高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用导学案 新人教A版必修2

第四章 4.2.3 直线与圆的方程的应用
【学习目标】
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
过程与方法:用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
【学习重点】
学习重点:直线与圆的方程的应用．
学习难点:直线与圆的方程的应用时，坐标系的建立、方程的确定。

【知识链接】
1,回忆各种直线方程的形式，说清其特点及不足。

2，圆的标准方程是：(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心（a,b);半径：r.
3，你能说出直线与圆的位置关系吗？
【例题讲解】
1． 标准方程问题:圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+2=0的最远距离 最近的距离 。

最大距离:2227+;最小距离:22
27-.
2.轨迹问题:过点A(4,0)作直线L 交圆O:x 2+y 2=4于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程
解:设中点P(x,y)由垂径定理知,
14-=-x y x y , 整理得：0422=-+x y x 即4)2(22=+-y x （在 x 2+y 2=4内部分）。

3.弦长问题: 直线L 经过点(5,5)，且和圆x 2+y 2=25相交，截得的弦长为54, 求直线L 的方程。

设L 的方程为y-5=k(x-5) 则25)52()155(222
=++-k k 解得：k=2 或 k=21
所以L 的方程分别为：2x-y-5=0 x-2y+5=0
4.对称问题:求圆()()22
114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.
解：圆心（1，-1）关于点（2,2）的对称点为（3,5）则所求的圆的方程为4)5()3(2
2=-+-x x
5.实际应用问题:下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB ＝20c m ，拱高OP ＝4m ，建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01m).
（教材130页例4）
6.用代数法证明几何问题： 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
（教材130页例5）
六、达标检测
1，求直线l :2x-y-2=0 被圆C:(x-3)2+y 2=9 所截得的弦长 2，圆(x-1)2+(y-1)2=4关于直线L:x-2y-2=0对称的圆的方程
4)5
2()511(22=++-
y x 3，赵州桥的跨度是37.4m,圆拱高约7.2m,求拱圆的方程
x 2+(y+20.7)2=27.92
51452
4，某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m 。

现有一船，宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？
【问题与收获】
的大小关系。

与需比较则船能否通过拱桥，只）的坐标分别为（
中轴建立直角坐标系，其作为所在的直线轴，以表示拱高的所在直线作为以表示水面跨度的
3),,5(),,5(),4,0(,0,10,,,,00021y y y P P P B y OP x AB -该船可以通过拱桥。

答因为所以因为）（）代入方程得：，把（所以，圆的方程是：解得代入方程可得把为：设圆弧所在的圆的方程
:1.33.....1.3....405.145.10555.14)5.10(5.14,5.10.............)4(010)4,0(),0,10()(002202022222222222222<=≤≤=++=++=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=-+y y y y y x r b r b r b P B r b y x。