高中数学 第三章 3.3.1两条直线的交点坐标课件 新人教A版必修2

的等价条件是： A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0 或 A1C2－A2C1≠0. 由所给直线方程可得：1·3m－m2·(m－2)＝0 且 1·2m－6·(m－
2)≠0⇒m(m2－2m－3)＝0 且 m≠3⇒m＝0 或 m＝－1. 故所求实数 m 的值为 0 或－1. (2)直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的等
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例 1 求下列两条直线的交点坐标：l1：3x＋4y－2＝0； l2：2x＋y＋2＝0. 解 解方程组32xx＋ ＋4y＋y－22＝＝0.0， 得xy＝ ＝－ 2. 2， ∴l1 与 l2 的交点是 M(－2,2)． 小结 求两直线的交点就是解方程组，如果方程组有一解， 说明两直线相交；有无数解，说明两直线重合；无解，说明 两直线平行．
3．已知直线 l1：(a－2)x＋3y＋a＝0，l2：ax＋(a－2)y－1＝
0.当 l1⊥l2 时，求 a 的值及垂足的坐标． 解 当 a＝2 时，l1：y＝－23，l2：x＝12.此时，l1⊥l2 且垂足坐标
为12，－23，
当 由
a≠2 l1⊥l2
知时：，kk11·＝k2－＝a3a＝－3 －2，1，k2＝－a－a 2.
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问题 2 如何利用两直线的方程组成的方程组的解来判断两条直 线的位置关系？ 答 通过解两直线对应方程组成的方程组，若方程组有一解两直 线相交，无解两直线平行，两方程能化成同一个方程两直线重合．
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跟踪训练 2 (1)已知两直线 l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x
＋3my＋2m＝0，若 l1∥l2，求实数 m 的值； (2)已知两直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和 l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)
＝0.若 l1⊥l2，求实数 a 的值． 解 (1)直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行
.
(2)解方程组36xx－ －y2＋y－4＝ 1＝00
① ②
①×2－②得 9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
①(3×)解2方得程6组x＋368xxy＋ ＋－481yy0－ －＝510＝ 0.因＝0此0 ，①和②可以① ②化成同一个方程，即①
和②表示同一条直线，l1 与 l2 重合． 第十二页，共24页。
解
方法一
由
方
程
组
2x－3y－3＝0， x＋y＋2＝0
得
x＝－35， y＝－75. ∵直线 l 和直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴直线 l 的斜率 k＝－3.
∴根据点斜式有 y－－75＝－3x－－35， 故所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
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方法二 设所求直线方程为 x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0 (λ∈R)．
将点 A(2,3)代入，有 2＋3×3－4＋λ(5×2＋2×3＋6)＝0， ∴λ＝－272， 故所求直线方程为 x＋3y－4－272(5x＋2y＋6)＝0， 即 x－4y＋10＝0.
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填一填·知识(zhī shi)要点、记下疑 难点
2．方程组的解的个数与两直线的位置关系
方程组的解
交点
两直线 位置关系
无解
两直线无 交点 平行(píngxíng)
有唯一解
两条直线 有 1 个交点
相交(xiāngjiāo)
有无数个解
两条直线有
重合
无数 个交点
3．过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交 点的直线： (A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ 为参
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3.3.1 两条直线的交点坐标
[学习要求] 1．理解直线和直线的交点与相应直线的方程组成的二元一次
方程组的解的关系； 2．会求两直线交点坐标以及判断两直线的位置关系． [学法指导]
通过两直线交点与两直线方程组解的对应关系，掌握直线 交点坐标的求法，以及判断两直线位置关系的方法，从而 认识事物之间的内在联系，学会能够用辩证的观点看问题.
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练一练·当堂检测、目标达成(dáchéng) 落实处
2．直线 l1：( 2－1)x＋y＝2 与直线 l2：x＋( 2＋1)y＝3 的
位置关系是
(A )
A．平行
B．相交
C．垂直
解析 由于 21－1＝ 21＋1≠23，所以 l1∥l2.
D．重合
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练一练·当堂检测、目标达成(dáchéng) 落实处
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练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达成落实 处
1．与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程为 Ax＋By＋D ＝0(D≠C)．与 y＝kx＋b 平行的直线系方程为 y＝kx＋ m(m≠b)．
2．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线 l1：A1x＋B1y ＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程是 A1x ＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含 l2；一般形式是 m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝ 0(m2＋n2≠0)，是过 l1 与 l2 交点的所有直线方程.
小结 方程 x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0 无论 λ 取什么值， 它表示的直线都过 x＋3y－4＝0 和 5x＋2y＋6＝0 的交点．
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跟踪训练 3 求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的
交点且与直线 3x＋y－1＝0 平行的直线方程．
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点， ∴设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，解得 λ＝121. 从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
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练一练·当堂检测、目标(mùbiāo)达成落 实处
1．已知直线 l1：3x＋4y－5＝0 与 l2：3x＋5y－6＝0 相交，
则它们的交点是
(B)
A．(－1，13)
B．(13，1)
C．(1，13)
D．(－1，－13)
解析
由33xx＋＋45yy－－56＝＝00，.
得x＝13， y＝1.
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小结 判定两条直线的位置关系有两种方法：(1)通过解两直线对 应方程组成的方程组，若方程组有一解两直线相交，无解两直线 平行，两方程能化成同一个方程两直线重合；(2)利用两直线方程 的对应系数的比判断两直线的位置关系．
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∴a＝－3.
∴l1：－5x＋3y－3＝0，l2：－3x－5y－1＝0.
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练一练·当堂(dānɡ tánɡ)检测、目标达成落 实处
由53xx－ ＋35yy＋ ＋31＝ ＝00 ，解得xy＝＝1－27197
.
∴l1 与 l2 的垂足坐标为－197，127. 综上所述：a 的值为 2，垂足坐标为12，－23；或 a 的值为－3， 垂足坐标为－197，127.
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探究点一 直线的交点与直线的方程组解的关系 问题 1 直线上的点与其方程 Ax＋By＋C＝0 的解有什么样的
关系？
答 直线 l 上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直 线上的点的坐标是其方程的解．反之直线 l 的方程的每一个 解都表示直线上的点的坐标． 问题 2 已知两条直线 l1 与 l2 相交，如何用代数方法求它们的 交点的坐标？ 答 只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．
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例 3 求经过直线 l1：x＋3y－4＝0，l2：5x＋2y＋6＝0 的交 点，且过点 A(2,3)的直线方程． 解 方法一 解方程组x5＋x＋3y2－y＋4＝ 6＝00 ，得xy＝ ＝－ 2 2 .
所以 l1 与 l2 的交点是(－2,2)． 由两点式得所求直线的方程为2y－－33＝－x－2－22， 即 x－4y＋10＝0.
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问题 3 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的 位置关系有何对应关系？ 答 (1)若方程组无解，则 l1∥l2； (2)若方程组有且只有一个解，则 l1 与 l2 相交； (3)若方程组有无数解，则 l1 与 l2 重合．
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填一填·知识要点(yàodiǎn)、记下疑 难点
1．两条直线的交点
已知两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 若两直线方程组成的方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00 有唯一解
x＝x0 y＝y0
，则两直线 相交(x，iān交g点jiā坐o)标为 (x0，y0) ．
价条件是 A1A2＋B1B2＝0. 由所给直线方程可得：a·1＋2·(a－1)＝0⇒a＝23. 故所求实数 a 的值为23.
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探究点三 过两直线交点的直线方程 问题 当 λ 变化时，方程 3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0 表示
什么图形？图形有何特点？ 答 方程表示经过两直线 l1：3x＋4y－2＝0 与 l2：2x＋y＋2 ＝0 的交点的直线的集合．当 λ 取不同值时，通过各种图形， 经过观察，发现这些直线的共同特点是经过同一点．
例 2 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
解所以(，1)解l1 与方程l2 相组交x3－，x＋y交＝3点y0－是10M＝(530，，53)得．xy＝ ＝5353
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跟踪训练 1 求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程： l1：x－2y＋2＝0，l2：2x－y－2＝0. 解 解方程组x2－x－2yy＋ －22＝ ＝00， . 得xy＝ ＝22， .
∴l1 与 l2 的交点是(2,2)． 设经过原点的直线方程为 y＝kx，把(2,2)代入方程得，k＝1，所求 方程为 y＝x.
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探究点二 两条直线的位置关系 问题 1 设两直线为 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置 关系？ 答 (1)l1∥l2⇔AA12＝BB21≠CC12⇔AA11BC22＝≠AA22BC11， . (2)l1 与 l2 相交⇔AA12≠BB21⇔A1B2≠A2B1. (3)l1 与 l2 重合⇔AA12＝BB21＝CC12⇔AA11BC22＝＝AA22BC11，. (4)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
数且这些直线中不包含 l2)
．
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[问题情境] 二元一次方程组的解有三种不同情况(唯一解，无解，无穷 多解)，同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种 情况(相交，平行，重合)，本节我们通过二元一次方程组解 的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系．