粘弹性损伤混凝土介质中波的传播
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I 3 * ( I)
为
的情况下损伤度与 G 之间的关系 ( 如图 2 ), 并可用 数学公式描述为 D = ( G - G0 ) /k
表 1 E k G0 0. 00004 21052. 6 110526
I 分区中的 局部坐标 , JI 表示第 I 区波数, c 表示第 I 区中的 波传播速度。 因波为 沿 X 1 方 向 传 播 的 横 波, 则 c3 (G 0 - j XG0 ) /Q , c
[ 7]
基金项目 : 湖南省自然科学基金资助项目 ( 03JJY 3008 ), 教育部科学技术研究重点资助项目 ( 104137 ) 来稿日期 : 2004-06-07 修回日期 : 2005-07 -11 第一作者简介 : 罗松南 , 男 , 1956年生 , 博士 , 湖南大学教授 ; 研究方向: 弹塑性动力学及其应用 1
(L , 分别表示波在三个方向上的传播 0 - j XG ) / Q 速度。 在已知入射波的情况下, 利用边界条件和连续 性条件 , 则可求出振幅 P I , 从而求得 UI 。 21 2 双参数损伤理论 对于弹性介质可通过弹性模量定义损伤度, 弹 [ 8] 性模量与损伤度之间的关系为 D = 1 - E /E 0 或 E = E0 (1- D ) ( 8) 考虑一维粘弹性问题 , K e lven -Vo ig t模型的本 [ 9] 构关系又可表示为 R = E E+ G E ( 9) 其中, D 为损伤度, E 0 为初始弹性模量 , E 为损伤后 的弹性模量 , G 为损伤后的粘性系数, E为应变率。 为建立损伤与混凝土材料的粘性之间的关系 , 利用水泥浆体单轴压缩实验揭示的混 凝土应力 应变关 系 与 应 变 率 的关 系 曲 线 (如图 1 , E= 76 ( 1 / s), 结合式 ( 8 ) 和式 ( 9 ), 得到了在 E和 E不同
(n)
( 3) ( 4)
图 1 巢湖 525号水泥沙浆高 图 2 巢湖 525 号水 泥沙 浆损 应变率时的应力 ) 应变关系 伤度 D 与粘性系数 n的关系
( 0) = U
( n- 1)
( N)
其中, N 为第 n - 1( n = 1 , 2 , 3 , , ) 个区域的长度, T 为应力 , U 为位移。 对于给定频率为 X 的平面谐波 , [ 3] 方程 ( 2) 式的基本解为 U
(2) 3 ( 1) ( 3)
=
或
G = kD + G0
0. 0002 105263 289474
( 10)
=
(G - j XG) /Q , 其中 G 0 和
不同 E下的 k 和 G 0 值 0 . 0001 52631. 6 210526 0. 0004 210526 394737
G 称为损伤前后的剪切弹性模量, 且 G = E /2 ( 1 + v) = E 0 ( 1 - D ) / 2( 1 + v), v 为泊松比。 可知波速为复 数, 为得到实的波速 , 令 s
*
童
410082 )
桦
( 湖南大学
摘要: 混凝土的损伤会引起弹性和粘性性质的改变 , 利用弹性和粘性的双参数来描述损伤 , 建立双 参数损伤理论。 根据不同的损伤程度对混凝土介质进行分区处理 , 建立基本方程式, 考虑连续性条 件和边界条件, 求解波动方程。 比较是否考虑粘性时的波幅和波传播时间与损伤的关系, 表明粘性 是损伤混凝土介质中波传播所必须要考虑的问题 。分析了粘弹性混凝土介质中损伤区域长度、 损 伤度等对波传播的影响, 给出了它们的关系曲线, 可为波的反分析提供依据 。 关键词 : 粘弹性混凝土 ; 双参数损伤理论; 波传播 中图分类号 : O3741 4 文献标识码 : A
在已知入射波的情况下利用边界条件和连续性条件则可求出振幅p12双参数损伤理论对于弹性介质可通过弹性模量定义损伤度弹性模量与损伤度之间的关系为d1ee0或ee01d考虑一维粘弹性问题kelvenvoigt模型的本构关系又可表示为reege9其中d为损伤度e0为初始弹性模量e为损伤后的弹性模量g为损伤后的粘性系数e为应变率
658
I 5u K (n) 5 u = Q 2 5X J 5 XL 5t = K D 为密度。 IJ D K L + LD IK D LJ , Q
应
2 ( n) 2 ( n)
用
力
学
学
报
第 22 卷
C IJKL
( n)
( 2)
其中 C IJK L
对于损伤混凝土介质可根据不同的损伤程度将 结构分为 n 个区域, 区间连续性条件为 (n) ( n- 1) T ( 0) = T ( N) U
(1) ( 11)
图 4
首波峰值与损伤度之间的关系
= 0 , = R , = R
( 1) ( 1) ( 1) 31 3 31 3
( t < t1 ); ( t1 [ t < t2 ); +R ,
( 2) ( 2) ( 2) 32 3
(2) B (3) B
( 14)
( t2 [ t < t3 ) + cs1 ,
*
RIJ = ( K )E 0 - j XF KK D IJ + 2 ( L 0 - j XG ) E IJ 其中 , RIJ 为应力分量 ; E IJ 为应变分量; j =
( 1) - 1; D IJ
为 K ronecher符号; X为谐波的频率; K 0, L 0 相当于理 想弹性体的 L am e 系数 , F , G 为对应的拉梅常数的粘 性系数, 且延迟时间为 Sre t = G /L 令 K= K , L = L0 - j XG , 可得到与理想弹 0 - jXF 性体同样形式的本构方程式。 对于超声波检测时的 小扰动问题, 考虑线性几何关系式 , 根据波动理论可 得到运动方程为
[ 11 ]
= P
( n) I
exp { j J
( n)
(N
(n) K
XK - c
(n)
t) }
( 5)
其中, N K (K = 1 , 2 , 3) 为波的传播方向单位矢量的 分量, P
( n) I
为位移振幅函数, J为波数, c 为波的相速 (B
( n) IK
度 , 且有 J = X /c。 将式 ( 5 ) 代入式 ( 2), 有 - Q cD IK )P
[ 6]
, 混凝土的损伤不
[ 2~ 5]
仅引起弹性模量的减少还会引起阻尼的增加
。
当超声波在固体中传播时 , 除了由完全弹性理论分 析时考虑的几何衰减和异质体的散射引起的振幅损 失之外 , 还应有粘性引起的能量损耗 , 因此 , 分析损 伤混凝土介质中波的传播时考虑粘性的影响是十分 必要的。本文利用弹性和粘性双参数来描述损伤 , 建立双参数损伤理论, 分析计算了损伤混凝土介质 中由于损伤引起的弹性和粘性共同变化下的波传播 问题。分析结果表明 , 粘性的影响非常显著, 并给出 了损伤区域长度、 损伤度与波幅、 首波到时之间的关 系。这些均可为波动反分析和混凝土的无损检测提 供理论依据。
2 ( n) I 2 (n) (n) K
= 0
( 6) ( 7) c3 =
其中 B
(n) IK
= C
( n) IJKL
N JN L 。 若U
有非零解 , 需满足
det(B IK - Q cD IK ) = 0 从式 ( 7 ) 可求出 c 的三个根 , c1 = c2 = [K + 2G ) ] / Q , 0 + 2L 0 - j X( F
(n) I
系数与损伤度之间的关系, 由此双参数来描述损伤 并建立双参数损伤理论。 根据 L am e常数与工程常数 之间的关系, 结合式 ( 1 ) 的本构方程式 , 按前述的基 本理论建立并求解波动方程式。 21 3 分析模型及求解方法 粘弹性混凝土梁板的分区模型如图 3 , 在 A 处发 射位移为 X 3 方向且沿 X 1 方向传播的谐波, 求在 B 处 接收到的波。 设区域 ② 为损伤部分, 区域 ① 和 ③ 为 非损伤区。 且 a + b+ c = 01 3m, 因为在区域间存在界 面, 波遇到界面会发生反射和透射 , 根据图 3 波传播 的示意图 , 由式 ( 5 ) 可求得
第 22 卷
第 4期
应
用
力
学
学
报
Vo.l 22 N oESE JOURNAL OF APPLIED M ECHAN ICS
文章编号 : 1000 -4939( 2005) 04-0657-04
粘弹性损伤混凝土介质中波的传播
罗松南 程红梅
长沙
第 4期
罗松南, 等 : 粘弹性损伤混凝土介质中波的传播
( n) ( n)
659
s1 的倒数给出实的波速 c, 且 exp (- X s2 X 1 ) 给出 了幅值随传播距离的变化。 令 a = Xs2 为衰减因子。 可知 c 和 a 都是 X的函数 , 前者为弥散关系, 后者为 耗散关系, 则式 ( 12 ) 可写为 UI
[ 10] ( n) ( n)
图 3
分区模型和波传播示意图
(I)
R
( IJ) 3 ( IJ)
= rIJ exp[ j JI (X I
- c3 ( t - t ) ) ] ,
( I)
I
*
L3
= lIJ exp [ j JI ( - X I
- c3 ( t - t ) ) ]
I
*
( 11 )
式中 , 下标 3表示沿 X 3 方向的位移 , R 为右行波 , L 为 左行波 , 上标 I 表示第 I 分区 , 上下标 J 表示第 J 次传 播。 t 为进入该区的界面前波传播的 时间, X
(n)
= PI
( n)
exp ( - aX 1 ) exp{ jk
( n)
(n)
(X 1 - c
(n)
( n)
t) } ( 13)
由边界条件 : U3 | X 3 = 0, X (1 1 ) = A si n Xt, R3 |X 3 = 0, X (1 1 ) = 0 = 0 = 0 及式 ( 11) 可求得 R 3 。 根据 上 述波 的 传 播 理 论, 把 式 ( 13 ) 代 入式 ( 11), 由连续性条件 ( 3 ) 和式 ( 4 ) 可求出在 B 端接 收到的波为 UB U U
[ 8] ( n)
= 1 /c3
(n)
= s1
( n)
+ js2 ,
( n)
其中, 当 E = 76 ( 1 / s) 时, k 和 G0 的值如表 1 。 式 ( 8 ) 和式 ( 10) 表示了现时弹性模量和粘性
代入式 ( 5) 可写为 ( n) (n) ( n) ( n) ( n) ( n) UI = P I exp( - Xs2 X 1 ) exp { jX ( s1 X 1 - t) } ( 12 )
( 3) ( 3) ( 3)
其中 t1 = as1 + b s1 t2 = as1 + 3b s1 + cs1 , t3 = as1 + 5b s1 + cs1
图 5 波传播时间与损伤度之间的关系
3
实例计算与分析
设已知材料常 数 E 0 = 40GP a , M= 0 . 25 , Q=
3
2500kg /m 。 当已知损伤度 D 时, 可求得现时 G 和 G。 (0) 给定入射波 U = A sinXt, 其中 A = 0. 01mm, X = 50000H z , 经数值计算, 可求得不同条件下在 B 端接 收到的波。 由于损伤的存在 , 对波的传播时间、 波幅 均产生很大的影响, 由于粘性的影响 , 使波幅有很大 的衰减 , 所以经过很长路径的衰减 R 3 变得很小 , 由 式 ( 14 ) 可知 UB 和 UB 相差甚微, 因此 , 再次叠加 后的波峰和首波峰值相差甚微。 在以后的叙述和分 析中, D 表示损伤度 , b 表示损伤区域的大小, a 表示 损伤区域的位置 , A 1 表示接收波的幅值, T 1 表示首 波到达的时间。 31 1 损伤度与接收波幅和波传播时间的关系 当 a, b, c 固定不变 , 区域 ② 中损伤度 D 取不同 值 (不同 E 对应的不同 G值 ), 其它区域无损伤时, 得 到损伤度 D 与波幅 A 1、 波传播时间 T 1 之间的关系曲 线如图 4 和图 5 。 312 损伤区域长度与接收波幅和波传播时间的关系 设D = 0 . 5 , a = c= (0 . 3 - b ) /2 , 考虑区域 ② 中不同 E对应的不同 G值 , 其它区域无损伤时 , 得到 损伤区域长度 b 与波幅 A 1、 波传播时间 T 1 之间的关 系曲线如图 6 和图 7 。
1 引 言
工程中常见的材料大多是粘弹性材料, 其粘性 性质的影响在工程中越来越引起人们的重视。混凝 土材料是一种粘弹性材料 , 影响混凝土的粘性和弹 性性质有内部因素和外部因素
[ 1]
2 基本方程及求解
21 1 基本理论 粘弹性材料的性质是随加载时间不断变化的, 在恒定应力情况下 , 材料反映出蠕变性能, 应力应变 关系 依 赖 于加 载 历史。对 于 线粘 弹 性 关系 可 用 Ke lv en-Vo igt模型表示, 其粘弹性介质具有以下本构 关系
为
的情况下损伤度与 G 之间的关系 ( 如图 2 ), 并可用 数学公式描述为 D = ( G - G0 ) /k
表 1 E k G0 0. 00004 21052. 6 110526
I 分区中的 局部坐标 , JI 表示第 I 区波数, c 表示第 I 区中的 波传播速度。 因波为 沿 X 1 方 向 传 播 的 横 波, 则 c3 (G 0 - j XG0 ) /Q , c
[ 7]
基金项目 : 湖南省自然科学基金资助项目 ( 03JJY 3008 ), 教育部科学技术研究重点资助项目 ( 104137 ) 来稿日期 : 2004-06-07 修回日期 : 2005-07 -11 第一作者简介 : 罗松南 , 男 , 1956年生 , 博士 , 湖南大学教授 ; 研究方向: 弹塑性动力学及其应用 1
(L , 分别表示波在三个方向上的传播 0 - j XG ) / Q 速度。 在已知入射波的情况下, 利用边界条件和连续 性条件 , 则可求出振幅 P I , 从而求得 UI 。 21 2 双参数损伤理论 对于弹性介质可通过弹性模量定义损伤度, 弹 [ 8] 性模量与损伤度之间的关系为 D = 1 - E /E 0 或 E = E0 (1- D ) ( 8) 考虑一维粘弹性问题 , K e lven -Vo ig t模型的本 [ 9] 构关系又可表示为 R = E E+ G E ( 9) 其中, D 为损伤度, E 0 为初始弹性模量 , E 为损伤后 的弹性模量 , G 为损伤后的粘性系数, E为应变率。 为建立损伤与混凝土材料的粘性之间的关系 , 利用水泥浆体单轴压缩实验揭示的混 凝土应力 应变关 系 与 应 变 率 的关 系 曲 线 (如图 1 , E= 76 ( 1 / s), 结合式 ( 8 ) 和式 ( 9 ), 得到了在 E和 E不同
(n)
( 3) ( 4)
图 1 巢湖 525号水泥沙浆高 图 2 巢湖 525 号水 泥沙 浆损 应变率时的应力 ) 应变关系 伤度 D 与粘性系数 n的关系
( 0) = U
( n- 1)
( N)
其中, N 为第 n - 1( n = 1 , 2 , 3 , , ) 个区域的长度, T 为应力 , U 为位移。 对于给定频率为 X 的平面谐波 , [ 3] 方程 ( 2) 式的基本解为 U
(2) 3 ( 1) ( 3)
=
或
G = kD + G0
0. 0002 105263 289474
( 10)
=
(G - j XG) /Q , 其中 G 0 和
不同 E下的 k 和 G 0 值 0 . 0001 52631. 6 210526 0. 0004 210526 394737
G 称为损伤前后的剪切弹性模量, 且 G = E /2 ( 1 + v) = E 0 ( 1 - D ) / 2( 1 + v), v 为泊松比。 可知波速为复 数, 为得到实的波速 , 令 s
*
童
410082 )
桦
( 湖南大学
摘要: 混凝土的损伤会引起弹性和粘性性质的改变 , 利用弹性和粘性的双参数来描述损伤 , 建立双 参数损伤理论。 根据不同的损伤程度对混凝土介质进行分区处理 , 建立基本方程式, 考虑连续性条 件和边界条件, 求解波动方程。 比较是否考虑粘性时的波幅和波传播时间与损伤的关系, 表明粘性 是损伤混凝土介质中波传播所必须要考虑的问题 。分析了粘弹性混凝土介质中损伤区域长度、 损 伤度等对波传播的影响, 给出了它们的关系曲线, 可为波的反分析提供依据 。 关键词 : 粘弹性混凝土 ; 双参数损伤理论; 波传播 中图分类号 : O3741 4 文献标识码 : A
在已知入射波的情况下利用边界条件和连续性条件则可求出振幅p12双参数损伤理论对于弹性介质可通过弹性模量定义损伤度弹性模量与损伤度之间的关系为d1ee0或ee01d考虑一维粘弹性问题kelvenvoigt模型的本构关系又可表示为reege9其中d为损伤度e0为初始弹性模量e为损伤后的弹性模量g为损伤后的粘性系数e为应变率
658
I 5u K (n) 5 u = Q 2 5X J 5 XL 5t = K D 为密度。 IJ D K L + LD IK D LJ , Q
应
2 ( n) 2 ( n)
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C IJKL
( n)
( 2)
其中 C IJK L
对于损伤混凝土介质可根据不同的损伤程度将 结构分为 n 个区域, 区间连续性条件为 (n) ( n- 1) T ( 0) = T ( N) U
(1) ( 11)
图 4
首波峰值与损伤度之间的关系
= 0 , = R , = R
( 1) ( 1) ( 1) 31 3 31 3
( t < t1 ); ( t1 [ t < t2 ); +R ,
( 2) ( 2) ( 2) 32 3
(2) B (3) B
( 14)
( t2 [ t < t3 ) + cs1 ,
*
RIJ = ( K )E 0 - j XF KK D IJ + 2 ( L 0 - j XG ) E IJ 其中 , RIJ 为应力分量 ; E IJ 为应变分量; j =
( 1) - 1; D IJ
为 K ronecher符号; X为谐波的频率; K 0, L 0 相当于理 想弹性体的 L am e 系数 , F , G 为对应的拉梅常数的粘 性系数, 且延迟时间为 Sre t = G /L 令 K= K , L = L0 - j XG , 可得到与理想弹 0 - jXF 性体同样形式的本构方程式。 对于超声波检测时的 小扰动问题, 考虑线性几何关系式 , 根据波动理论可 得到运动方程为
[ 11 ]
= P
( n) I
exp { j J
( n)
(N
(n) K
XK - c
(n)
t) }
( 5)
其中, N K (K = 1 , 2 , 3) 为波的传播方向单位矢量的 分量, P
( n) I
为位移振幅函数, J为波数, c 为波的相速 (B
( n) IK
度 , 且有 J = X /c。 将式 ( 5 ) 代入式 ( 2), 有 - Q cD IK )P
[ 6]
, 混凝土的损伤不
[ 2~ 5]
仅引起弹性模量的减少还会引起阻尼的增加
。
当超声波在固体中传播时 , 除了由完全弹性理论分 析时考虑的几何衰减和异质体的散射引起的振幅损 失之外 , 还应有粘性引起的能量损耗 , 因此 , 分析损 伤混凝土介质中波的传播时考虑粘性的影响是十分 必要的。本文利用弹性和粘性双参数来描述损伤 , 建立双参数损伤理论, 分析计算了损伤混凝土介质 中由于损伤引起的弹性和粘性共同变化下的波传播 问题。分析结果表明 , 粘性的影响非常显著, 并给出 了损伤区域长度、 损伤度与波幅、 首波到时之间的关 系。这些均可为波动反分析和混凝土的无损检测提 供理论依据。
2 ( n) I 2 (n) (n) K
= 0
( 6) ( 7) c3 =
其中 B
(n) IK
= C
( n) IJKL
N JN L 。 若U
有非零解 , 需满足
det(B IK - Q cD IK ) = 0 从式 ( 7 ) 可求出 c 的三个根 , c1 = c2 = [K + 2G ) ] / Q , 0 + 2L 0 - j X( F
(n) I
系数与损伤度之间的关系, 由此双参数来描述损伤 并建立双参数损伤理论。 根据 L am e常数与工程常数 之间的关系, 结合式 ( 1 ) 的本构方程式 , 按前述的基 本理论建立并求解波动方程式。 21 3 分析模型及求解方法 粘弹性混凝土梁板的分区模型如图 3 , 在 A 处发 射位移为 X 3 方向且沿 X 1 方向传播的谐波, 求在 B 处 接收到的波。 设区域 ② 为损伤部分, 区域 ① 和 ③ 为 非损伤区。 且 a + b+ c = 01 3m, 因为在区域间存在界 面, 波遇到界面会发生反射和透射 , 根据图 3 波传播 的示意图 , 由式 ( 5 ) 可求得
第 22 卷
第 4期
应
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Vo.l 22 N oESE JOURNAL OF APPLIED M ECHAN ICS
文章编号 : 1000 -4939( 2005) 04-0657-04
粘弹性损伤混凝土介质中波的传播
罗松南 程红梅
长沙
第 4期
罗松南, 等 : 粘弹性损伤混凝土介质中波的传播
( n) ( n)
659
s1 的倒数给出实的波速 c, 且 exp (- X s2 X 1 ) 给出 了幅值随传播距离的变化。 令 a = Xs2 为衰减因子。 可知 c 和 a 都是 X的函数 , 前者为弥散关系, 后者为 耗散关系, 则式 ( 12 ) 可写为 UI
[ 10] ( n) ( n)
图 3
分区模型和波传播示意图
(I)
R
( IJ) 3 ( IJ)
= rIJ exp[ j JI (X I
- c3 ( t - t ) ) ] ,
( I)
I
*
L3
= lIJ exp [ j JI ( - X I
- c3 ( t - t ) ) ]
I
*
( 11 )
式中 , 下标 3表示沿 X 3 方向的位移 , R 为右行波 , L 为 左行波 , 上标 I 表示第 I 分区 , 上下标 J 表示第 J 次传 播。 t 为进入该区的界面前波传播的 时间, X
(n)
= PI
( n)
exp ( - aX 1 ) exp{ jk
( n)
(n)
(X 1 - c
(n)
( n)
t) } ( 13)
由边界条件 : U3 | X 3 = 0, X (1 1 ) = A si n Xt, R3 |X 3 = 0, X (1 1 ) = 0 = 0 = 0 及式 ( 11) 可求得 R 3 。 根据 上 述波 的 传 播 理 论, 把 式 ( 13 ) 代 入式 ( 11), 由连续性条件 ( 3 ) 和式 ( 4 ) 可求出在 B 端接 收到的波为 UB U U
[ 8] ( n)
= 1 /c3
(n)
= s1
( n)
+ js2 ,
( n)
其中, 当 E = 76 ( 1 / s) 时, k 和 G0 的值如表 1 。 式 ( 8 ) 和式 ( 10) 表示了现时弹性模量和粘性
代入式 ( 5) 可写为 ( n) (n) ( n) ( n) ( n) ( n) UI = P I exp( - Xs2 X 1 ) exp { jX ( s1 X 1 - t) } ( 12 )
( 3) ( 3) ( 3)
其中 t1 = as1 + b s1 t2 = as1 + 3b s1 + cs1 , t3 = as1 + 5b s1 + cs1
图 5 波传播时间与损伤度之间的关系
3
实例计算与分析
设已知材料常 数 E 0 = 40GP a , M= 0 . 25 , Q=
3
2500kg /m 。 当已知损伤度 D 时, 可求得现时 G 和 G。 (0) 给定入射波 U = A sinXt, 其中 A = 0. 01mm, X = 50000H z , 经数值计算, 可求得不同条件下在 B 端接 收到的波。 由于损伤的存在 , 对波的传播时间、 波幅 均产生很大的影响, 由于粘性的影响 , 使波幅有很大 的衰减 , 所以经过很长路径的衰减 R 3 变得很小 , 由 式 ( 14 ) 可知 UB 和 UB 相差甚微, 因此 , 再次叠加 后的波峰和首波峰值相差甚微。 在以后的叙述和分 析中, D 表示损伤度 , b 表示损伤区域的大小, a 表示 损伤区域的位置 , A 1 表示接收波的幅值, T 1 表示首 波到达的时间。 31 1 损伤度与接收波幅和波传播时间的关系 当 a, b, c 固定不变 , 区域 ② 中损伤度 D 取不同 值 (不同 E 对应的不同 G值 ), 其它区域无损伤时, 得 到损伤度 D 与波幅 A 1、 波传播时间 T 1 之间的关系曲 线如图 4 和图 5 。 312 损伤区域长度与接收波幅和波传播时间的关系 设D = 0 . 5 , a = c= (0 . 3 - b ) /2 , 考虑区域 ② 中不同 E对应的不同 G值 , 其它区域无损伤时 , 得到 损伤区域长度 b 与波幅 A 1、 波传播时间 T 1 之间的关 系曲线如图 6 和图 7 。
1 引 言
工程中常见的材料大多是粘弹性材料, 其粘性 性质的影响在工程中越来越引起人们的重视。混凝 土材料是一种粘弹性材料 , 影响混凝土的粘性和弹 性性质有内部因素和外部因素
[ 1]
2 基本方程及求解
21 1 基本理论 粘弹性材料的性质是随加载时间不断变化的, 在恒定应力情况下 , 材料反映出蠕变性能, 应力应变 关系 依 赖 于加 载 历史。对 于 线粘 弹 性 关系 可 用 Ke lv en-Vo igt模型表示, 其粘弹性介质具有以下本构 关系