2018版高考数学人教A版理科一轮复习课件：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11-6 精品

V三棱锥A－A1BD P(M)＝ ＝ V长方体ABCD－A1B1C1D1 V三棱锥A1－ABD V长方体ABCD－A1B1C1D1 1 1 1 AA1· S△ABD AA1·S矩形ABCD 3 3 2 1 ＝ ＝ ＝6. V长方体ABCD－A1B1C1D1 AA1· S矩形ABCD
[点石成金]
与体积有关的几何概型求法的关键点
必考部分

第十一章 分布
计数原理、概率、随机变量及其
§11.6 几何概型
考纲展示► 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义．
考点 1
与长度(角度)有关 的几何概型
1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积 或体积 )成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几 何概型． 2．几何概型的两个基本特点
1 1 1 3 ≤log 2，即2≤x＋2≤2，解得 0≤x≤2， 3 －0 2 3 故由几何概型的概率公式，得 P＝ ＝ . 2－0 4
(2)[2017· 河北衡水一模]在长为 12 cm 的线段 AB 上任取 一点 C，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长， 则该矩形的面积大于 20 cm2 的概率为( C 1 A.6 1 B.3 2 C.3 4 D.5 )
考点 2
与体积有关的几何概型
[ 典 题 2]
[2017· 山 东 济 南 一 模 ] 如 图 ， 长 方 体 ABCD －
A1B1C1D1 中， 有一动点在此长方体内随机运动， 则此动点在三棱 1 锥 A－A1BD 内的概率为________ ． 6
[解析]
设事件 M＝“动点在三棱锥 A－A1BD 内”，
[解析]
如题图， 因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的，
60 1 所以 OA 落在∠yOT 内的概率为 ＝ . 360 6
[点石成金]
1.与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示， 可直接用概率的计算公式求解． 2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以 角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代 替，这是两种不同的度量手段．
[ 典题 1] “－1≤log1 2 3 A.4 2 B.3
(1)在区间[0,2] 上随机地取一个数 x，则事件
1 x＋ ≤1”发生的概率为( 2
A
)
1 C.3
1 D.4
[解析]
1 2
1 1 不等式－1≤log1 x＋ ≤1 可化为 log1 2≤log1 x＋2 2 2 2 2
VS－APC 1 解析：由题意可知， > ， VS－ABC 3 三棱锥 S－ABC 的高与三棱锥 S－APC 的高相同． 作 PM⊥AC 于 M，BN⊥AC 于 N， 则 PM，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，
VS－APC S△APC PM 1 所以 ＝ ＝ BN >3， VS－ABC S△ABC PM AP AP 1 又 ＝ ，所以 > ， BN AB AB 3 2 故所求的概率为 (即为长度之比)． 3
有无限多个 ； (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果_____________ 等可能性 (2)等可能性：每个试验结果的发生具有______________ ．
3．几何概型的概率计算公式 构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 [提醒] 求解几何概型问题注意数形结合思想的应用．
解析：①在区间[－5,5]内有无限多个数，取到 1 这个数的概 率为 0，故是几何概型； ②在区间[－5,5]和[－1,1]内有无限多个数(无限性)，且在这 两个区间内每个数被取到的可能性都相同 (等可能性)，故是几何 概型； ③在区间[－5,5]内的整数只有 11 个，不满足无限性，故不 是几何概型； ④在边长为 5 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多 个点(无限性)，且点 P 落在这两个区域内的任何位置的可能性都 相同(等可能性)，故是几何概型．
[解析]
设|AC|＝x，则|BC|＝12－x，
所以 x(12－x)>20，解得 2<x<10， 10－2 2 故所求概率 P＝ 12 ＝3.
(3)如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 30° 角的终边 上，任作一条射线 OA ，则射线 OA 落在∠ yOT 内的概率为 1 ________ ． 6
对于与体积有关的几何概型问题， 关键是计算问题的总体积 (总空间)以及事件的体积 (事件空间)，对于某些较复杂的也可利 用其对立事件去求.
1.在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 内随机取一点 P，则 π 1－12 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________ ． 解析：正方体的体积为 2×2×2＝8，
[教材习题改编]在区间[－3,5]上随机取一个数 x，则 x∈[1,3] 1 的概率为__________ ． 4
解析：记“x∈[1,3]”为事件 A，则由几何概型的概率计算 3－1 1 公式可得 P(A)＝ ＝4. 5＋3
几何概型的特点：等可能性；无限性． 给出下列概率模型： ①在区间[－5,5]上任取一个数，求取到 1 的概率； ②在区间[－5,5]上任取一个数， 求取到绝对值不大于 1 的数 的概率； ③在区间[－5,5]上任取一个整数， 求取到大于 1 的数的概率； ④向一个边长为 5 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 与正方形 ABCD 的中心的距离不超过 1 cm 的概率． ①②④ 其中，是几何概型的有__________．(填序号)
以 O 为球心，1 为半径且在正方体内部的半球的体积为 1 4 3 1 4 2 3 × πr ＝ × π×1 ＝ π， 2 3 2 3 3 2 π 3 π 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1－ ＝1－ . 8 12
2．[2017· 黑龙江五校联考]在体积为 V 的三棱锥 S－ABC 的 V 棱 AB 上任取一点 P，则三棱锥 S－APC 的体积大于 3 的概率是 2 3 ________ ．