第6章平面电磁波

c
c
第六章 平面电磁波
其中：
c j 1j12cej(6-31)
称为导电媒质的波阻抗， 它是一个复数。 式(6-31)中，
c

1



2



1 4




1 arctan 0 ~
2

H j E 1(eye jk ze x3 e jk j z 4)(A /m )
E (t)RE ejte []
ex4co 2 s 1 (8t0 2 z)ey3c o2 s 18t0 2 z 3 (V/m )
H (t) RH e j t][ e
Ex(z,t)f(zv)t
由麦克斯韦方程式 ex
ey
ez
E

B
x y z t
Ex(z,t) 0
0
第六章 平面电磁波
即
ey
Ex z
H
t
2Hy z2
12H t2y
0
Hy(z,t)g(zv)t
第六章 平面电磁波 沿+z方向传播的均匀平面电磁波的电场强度和磁场强度的表达式：
2E xz(2z,t)122E xt(2z,t)0
(6-4)
此方程的通解为
E x (z ,t) f1 (zt) f2 (zt)
第六章 平面电磁波 图 6-2 向+z方向传播的波
第六章 平面电磁波
在无界媒质中，一般没有反射波存在，只有单一行进方向 的波。如果假设均匀平面电磁波沿+z方向传播，电场强度只有 Ex(z, t)分量，则波动方程式(6-4)的解为
Sav
ReS[]ez
E02m
2
第六章 平面电磁波
平均功率密度为常数，表明与传播方向垂直的所有平面上，
每单位面积通过的平均功率都相同，电磁波在传播过程中没有能
量损失(沿传播方向电磁波无衰减)。因此理想媒质中的均匀平面电 磁波是等振幅波。 电场能量密度和磁场能量密度的瞬时值为
we (t)

1 2
4
第六章 平面电磁波
导电媒质的本征阻抗是一个复数，其模小于理想介质的本征 阻抗，幅角在0~π/4之间变化，具有感性相角。这意味着电场强 度和磁场强度在空间上虽然仍互相垂直，但在时间上有相位差， 二者不再同相，电场强度相位超前磁场强度相位。这样磁场强度 可以重写为
H e yE 0e z e yE 0e ae zjz e yE 0e ae zjze j
e x4 3 c 0o 2 s 18 (t 0 2 z 3 ) e y1 1 c 0o 2 s 18 t 0 2 z(V /m )
第六章 平面电磁波
（3）复坡印廷矢量：
S1 2EH*1 2ex4ejk zey3ejkz3ex430ejkz3ey110ejkz
E0

ej(tkz)]
ey
E0m

cos(t
kz0)
eyH0mcos(t
kz0)
第六章 平面电磁波 图 6-3 理想介质中均匀平面电磁波的电场和磁场空间分布
第六章 平面电磁波
正弦均匀平面电磁波的等相位面方程为
tkzcon（ .st常数）
p

dz
dt k

1

H E j E H j H H 0 E 0
(6-22a)
第六章 平面电磁波
式(6-22a)可以写为
Hjj EjcE
其中：
c j1j
波动方程：
2E 2E 0
从而有
2 2 2
2
第六章 平面电磁波
由以上两方程解得


2
1



2


1



2
1



2


1

H j E eyE 0ejzeyE 0e ae z jz
总电磁能量的一半。电磁能量的时间平均值为
wav,e

14E02m, wa v,m

1 4
H02m,
wav wav,e wav,m 12E02m
均匀平面电磁波的能量传播速度为
vew SaavvE E 02m 02m /2 / 2 1 vp
第六章 平面电磁波
6.1.3 向任意方向传播的均匀平面波
E(z,t)0
Ex(z,t)Ey(z,t)Ez(z,t) 0
x
y
z
从而Ez(z, t)=c(t)。如果t=0时，电磁场为零，那么c(t)=0，从 而Ez(z, t)=0。
第六章 平面电磁波 综上可见，
EexE x(z,t)eyE y(z,t)
H exH x(z,t)eyH y(z,t)
第六章 平面电磁波
H

j(E0e
jkz)

j (e

jkzE0
e
jkz
E0)

j

e
j（ kz
jk）ez
E0
j（

jk）ez E0ejkz

k
ez

E
( E 0 e j) k e z j k E 0 z e j k E 0 z ( j ) e z k E 0 e jk 0
空间相位kz变化2π所经过的距离称为波长，以λ表示。按此
定义有kλ=2π，所以
2
k
k 2
第六章 平面电磁波
时间相位ωt变化2π所经历的时间称为周期，以T表示。而一 秒内相位变化2π的次数称为频率，以f表示。 由ωT=2π得
f 1 T 2
复坡印廷矢量为
p f
S1 2EH *1 2exE 0ejk zE 0 *ejk zezE 2 0 2 m
E(z,t)exEx(z,t)exf(zv)t H(z,t)eyEy(z,t)eyg(zv)t
d2dExz2(z)k2Ex(z)0
E x(z)E 0 ejk zE 0 ejkz
第六章 平面电磁波
将上式代入麦克斯韦方程▽×E=-jωμH，得到均匀平面波的 磁场强度：
ex
ey
H j E j


x y
Ex(z,t) 0
ez
z
jey
Ex z
0
第六章 平面电磁波
H
j

e y [(

jk
)
E
0
e

jkz

(
jk
)
E
0
e

jkz
]
j

ey(
jk
)(
E
0
e

jkz

E
0
e

jkz
)

e
y
1

(
E
0
e

jkz

E
0
6.1.1 无耗媒质中齐次波动方程的均匀平面波解
2E

1 v2
2E t2

0
式中 1/
2H

1 v2
2H t2
0
第六章 平面电磁波 图 6-1 均匀平面电磁波的传播
第六章 平面电磁波
E0,E0,H0,H0 x y x y
因此，电场强度E和磁场强度H只是直角坐标z和时间t的函数。 由于空间无外加场源，所以▽·E=0。
其中γ2=ω2μεc。
2H 2H 0
第六章 平面电磁波
直角坐标系中，对于沿+z方向传播的均匀平面电磁波，如 果假定电场强度只有x分量Ex，那么式(6-25)的一个解为
EexE0ejz
令γ=β-jα，则E=exE0e-j (β-jα)z=exE0e-αze-jβz。显然电场强度的复振幅 以因子e-αz随z的增大而减小，表明α是说明每单位距离衰减程度 的常数，称为电磁波的衰减常数。β表示每单位距离落后的相位， 称为相位常数。γ=β-jα称为传播常数。因此电场强度的瞬时值可 以表示为
EE 0ejkr,HkekE ,ekE 00
第六章 平面电磁波 例6-1 已知无界理想媒质(ε=9ε0, μ=μ0，σ=0)中正弦均匀平面 电磁波的频率f=108 Hz， 电场强度
Eex3ejk zey3ejkjz3V/m
试求： (1) 均匀平面电磁波的相速度vp、波长λ、相移常数k和波阻抗η； (2) 电场强度和磁场强度的瞬时值表达式； (3) 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。
ez E0
第六章 平面电磁波
把它们写在一起就是
EE 0ejk,H z ke zE,ezE0
如果开始时我们选择直角坐标系ox′y′z′，那么，正弦均匀 平面电磁波的复场量可以表示为
EE 0ejk',zHkez ' E,ez ' E0(6-21)
r e x x e y y e z z ,e z ' e x ca o e y c so e zc s o
第六章 平面电磁波
解： (1)
vp
1
c 3 10 8 10 8 m / s
r r
9
v p 1m f
k 2 rad / m vp
u r 120 1 40

0 r
9
第六章 平面电磁波 (2)
在直角坐标系oxyz中，我们仍然假设无界媒质中，均匀平面 波沿+z方向传播，电场强度只有x方向的坐标分量Ex(z)，那么正 弦均匀平面电磁波的复场量还可以表示为
EexE0ejk zE0ejkz
利 用 矢 量 恒 等 式 ▽ ×(ΨA)=Ψ▽×A+▽Ψ×A 和 ▽ ·(ΨA)=Ψ ▽·A+ ▽Ψ·A，将上式代入麦克斯韦方程▽×E=-jωμH和▽ ·E=0， 可以得到
e

jkz
)
式中：

e
y
(
E
0
e

jkz

H
0
e

jkz
)
H E00
H E00

k


第六章 平面电磁波
η具有阻抗的量纲，单位为欧姆(Ω)，它的值与媒质参数有关， 因此它被称为媒质的波阻抗(或本征阻抗)。 真空中的介电常数 和磁导率为
03 16 1 9 0 F /m , 04 1 7 0 H /m
第六章 平面电磁波 图 6-4 向k方向传播的均匀平面电磁波
第六章 平面电磁波 式中cosα、cosβ、cosγ是e′z在直角坐标系oxyz中的方向余弦。 这样式(6-21)中的相位因子为
k'zkz'er(excoa seyco sezco)k sr
krkxxkyykzz
ez156W/m 2
坡印延矢量的时间平均值：
SavRS e][ez156W/m2
与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率：
Pav
S
Sa
dS 5 W
导电媒质中的平面电磁波
6.2.1 导电媒质中平面电磁波的传播特性
无源、无界的导电媒质中麦克斯韦方程组为
E (z ,t) e x E m e ac z o t s z (0 )
第六章 平面电磁波
其中Em、φ0分别表示电场强度的振幅值和初相角，即
E0 Emej0
因为
2 2c
所以
(ja)22j
故有 2a2j2a2 j
D
E

1 E2
2

1 2
E02m
cos2 (t

kz 0)
wm (t)

1 2
H
2 (t )

1 2
H
2 0m
c os2 (t

kz
0 )

1 2


E02m
/
cos2(t

kz
0)
we (t)
第六章 平面电磁波
可见，任一时刻电场能量密度和磁场能量密度相等，各为
0
0 12037 7 0
第六章 平面电磁波
6.1.2 均匀平面波的传播特性
EexExexE0ejk z
HexHyeyE0ejk zeyH0ejk z
E(z,t) Ree[xE0ej(tkz)]exE0mcos(t kz0)
H(z,t)Ree[y
第六章 平面电磁波
第六章 平面电磁波
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 均匀平面电磁波的全透射和全反射
第六章 平面电磁波
6.1 无耗媒质中的平面电磁波
无耗媒质意味着描述媒质电磁特性的电磁参数满足如下条 件：σ=0, ε、μ为实常数。无源意味着无外加场源，即ρ=0， J=0。