高二数学人教A版选修1-2课件:2.2.1 综合法和分析法
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(1)直线EF∥平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD. 思路分析:(1)利用线线平行证明线面平行. (2)利用面面垂直⇒线面垂直⇒面面垂直.
一 二三
知识精要
证明:(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD. 又因为EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD, 所以直线EF∥平面PCD. (2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD为正三角形. 因为F是AD的中点, 所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BF⊥平面PAD. 又因为BF⊂平面BEF, 所以平面BEF⊥平面PAD.
≥
∵a,b,c是不全相等的正数,
������������>0.
∴������+������ ·������+������ ·������+������ >
2
2
2
������2������2������2 =abc.
即������+������ ·������+������ ·������+������>abc 成立.
2
≥2
2.
������ -������
又ab=1,
所以������ 2+������2 = ������ 2+������2-2������������ +2������������ = (������-������)2+2
������ -������
������ -������
������ -������
2
2
2
由已知0<x<1,故只需证明
������ +������ 2
·������ +������
2
·������+2 ������>abc.
由公式知������ +������ ≥
2
������������>0,������
+������ 2
≥
������������>0,������
+������ 2
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例1】 已知a,b>0,且a+b=1,求证:
1 + 1≥4.
������ ������
思路分析:解答本题可由已知条件出发,结合基本不等式
a+b≥2 ������������(a,b>0),即可得出结论.
证明:方法一:∵a,b>0,且a+b=1,
∴a+b≥2 ������������,
2
证明:要证 只需证(
������2 + ������2 ≥ 2(a+b),
2
������2 + ������2)2≥
2 (������ +
������)
2
,
1
2
即证 a2+b2≥
(a22+b2+2ab),即证a2+b2≥2ab.
因为a2+b2≥2ab对一切实数恒成立,
所以 ������2 + ������2 ≥ 2(a+b)成立.
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
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预习导引
学习 目标
重点 难点
1.能知道直接证明的两种基本方法 ——综合法和分析法. 2.掌握综合法和分析法的思考过程、特 点,会用综合法和分析法证明数学问题. 重点:综合法与分析法的思维方式和步 骤. 难点:综合应用两种方法解题.
目标导航
答案:B
解析:由题设可得anan+1an+2=8,an+1an+2an+3=88,两式相除得:an+3=an,所8以这是一个周期为3的周期数列.又
an+2=
,所以a3=
=4,∴a1+a2���+������a���3���=���1������++21+4=7.∴a1+a2+…1+×a12=24(a1+a2+a3)=28.
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.在一个数列中,如果对任意n∈N*,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列 的公积.已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+…+a12=( )
A.24 B.28 C.32 D.36
2
2
2
∴logx������
+������ 2
+logx������
+������ 2
+logx������
+������ 2
<logxa+logxb+logxc
成立.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
当a+b>0时,求证:
������2 + ������2 ≥ 2(a+b).
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”,由求证走向已知,即从待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最 后到达一个明显成立的条件. 2.分析法的特点 (1)分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看“需知”,执果索因,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是要寻找 它的充分条件. (2)由于分析法是逆推证明,故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性,即分析法有独特的表述.
后推导出所要证明的结论 个明显成立的条件(已知条件、定
成立,这种证明方法叫做综 理、定义、公理等),这种证明方法
合法
叫做分析法
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预习导引
123
(P 表示已知条件、已有的定义、 定理、公理等,Q 表示所要证明 的结论.)
顺推证法或由因导果法
逆推证法或执果索因法
综合法
分析法
文 字 “因为……所以……” 语 或“由……得……” 言
∵a+b>0,只需证明3(a+b)2<4(a+b).
又a+b=a2+ab+b2,
即证3(a+b)2<4(a2+ab+b2),
也就是证明(a-b)2>0.
因为a,b是不等正数,故(a-b)2>0成立.
4
4
故a+b< 成3立.综上,得1<a+b< .
3
知识精要
43.
典题例解
迁移应用
案例探究
误区警示
易错辨析:用分析法 时表述不规范
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
已知a,b是不等正数,且a3-b3=a2-b2,求证:1<a+b<
证明:∵a3-b3=a2-b2且a≠b,
∴a2+ab+b2=a+b.
∵(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2,
∴(a+b)2>a+b,又a+b>0,∴a+b>1,
欲证a+b< ,即4证3(a+b)<4. 3
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例3】 已知a,b,c是不全相等的正数,且0<x<1.
求证:logx
������
+������ 2
+logx������
+������ 2
+logx������
+������ 2
<logxa+logxb+logxc.
思路分析:本题中不等式左右两边较为复杂,可用分析法证明,分析法的步骤为未知→需知→已知,在操作中
∴ ������������ ≤ 1,∴1 + 1 = ������ +������ = 1 ≥4.
2 ������ ������
������������
������������
当且仅当a=b时,取“=”号.
方法二:∵a,b是正数,
∴a+b≥2 ������������>0,1 + 1≥2 1 >0,
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
2.设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
证明:3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a) =(3a2-2b2)(a-b). 因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0, 从而(3a2-2b2)(a-b)≥0, 即3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
预习导引
123
1.直接证明 综合法和分析法,是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方式.
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预习导引
123
2.综合法和分析法的定义、框图特点
综合法
分析法
一般地,利用已知条件和某 一般地,从要证明的结论出发,逐步
些数学定义、定理、公理等, 寻求使它成立的充分条件,直至最
经过一系列的推理论证,最 后,把要证明的结论归结为判定一
������-3 <
������-1 +
������-2 ,
“要证”“只要证”“即要证”这些词语是不可缺少的.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
证明:要证明
logx������
+������ 2
+logx������
+������ 2
+logx������
+������
2 <logxa+logxb+logxc,
只需要证明logx
������+������ ·������+������ ·������+������ <logx(abc),
设 a≥3,求证: ������ − ������-1 < ������-2 − ������-3.
思路分析:
案例探究
误区警示
错解:证明:
由 ������ − ������-1 <
两边平方,得a(a-3)<(a-1)(a-2), 即0<2,故不等式成立.
������-2 −
������-3,得 ������ +
=1+������������
+
������ ������
+1≥2+2
a=பைடு நூலகம் 时,取“=”号.
������ ������
·������������=4.当且仅当
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求 证:
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 4】 如果 a>b,ab=1,求证:a2+b2≥2 2(a-b),并指明何时取“=”号.
思路分析:先用分析法将所证不等式转化为易证的等价式子,再用综合法进行证明.
证明:因为a>b,所以a-b>0,
所以欲证a2+b2≥
2 2(a-b).
只需证������
2
+������
������ ������
������������
∴(a+b)
1+1
������ ������
≥4.又 a+b=1,∴���1��� + 1������≥4.
当且仅当a=b 时,取“=”号.
方法三:���1���
+
1 ������
=
������ +������ ������
+
������ +������ ������
=
2×2������ 2������
=2.
由等比数列的定义可知数列{an}为等比数列.
(2)求证:
6 + 7≥2 2 + 5.
证明:要证原不等式成立,
只需证 ( 6 + 7)2≥(2 2 + 5)2,
即证 2 42>2 40,
由于上式显然成立,因此原不等式成立.
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预习导引
123
3.综合法和分析法的综合应用 在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论 Q';根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P'.若由P'可以推出Q'成立,即可证明结论成立. 用P表示已知条件、定义、定理、公理等,用Q表示要证明的结论,则上述过程可用框图表示为:
P⇒P1 ⇓ Q'⇒Qm
P1⇒P2
…
Pn⇒P'
…
Q2⇒Q1
Q1⇒Q
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一、用综合法证明问题 1.综合法的基本思路 综合法的基本思路是“由因导果”,由已知走向求证,即从已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证
结论或需求的问题. 2.综合法的特点 (1)从“已知”看“可知”,逐步推出“未知”,由因导果,其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件. (2)用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹.
书写形式一般为:要证…… 只需证……即证……,直至 得到一个明显成立的条件, 所以结论成立
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预习导引
123
预习交流
(1)已知数列{an}的通项公式为an=2n,求证:数列{an}为等比数列.
∴ 提示: ∵an=2n,
������������ +1 ������ ������
=
2������ +1 2������
=(a-b)+ 2 ≥2 (������-������)·2 =2 2.
������ -������
������ -������
所以������
2
+������
2
≥2
2,即 a2+b2≥2
2(a-b).
������ -������
2
当且仅当a-b=
,即������a--���b���= 时,取等号2.
2
综上所述,不等式得证.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
三、综合法和分析法的综合应用
综合法与分析法的区别与联系 (1)综合法证明是“由因导果”;分析法证明是“执果索因”.(2)分析法便于寻找解题思路;而综合法便于叙述.(3) 分析法的缺点是表述易错;综合法的缺点是探路艰难,易生枝节.(4)常将二者交互使用,互补优缺,形成了分析综 合法.其常见模式有“两头凑”“等价法”“交替法”等.
一 二三
知识精要
证明:(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD. 又因为EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD, 所以直线EF∥平面PCD. (2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD为正三角形. 因为F是AD的中点, 所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BF⊥平面PAD. 又因为BF⊂平面BEF, 所以平面BEF⊥平面PAD.
≥
∵a,b,c是不全相等的正数,
������������>0.
∴������+������ ·������+������ ·������+������ >
2
2
2
������2������2������2 =abc.
即������+������ ·������+������ ·������+������>abc 成立.
2
≥2
2.
������ -������
又ab=1,
所以������ 2+������2 = ������ 2+������2-2������������ +2������������ = (������-������)2+2
������ -������
������ -������
������ -������
2
2
2
由已知0<x<1,故只需证明
������ +������ 2
·������ +������
2
·������+2 ������>abc.
由公式知������ +������ ≥
2
������������>0,������
+������ 2
≥
������������>0,������
+������ 2
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例1】 已知a,b>0,且a+b=1,求证:
1 + 1≥4.
������ ������
思路分析:解答本题可由已知条件出发,结合基本不等式
a+b≥2 ������������(a,b>0),即可得出结论.
证明:方法一:∵a,b>0,且a+b=1,
∴a+b≥2 ������������,
2
证明:要证 只需证(
������2 + ������2 ≥ 2(a+b),
2
������2 + ������2)2≥
2 (������ +
������)
2
,
1
2
即证 a2+b2≥
(a22+b2+2ab),即证a2+b2≥2ab.
因为a2+b2≥2ab对一切实数恒成立,
所以 ������2 + ������2 ≥ 2(a+b)成立.
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
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学习 目标
重点 难点
1.能知道直接证明的两种基本方法 ——综合法和分析法. 2.掌握综合法和分析法的思考过程、特 点,会用综合法和分析法证明数学问题. 重点:综合法与分析法的思维方式和步 骤. 难点:综合应用两种方法解题.
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答案:B
解析:由题设可得anan+1an+2=8,an+1an+2an+3=88,两式相除得:an+3=an,所8以这是一个周期为3的周期数列.又
an+2=
,所以a3=
=4,∴a1+a2���+������a���3���=���1������++21+4=7.∴a1+a2+…1+×a12=24(a1+a2+a3)=28.
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.在一个数列中,如果对任意n∈N*,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列 的公积.已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+…+a12=( )
A.24 B.28 C.32 D.36
2
2
2
∴logx������
+������ 2
+logx������
+������ 2
+logx������
+������ 2
<logxa+logxb+logxc
成立.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
当a+b>0时,求证:
������2 + ������2 ≥ 2(a+b).
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”,由求证走向已知,即从待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最 后到达一个明显成立的条件. 2.分析法的特点 (1)分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看“需知”,执果索因,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是要寻找 它的充分条件. (2)由于分析法是逆推证明,故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性,即分析法有独特的表述.
后推导出所要证明的结论 个明显成立的条件(已知条件、定
成立,这种证明方法叫做综 理、定义、公理等),这种证明方法
合法
叫做分析法
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(P 表示已知条件、已有的定义、 定理、公理等,Q 表示所要证明 的结论.)
顺推证法或由因导果法
逆推证法或执果索因法
综合法
分析法
文 字 “因为……所以……” 语 或“由……得……” 言
∵a+b>0,只需证明3(a+b)2<4(a+b).
又a+b=a2+ab+b2,
即证3(a+b)2<4(a2+ab+b2),
也就是证明(a-b)2>0.
因为a,b是不等正数,故(a-b)2>0成立.
4
4
故a+b< 成3立.综上,得1<a+b< .
3
知识精要
43.
典题例解
迁移应用
案例探究
误区警示
易错辨析:用分析法 时表述不规范
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
已知a,b是不等正数,且a3-b3=a2-b2,求证:1<a+b<
证明:∵a3-b3=a2-b2且a≠b,
∴a2+ab+b2=a+b.
∵(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2,
∴(a+b)2>a+b,又a+b>0,∴a+b>1,
欲证a+b< ,即4证3(a+b)<4. 3
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例3】 已知a,b,c是不全相等的正数,且0<x<1.
求证:logx
������
+������ 2
+logx������
+������ 2
+logx������
+������ 2
<logxa+logxb+logxc.
思路分析:本题中不等式左右两边较为复杂,可用分析法证明,分析法的步骤为未知→需知→已知,在操作中
∴ ������������ ≤ 1,∴1 + 1 = ������ +������ = 1 ≥4.
2 ������ ������
������������
������������
当且仅当a=b时,取“=”号.
方法二:∵a,b是正数,
∴a+b≥2 ������������>0,1 + 1≥2 1 >0,
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
2.设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
证明:3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a) =(3a2-2b2)(a-b). 因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0, 从而(3a2-2b2)(a-b)≥0, 即3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
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1.直接证明 综合法和分析法,是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方式.
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2.综合法和分析法的定义、框图特点
综合法
分析法
一般地,利用已知条件和某 一般地,从要证明的结论出发,逐步
些数学定义、定理、公理等, 寻求使它成立的充分条件,直至最
经过一系列的推理论证,最 后,把要证明的结论归结为判定一
������-3 <
������-1 +
������-2 ,
“要证”“只要证”“即要证”这些词语是不可缺少的.
一 二三
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迁移应用
证明:要证明
logx������
+������ 2
+logx������
+������ 2
+logx������
+������
2 <logxa+logxb+logxc,
只需要证明logx
������+������ ·������+������ ·������+������ <logx(abc),
设 a≥3,求证: ������ − ������-1 < ������-2 − ������-3.
思路分析:
案例探究
误区警示
错解:证明:
由 ������ − ������-1 <
两边平方,得a(a-3)<(a-1)(a-2), 即0<2,故不等式成立.
������-2 −
������-3,得 ������ +
=1+������������
+
������ ������
+1≥2+2
a=பைடு நூலகம் 时,取“=”号.
������ ������
·������������=4.当且仅当
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
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知识精要
典题例解
迁移应用
【例2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求 证:
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 4】 如果 a>b,ab=1,求证:a2+b2≥2 2(a-b),并指明何时取“=”号.
思路分析:先用分析法将所证不等式转化为易证的等价式子,再用综合法进行证明.
证明:因为a>b,所以a-b>0,
所以欲证a2+b2≥
2 2(a-b).
只需证������
2
+������
������ ������
������������
∴(a+b)
1+1
������ ������
≥4.又 a+b=1,∴���1��� + 1������≥4.
当且仅当a=b 时,取“=”号.
方法三:���1���
+
1 ������
=
������ +������ ������
+
������ +������ ������
=
2×2������ 2������
=2.
由等比数列的定义可知数列{an}为等比数列.
(2)求证:
6 + 7≥2 2 + 5.
证明:要证原不等式成立,
只需证 ( 6 + 7)2≥(2 2 + 5)2,
即证 2 42>2 40,
由于上式显然成立,因此原不等式成立.
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3.综合法和分析法的综合应用 在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论 Q';根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P'.若由P'可以推出Q'成立,即可证明结论成立. 用P表示已知条件、定义、定理、公理等,用Q表示要证明的结论,则上述过程可用框图表示为:
P⇒P1 ⇓ Q'⇒Qm
P1⇒P2
…
Pn⇒P'
…
Q2⇒Q1
Q1⇒Q
一 二三
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典题例解
迁移应用
一、用综合法证明问题 1.综合法的基本思路 综合法的基本思路是“由因导果”,由已知走向求证,即从已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证
结论或需求的问题. 2.综合法的特点 (1)从“已知”看“可知”,逐步推出“未知”,由因导果,其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件. (2)用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹.
书写形式一般为:要证…… 只需证……即证……,直至 得到一个明显成立的条件, 所以结论成立
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123
预习交流
(1)已知数列{an}的通项公式为an=2n,求证:数列{an}为等比数列.
∴ 提示: ∵an=2n,
������������ +1 ������ ������
=
2������ +1 2������
=(a-b)+ 2 ≥2 (������-������)·2 =2 2.
������ -������
������ -������
所以������
2
+������
2
≥2
2,即 a2+b2≥2
2(a-b).
������ -������
2
当且仅当a-b=
,即������a--���b���= 时,取等号2.
2
综上所述,不等式得证.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
三、综合法和分析法的综合应用
综合法与分析法的区别与联系 (1)综合法证明是“由因导果”;分析法证明是“执果索因”.(2)分析法便于寻找解题思路;而综合法便于叙述.(3) 分析法的缺点是表述易错;综合法的缺点是探路艰难,易生枝节.(4)常将二者交互使用,互补优缺,形成了分析综 合法.其常见模式有“两头凑”“等价法”“交替法”等.