2019-2020年高三数学三轮复习《导数》各类题型方法总结教案 新人教版

2019-2020年高三数学三轮复习《导数》各类题型方法总结教案 新人教版
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看xx 省统测2）
例1：设函数在区间D 上的导数为，在区间D 上的导数为，若在区间D 上，恒成立，则称函数在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，
（1）若在区间上为“凸函数”，求m 的取值范围；
（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值. 解:由函数 得
（1） 在区间上为“凸函数”，
则 在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于
(0)
0302(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩
解法二：分离变量法：
∵ 当时, 2
()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当时, 恒成立
等价于的最大值（）恒成立， 而（）是增函数，则
(2)∵当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时 恒成立 变更主元法
再等价于在恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）
2
2
(2)0230
11(2)0230
F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩
请同学们参看xx 第三次周考： 例2：设函数),10(323
1)(223
R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-
= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a 的取值范围. （二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---
令得的单调递减区间为（－，a ）和（3，+）
∴当x=a 时，极小值= 当x=3a 时，极大值=b. （Ⅱ）由||≤a ，得：对任意的恒成立①
则等价于这个二次函数 的对称轴 （放缩法）
即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数.
（9分）
max min ()(2)2 1.()(1)4 4.
g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+
∴
于是，对任意，不等式①恒成立，等价于
(2)44,4
1.(1)215g a a a a g a a a
+=-+≤⎧≤≤⎨
+=-+≥-⎩解得 又∴
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征：恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型
例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，
32
6()(1)3(0)2
t g x x x t x t -=+
-++>
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t 的取值范围。

解：（Ⅰ）∴， 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减 又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴的值域是
（Ⅲ）令2
()()()(1)3[1,4]2
t h x f x g x x t x x =-=-
++-∈
思路1：要使恒成立，只需，即分离变量 思路2：二次函数区间最值
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例4：已知，函数x a x a x x f )14(2
1121)(2
3++++=
． （Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围． 解：)14()1(4
1)(2
++++=
'a x a x x f . （Ⅰ）∵ 是偶函数，∴ . 此时，，
令，解得：. 列表如下：
可知：的极大值为，的极小值为. （Ⅱ）∵函数是上的单调函数，
∴2
1()(1)(41)04
f x x a x a '=
++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法 则22
1(1)4(41)204
a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：.
综上，的取值范围是.
例5、已知函数3211
()(2)(1)(0).32
f x x a x a x a =
+-+-≥ （I ）求的单调区间；
（II ）若在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。

子集思想 （I ）2
()(2)1(1)(1).f x x a x a x
x a '=+-+-=++-
1、2
0,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立
当且仅当时取“=”号，单调递增。

2、12120,()0,1,1,,a f x x x a x x '>==-=-<当时由得且
单调增区间： 单调增区间： （II ）当
()[0,1],f x 在上单调递增则是上述增区间的子集：
1、时，单调递增 符合题意
2、，
综上，a 的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 例6、已知函数，，且在区间上为增函数． （1） 求实数的取值范围；
（2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围． 解：（1）由题意 ∵在区间上为增函数，
∴在区间上恒成立（分离变量法）
即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为
（2）设3
12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h
令得或由（1）知， ①当时，，在R 上递增，显然不合题意… ②当时，
综上，所求的取值范围为
根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数3
2
1()22
f x ax x x c =+
-+ （1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；
（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。

高1考1资1源2网 解：（1）∵的图像过原点，则 ， 又∵是的极值点，则(1)3
1201f a a '-=--=⇒=-
2()32(32)(1)0f x x x x x '∴=+-=-+=
（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，
等价于有含的三个根，即：1
(1)(1)(1)2
f g d b -=-⇒=-
- 322111
2(1)222
x x x bx x b ∴+-=---整理得：
即：3
211
(1)(1)022
x b x x b -
--+-=恒有含的三个不等实根 （计算难点来了：）32
11()(1)(1)022
h x x b x x b =---+-=有含的根，
则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，
211
(1)(1)022b x x b ---+-= 2211(1)(1)(1)022x x b x x b ⎡⎤
+-++--=⎢⎥⎣⎦
22
1(1)(1)2(1)02
x x b x x b ⎡⎤+-++--=⎣⎦ 十字相乘法分解：[]()2
1(1)(1)(1)102
x x b x b x +-+--+=
211(1)(1)(1)022x x b x b ⎡⎤
+-++-=⎢⎥⎣⎦
3211
(1)(1)022
x b x x b ∴---+-=恒有含的三个不等实根
等价于2
11(1)(1)022
x b x b -++-=有两个不等于-1的不等实根。

2
211(1)4(1)04211(1)(1)(1)022
b b b b ⎧∆=+-⨯->⎪⎪⇒⎨
⎪-+++-≠⎪⎩(,1)(1,3)(3,)b ⇒∈-∞-⋃-⋃+∞ 题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
（1）由题意得：2
'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<
∴在上；在上；在上 因此在处取得极小值 ∴①，②，③
由①②③联立得：169a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
，∴
（2）设切点Q ，
232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+-
222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过 232(3129)(1)26m t t t t =-+--+- 32()221290g t t t t m =--+-=
令2
2
'()66126(2)0g t t t t t =--=--=， 求得：，方程有三个根。

需：231290
16122490m m --++->⎧⇒⎨--+-<⎩
故：；因此所求实数的范围为：
题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法 例8、
解：函数的定义域为（Ⅰ）当m ＝4时，f (x )＝ 13x 3－72
x 2
＋10x ，
＝x 2
－7x ＋10，令 ， 解得或.
令 ， 解得
可知函数f (x )的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为．
（Ⅱ）＝x 2
－(m ＋3)x ＋m ＋6,
要使函数y ＝f (x )在（1，＋∞）有两个极值点,＝x 2
－(m ＋3)x ＋m ＋6=0的根在（1，＋∞）
根分布问题：
则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;3 1.2
m m f m m m ⎧
⎪∆=+-+>⎪
'=-+++>⎨⎪+⎪>⎩， 解得m ＞3
例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x 4
＋f （x ）（x∈R）有
且仅有3个极值点，求a 的取值范围． 解：（1）)1()(2
'
+=+=ax x x ax x f
当时，令解得，令解得， 所以的递增区间为，递减区间为.
当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.
（2）有且仅有3个极值点
223(1())ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有3个根，则或，
方程有两个非零实根，所以
或
而当或时可证函数有且仅有3个极值点
其它例题：
1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）3
2
'
2
()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=- 令=0,得
因此必为最大值,∴因此， (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-， 即，∴，∴
（Ⅱ）∵，∴等价于，
令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围， 为此只需，即，
解得，所以所求实数的取值范围是[0，1]. 2、（根分布与线性规划例子） （1）已知函数3
22()3
f x x ax bx c =
+++ (Ⅰ) 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式；
(Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程. 解： (Ⅰ). 由, 函数在时有极值 ,
∴ ∵ ∴ 又∵ 在处的切线与直线平行, ∴ 故 ∴ 32
21()3132
f x x x x =
+-+ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0
220480b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
令, 则
∴ ∴ 20220460x y x y x +>⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
故点所在平面区域S 为如图△ABC,
易得, , , , , 同时DE 为△ABC 的中位线,
∴ 所求一条直线L 的方程为:
另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为,它与AC,BC 分别交于F 、G, 则 ,
由 得点F 的横坐标为:
由 得点G 的横坐标为: ∴OGE OFD S S S ∆∆=-四边形DEGF
613112222
14121
k k =⨯⨯
-⨯+⨯=+即
解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为:
综上,所求直线方程为: 或 .…………….………….12分 (Ⅱ) 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0
220480b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
令, 则
∴ ∴ 20220460x y x y x +>⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
故点所在平面区域S 为如图△ABC,
易得, , , , ,
同时DE 为△ABC 的中位线, ∴所求一条直线L 的方程为:
另一种情况由于直线BO 方程为: , 设直线BO 与AC 交于H ,
由 12220
y x y x ⎧=⎪⎨⎪++=⎩ 得直线L 与AC 交点为: ∵ , , 11222211
122
H ABO AOH
S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=AB ∴ 所求直线方程为: 或
3、（根的个数问题）已知函数3
2
f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式； （Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a 的取值范围。

解：由题知：2
f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且= 0
得3
32c 320d a b a b =⎧⎨
++--=⎩
（Ⅱ）依题意 = – 3 且f ( 2 ) = 5
解得a = 1 , b = – 6
所以f ( x ) = x 3 – 6x 2
+ 9x + 3
（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax 3 + bx 2
– ( 3a + 2b )x + 3 ( a ＞0 )
= 3ax 2
+ 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ①
若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a ＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a ＜7a + 3＜a ＜3
所以 当＜a ＜3时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。

………… 12分 4、（根的个数问题）已知函数3
21()1()3
f x x ax x a R =
--+∈ （1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间； （2）若，讨论曲线与215
()(21)(21)26
g x x a x x =-++-≤≤的交点个数． 解：（1）
12122,1x x a x x ∴+=⋅=-
122x x ∴-===
………………………………………………………………………2分
22()211f x x ax x '=--=-
令得
令得
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分 （2）由题得
322115
1(21)326x ax x x a x --+=-++ 即32111
()20326
x a x ax -+++= 令32111
()()2(21)326
x x a x ax x ϕ=-+++-≤≤……………………6分
2()(21)2(2)(1)x x a x a x a x ϕ'∴=-++=--
令得或……………………………………………7分
此时，，，有一个交点；…………………………9分
当即时，
,
∴当即时,有一个交点；
当即时，有两个交点；
当时，，有一个交点．………………………13分
综上可知，当或时，有一个交点；
当时，有两个交点．…………………………………14分
5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．（Ⅰ）若函数在处有极值，求的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．。