2l 33
2222g 5)2==++-=
+-（2）∵，∴，()3sin 3sin 2sin 2cos 2ππαααα
⎛⎫
+=-=+=- ⎪⎝⎭sin 2cos αα=故．sin 4cos 2cos 4cos 1
5sin 2cos 10cos 2cos 6αααααααα
--==-
++【点睛】本题考查对数计算，考查诱导公式，以及三角求值，属于基础题.
18．已知，二次函数的图象经过点，且的解集为.
,,a b c ∈R 2
()f x ax bx c =++(0,1)()0f x >11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求实数a ，b 的值；
（2）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.()7f x kx =+(0,2)【答案】（1），（2）6a =-1b =(14,11)
--【解析】（1）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系计算可得.
（2）由（1）知，得方程等价于方程
，令2()61f x x x =-++()7f x kx =+2
6(1)60x k x +-+=，即的两个零点满足分析可得.2()6(1)6g x x k x =+-+()g x 12,(0,2)x x ∈【详解】解：（1）因为的图象经过点，所以，
()f x (0,1)1c =所以，
2
()1f x ax bx =++的解集为，
2()10f x ax bx =++>11,32⎛⎫- ⎪
⎝⎭
所以，且，
11()0
32f x a x x ⎛
⎫⎛⎫=+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a<0且，得
，1c =2
()61f x x x =-++故，6a =-1
b =（2）由，
2
()61f x x x =-++得方程等价于方程，
()7f x kx =+2
6(1)60x k x +-+=令
，即的两个零点满足，2
()6(1)6g x x k x =+-+()g x 12,(0,2)x x ∈所以必有，
(0)0
(2)0102120g g k >⎧⎪>⎪⎪
⎨-<<⎪⎪
∆>⎪⎩即
，解得，
14231
1311k k k k >-⎧⎪
-<<⎨⎪><-⎩
或1411k -<<-所以实数k 的取值范围是(14,11)
--【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数以及一元二次不等式的关系，二次函数的零点问题，属于中档题.
19．已知
，，
，
02π
α<<
2
π
β-
<<1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 4
2πβ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭(1)求
的值；cos 2βα⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭(2)求的值；
sin β【答案】(2)13-
【分析】（1）通过条件中的范围得出
与的范围，即可根据条件得出与4π
α+
42βπ-
sin 4
πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再将
利用三角恒等变换展开代入值求解即sin 42πβ⎛⎫- ⎪
⎝⎭cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可；
（2）令
再根据三角恒等变换化简即可代入值即可求解.sin sin 2242ππββ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【详解】（1），02π
α<< ，
3444ππ
π
α∴<+<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
sin 4πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，
02π
β-<< ，
4422π
π
β
π
∴<-<
cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，
sin 42πβ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭cos cos 24
42βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
cos cos sin sin 442442ββααππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
13==（2）
21sin sin 2cos 22cos 124242423ππβπβπββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
20．已知函数()2sin cos x x x f x =（1）求的最小正周期；
()f x （2）当时，求函数的值域.
36x ππ
-≤≤()y f x =
【答案】（1）；（2）T π=0,1⎡⎢⎣
【解析】（1）利用二倍角的正弦公式可把
化为的形式，由周期公式可求.()f x ()()sin f x A x =+ωϕ（2）由求出的取值范围，再利用三角函数的性质即可求解.
36x ππ
-≤≤x ωϕ+
【详解】（1）
(
)
)21sin cos sin 21cos 22x x x x x f x =-+=
，1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭函数的最小正周期为
.∴()y f x =22T ππ==（2）由，则，3
6x ππ-≤≤22333x πππ-≤+≤所以，所以
sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭(
)01f x ≤≤+所以函数的值域为.()y f x =0,1⎡⎢⎣
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、三角函数的周期以及三角函数的值域，属于基础题.
21．为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y
与x 成正比，
药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为
（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列
116x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭问题：(1)写出从药物释放开始，y 与x 的之间的函数关系；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．
【答案】(1)
0.1
10,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)0.6
【分析】（1）利用函数图象经过点，分段讨论即可得出结论；
()0.1,1（2）利用指数函数的单调性解不等式．
0.110.25
16a -⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】（1）解：依题意，当时，可设，且，00.1x ≤≤y kx =10.1k =解得10
k =又由，解得，
0.11116a -⎛⎫= ⎪⎝⎭0.1a =所以；
0.1
10,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）解：令，即，
0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭20.211
44a -⎛⎫< ⎪⎝⎭得，解得，
20.21a ->0.6x >即至少需要经过后，学生才能回到教室．
0.6h 22．已知函数
．()21log 1x f x x -=+(1)若，求a 的值；
()1f a =(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；()
f x (3)若对于恒成立，求实数m 的范围．
()f x m ≥[)3,x ∈+∞【答案】(1)3
-(2)奇函数，证明见解析
(3)(]
,1-∞-【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解；
x a =21log 11a a -=+（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算
的数量关系，由此完成证明；()(),f x f x -（3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解.
()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦()f x [)3,+∞【详解】（1），，即，解得，
()1f a = 21log 11a a -∴=+121a a -=+3a =-所以a 的值为3
-（2）为奇函数，证明如下：
()f x
由，解得：或，所以定义域为关于原点对称，10110x x x -⎧>⎪+⎨⎪+≠⎩1x >1x <-()(),11,-∞-⋃+∞又，
()()122221111log log log log 1111x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪-+-++⎝⎭所以为奇函数；
()f x （3）因为，
()2221122log log log 1111x x f x x x x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，2log y u =2
11y x =-+[)3,+∞由复合函数的单调性知函数
在上为增函数，()f x [)3,+∞所以，
()()22min 3113log log 1312f x f -====-+又对于恒成立，所以
，所以，()f x m ≥[)3,x ∈+∞()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦1m ≤-所以实数的范围是m (],1-∞-。