弹塑性力学应力函数解法详细讲解

1 x y E 1 y y x E 21 代入到本构方程 xy xy E
x
x xy fx 0 x y xy x y y fy 0


f f 2 x y x y
V x V F y y F x
式子中的V为体力势函数。 同样可以引进一个airy函数，使得他满足下面的 关系式 2 x V 2
y
此时微分方程自动满足
y
xy
2 V x 2 2 xy
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弹塑性平面问题的应力函数解法

相容方程可简化为
( x y ) 0
2
引进函数 ，使得它 满足如下的关系式
x, y
2 2 4 0 4 x x y y
4 4 4
x 2 / y 2 y 2 / x 2 xy 2 / xy
其中是拉普拉 斯算子
2 2 2 x 2 y 2 z 2
• 将airy函数代入平衡微 分方程，则平衡方程 自动满足，代入应变 协调方程 得到
上式可简化为
0
4 2 2
弹塑性平面问题的应力函数解法
2. 体力为有势的情况 即 代入平面微分方程化为
( x V ) xy 0 x y xy ( y V ) 0 x y
Z
将上式 代入本构方程得平 面 方程
应力问题中的物理方程即
1 x y E 1 y y x E
应变问题中的物理
x
1 xy G E 其中G 21
xy
1 2 x ( x y) E 1 1 2 y ( y x) E 1 21 xy xy E z xz yz 0
平面问题中，因为物体各点都不沿z 方向移动，所哟在z方向线段都没有 伸缩，即 0 所以
Z

Z x y
通过上式可以看出，两种平 面问题的物理方程是不一样 的。然而，如果在平面应
2
2 2 2 x y xy 2 得 y 2 x xy
力问题的物理方程将E换为
2.或者用应力函数表示体积力势为常数的情 况----
2 2 l1 l2 X y 2 xy 2 2 2 l1 2 l2 Y y x
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吕龙生同学
- - 21 x y
2 2 2 2 x y 2 y x x
xy y
xy x 0 0 x y xy y 0 0 x y
得相容方程
2 x y
f x f y 1 x y
E∕(1-υ^2)，υ换为υ∕(1-υ)，就
- - x y
2 2 x y 2 y
x
21
2 x

xy y
得到平面
应变物理方程
将平面应变方程
利用平衡微分方程，可以简化上式， 使它只包含正应力而不包含切应力。 为此将下式平衡微分方程对x y 求 导
报告人：01031
弹塑性平面问题的应力函数解法
弹性力学的基本解 法
位移法
应力法.
应力函数需要满足 哪些条件呢
应力法
平衡条件 几何条件
本构条件
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弹塑性平面问题的应力函数解法
有面积力 有体积力
总述方向
无体积力 无面积力
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在平面问题中 =0，带入到本构方程得平面
•将它代入应变协调方程得
4 (1 v) 2V
• 上式就是有势体力作用下弹性平面问题要 求满足的基本方程。
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弹塑性平面问题的应力函数解法
上面我们讲到了体积力不同，会产生的两种 不同的方程。对于同是外力的面积力我们也 是要求求解的。特别是对于边界条件而言， 研究应力函数的时候，也需要将静力边界条 件给出。 1.有体积力势的情况 --- xl1 xy l2 X yx l1 y l2 Y
2 2 2 2 2 xy y x 2 y 2 x x
求导后然后相加，注意到xy 面的切应力等于yx面的切应 力所以得
y
1.考虑体力是长量的情况 • 采用应力法求解弹性平面问题的一-特殊解法---应力函数求解法 • 在不计体积力的时候即Fx和Fy等于0， 弹性平面问题满足的平衡微分方程可 化简为
将上式代入到