福建莆田一中2012届高三数学上学期期末理试卷新人教A版

莆田一中2011-2012学年上学期期末试卷高三 数学（理科）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分；每题只有一个正确答案） 1. 函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是( ) (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）
2. 设{a n }是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。

已知a 2a 4=1, 37S =, 则5S =( ) （A ）152 (B)314 (C)334 (D)17
2
3. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2
16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,
则AM ∣∣=( )
（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1
4. 设椭圆以正方形的两个顶点为焦点且过另外两个顶点，那么此椭圆的离心率为( ) (A) 21 (B)
2
2
(C) 51- (D) 2
2
21
5. E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ） (A)
1627 (B)23 (C) 3 (D) 3
4
6.广告费用x （万元）
4 2 3
5 销售额y （万元）
49 26 39 54
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63．5万元 B ．64．5万元 C ．67．5万元 D ．71．5万元
7．在ABC ∆中，下列说法不正确的是（ ） (A) sin sin A B >是a b >的充要条件 (B) cos cos A B >是A B <的充要条件
(C) 222a b c +<的必要不充分条件是ABC ∆为钝角三角形 (D) 222a b c +>是ABC ∆为锐角三角形的充分不必要条件
8．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．
成等差数列的概率为（ ） Ａ．1
9
Ｂ．112
Ｃ．115
Ｄ．
118
9. 已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为( ) (A)
32 (B)62
36 10. 直线：3
3x +与圆心为D 的圆：22(3)(1)3x y +-=交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )
(A)
76π (B) 54π (C) 43π (D) 53
π 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

请把答案填在答题纸的相应位置）
11．若{(41)2(1)log (2)(1)
()a a x a x x x f x --≥-<=为R 上的增函数，则a 的取值范围是 。

12.抛物线22y px =的焦点为F ，一直线交抛物线于A,B 且3AF FB =，则该直线的倾斜角
为 。

13．某三棱锥有五条棱的长度都为2，则当该三棱锥的表面积最大时其体积为 。

14．若()3ln a
f x ax x x
=+-在区间[]1,2上为单调函数，
则a 的取值范围是 。

15．如图在平面直角坐标系xOy 中，圆222r y x =+（0>r ）内切于
正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP aOA bOB =+（a 、R b ）， 则a 、b 满足的一个等式是______________________。

三．解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 16 .(本题满分13分)
设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭满足()3f π-(0)f =，
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求函数()f x 在11424ππ⎡⎤
,⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值 17．（本题满分13分）
A B C
D O
y x
抛物线C ：y=a 2x 的准线为y=1
2
-，PM,PN 切抛物线于M,N 且与X 轴交于A,B,AB =1.
(1)求a 的值；(2)求P 点的轨迹。

18．（本题满分13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长
为2的菱形，且060DAB ∠=, ,E F 分别是,BC PC 的中点， F D ⊥面ABCD 且FD=1， （1）证明：PA=PD; （2）证明：AD ⊥PB;
（3）求AP 与面DEF 所成角的正弦值； （4）求二面角P AD B --的余弦值。

19. （本小题满分13分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。

首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。

再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未．到过．．的通道，直至走完迷宫为止。

令ξ表示走出迷宫所需的时间。

（1） 求ξ的分布列； （2） 求ξ的数学期望。

20．（本题满分14分）
设集合Ｗ是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合：①
2
12
n n n a a a +++≤， ②n a M ≤.其中n N *∈，
M 是与n 无关的常数.
（1）设数列{n b }的通项为52n n b n =-，证明:{}n b W ∈；
（2）若{n a }是等差数列，n S 是其前n 项的和，42a =，420S =，证明：{}n S W ∈并求M 的取值范
围
21.（本题满分14分）
已知函数f(x)=1
x .
（1）若1()(1)()e
f a e f x dx ∙-=⎰，求a 的值；
（2）1t >,是否存在[]1,a t ∈使得1
()(1)()t
f a t f x dx ∙-=⎰成立？并给予证明；
（3）结合定积分的几何意义说明（2）的几何意义。

莆田一中2011-2012学年高三期末考
理科数学答题卷2012-1
祝你成功
一、选择题（10*5=50分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（4*5=20分）
11 ; 12.
13.________ ; 14.
15．
80分）
16．（本小题满分13分）
请在各题目的答题区域内作答、超出答题区域答案无效
请在各题目的答题区域内作答、超出答题区域答案无效17. （本小题满分13分）
请在各题目的答题区域内作答、超出答题区域答案无效19．（本小题满分13分）
请在各题目的答题区域内作答、超出答题区域答案无效
20．（本小题满分14分）
莆田一中2011-2012学年高三上期末考数学(理科)答案一、选择题
11．1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
12.3π或23π 13.23 14．2a ≤ 15.2212a b +=
三、解答题：（13+13+13+13+14+14=80）
16．（本小题满分13分）
解：（1）1()sin 2cos 22f x a x x =-，()(0)3
f f π
-=……..2分
∴31
12
a -
+=-，23a ∴= ……….4分 ()32cos 22sin(2)6
f x x x x π
∴=-=- ………6分
（2）当11,424x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，∴32,634x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ ………7分 ∴当262x ππ
-
=
即3x π
=
时()f x 取得最大值2； ………10分
∴当3264x ππ-=即1124
x π
=时()f x 2。

∴()f x 的最大值为2，()f x 2 ………13分
17．（本小题满分13分） 解：（1）由已知：1
122
p p =∴=∴ ………2分
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0 B
B
C
D
D
B
D
B
B
C
抛物线为22x y =即211
22
y x a =
∴= ………5分 （2）设22
112211(,),(,),(,)22
M x x N x x P x y
2'11
,,2
PM y x y x k x =∴=∴=
直线PM ：21111()2y x x x x -=-即2111
2y x x x =-
令0y =得112x x =即11
(,0)2
A x
同理PN:22212y x x x =-,21
(,0)2
B x ………9分
由2
1122212
12y x x x y x x x =-=-⎧⎨⎩得12122
x x x x x
y +==⎧⎨⎩212121211
11()4422
AB x x x x x =∴
-=∴+-= 2(2)84x y ∴-=即211
22y x =
- ………12分 ∴P 的轨迹方程为211
22
y x =-是一条抛物线 ………13分
18．（本小题满分13分） ∴ 解： ABCD 是菱形且060DAB ∠=，E 为BC 中点，
AD DE ∴⊥且3DE =又DF ⊥面ABCD,,,DA DE DF ∴两两垂直, 以D 为原点建立如图直角坐标系,则
D(0,0,0),A(2,0,0),
3,0),(3,0)B C -,F(0,0,1);
F 为PC 中点,(1,3,2)P ∴
（1）222222(12)(3)222,1(3)222PA PD ∴=-+-+==+-+即PA=PD
(2)(2,0,0),(0,23,2)0DA BP DA BP ==-∴∙=即AD BP ⊥
（3）设AP 与面DEF 所成的角为θ，D A ⊥面DEF,
∴面DEF 的法向量(2,0,0)n =，又(1,3,2)AP =-,
22
sin cos ,4222
AP n θ-∴=<>=
=⋅ ∴AP 与面DEF 所成角的正弦值为
24
； （4）D F ⊥面ABCD, ∴面ABCD 的法向量1(0,0,1)n =,
设PAD 面的法向量2(,,)n x y z =，则
{
2200
DA n AP n ⋅=⋅= ，
{
2320
x x y z --+= ，
3x z =⎧⎪⎨⎪⎩，取2y =则3z =23)n =，12321cos ,717n n <>=
=⋅ 二面角P-AD-B 为钝角，∴二面角P-AD-B 的余弦值为21
7
-
19．（本小题满分13分）
解：由已知：ξ可以取的值有1,3,4,6。

………2分
∴1(1)3p ξ==
，111(3)326p ξ==⋅=，111(4)326p ξ==⋅= 11111
(6)32323
p ξ==⋅+⋅= ………8分
∴ξ的分布列为：
ξ 1 3 4 6
p
13 16 16 13
………10分
∴ξ的数学期望11117
134636632
E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅=（小时）。

………13分
20．（本小题满分14分） 证明：（1）
212525(2)25
5(1)2224
n n n n n b b n n n ++++-++-==+-⋅ 又1
1
121155(1)22242
n n n n n n n b b b n b +++++++=+-⋅>∴≤ ………3分 1
15(1)25252n n n n n b b n n ++-=+--+=-
∴当2n ≤时1n n b b +>，当3n ≥时1n n b b +<， ∴当3n =时，{}n b 取得最大值7∴7n b ≤，由已知{}n b W ∈………6分
（2）由已知：设14411(1)2,2034,4620n a a n d a s a d a d =+-==∴+=+=
得18,2a d ∴==-，102n a n ∴=-，2(1)
8(2)92
n n n s n n n +=+
⋅-=-+………8分 ∴
22229(1)9(2)
7722
n n s s n n n n n n ++-+-+++==-++ 又221(1)9(1)78n s n n n n +=-+++=-++，2
12
n n n s s s +++∴
≤ ………10分 229819()24
n s n n n =-+=--+
又n N +∈，∴当n =4或5时{}n s 取得最大值20∴20n s ≤………13分
∴{}n s W ∈且20M ≥ ∴M 的取值范围为20M ≥ ………14分 21．（本小题满分14分）
解：（1）
1
()(1)()e
f a e f x dx ⋅-=⎰
1111(1)ln 11e e
e dx x a e a x ∴⋅-===∴=-⎰ ………3分
（2）1111()ln ln t t t
f x dx dx x t x ===⎰⎰
设1(1)ln t t a ⋅-=1ln t a t
-∴= ………5分 下面证明[]1,a t ∈：
11ln 11ln ln t t t
a t t
----=
-=
设()1ln (1)g t t t t =-->则'11
()10(1)t g t t t t -=-=>>
∴()g t 在()1,+∞上为增函数，当1t >时()(1)0g t g >=
又1t >时ln 0t >，10a ∴->即1a > ………8分
11ln ln ln t t t t
a t t t t
----=-=
设()1ln (1)h t t t t t =-->则'1
()1(1ln )ln 0(1)h t t t t t t
=-⋅+⋅=-<>
∴()h t 在()1,+∞上为减函数，当1t >时()(1)0h t h <=
又1t >时ln 0t >，0a t ∴-<即a t <[]1,a t ∴∈
综上：当1t >时，存在[]1,a t ∈使得1()(1)()t
f a t f x dx ∙-=⎰成立。

…11分
（3）连续函数()f x 在闭区间[],a b 上的定积分等于该区间上某个点0x 的函数值0()f x 与该区间长度的积，即0()()()b
a f x dx f x
b a =⋅-⎰其中[]0,x a b ∈
（酌情给分）………14分。