2021年广东省深圳市清华实验学校高一数学文联考试卷含解析

2020-2021学年广东省深圳市清华实验学校高一数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
是一个符合题目要求的
1. 数列{a n}中，若，，则（）
A. 29
B. 2563
C. 2569
D. 2557
参考答案：
D
【分析】
利用递推关系，构造等比数列，进而求得的表达式，即可求出，也就可以得到的值。

【详解】数列中，若，，
可得，所以是等比数列，公比为2，首项为5，
所以，．
【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法——构造法。

利用递推关系，选择合适的求解方法是解决问题的关键，常见的数列的通项公式的求法有：公式法，累加法，累乘法，构造法，取倒数法等。

2. 若正数a，b满足，则的最小值为（）
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
参考答案：
A
【分析】
利用已知等式可得且；代入所求式子可得基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】由得：，即：
，当且仅当，即时取等号
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够通过代入消元的方式，整理出符合基本不等式的形式.
3. 函数y=sin(-2x)的单调增区间是( )
A. [kπ-, kπ+] (k∈Z)
B. [kπ+, kπ+] (k∈Z)
C. [kπ-, kπ+] (k∈Z)
D. [kπ+, kπ+] (k∈Z)
参考答案：
D
略
4. 已知，则等于（）
A． B．1 C．0 D．2参考答案：
B
略
5. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
参考答案：
B
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答
时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．
【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；
②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；
③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；
④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．
故选B．
6. 过点且平行于直线的直线方程为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
7. 已知，且，则等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
8. 斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是（）
A．0°＜α＜45°B．45°＜α＜90°C．90°＜α＜135°D．135°＜α＜180°
参考答案：
B
【考点】I2：直线的倾斜角．
【分析】根据直线斜率和倾斜角之间的关系即可求解．
【解答】解：∵直线l的斜率是2，
∴设直线的倾斜角为θ，则tanθ=2，
∵tan45°=1＜2，而tanθ=2＞0，
故θ是锐角，
故选：B．【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角的计算，比较基础．
9. 如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（）
A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？
参考答案：
B
【考点】EF：程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．
【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S 是否继续循环
循环前 1 0
第一圈 2 2 是
第二圈 3 7 是
第三圈 4 18 是
第四圈 5 41 否
故退出循环的条件应为k＞4？
故答案选：B．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．10. 下列命题中正确的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
对于选项A，由于不等式没有减法法则，所以选项A是错误的.
对于选项B，如果c是一个负数，则不等式要改变方向，所以选项B是错误的.
对于选项C,如果c是一个负数，不等式则要改变方向，所以选项C是错误的.
对于选项D，由于此处的，所以不等式两边同时除以，不等式的方向不改变，所以选项D是正确的.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若的定义域是，则的定义域是。

参考答案：
12. △ABC 中，sin （A+）=,B=，AC=4，则AB等于_______。

参考答案：
4
13. 一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形的面积为．
参考答案：
R2
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题．
【分析】先求扇形的弧长l，再利用扇形面积公式S=lR计算扇形面积即可
【解答】解：设此扇形的弧长为l，∵一个半径为R的扇形，它的周长为4R，∴2R+l=4R，∴l=2R ∴这个扇形的面积S=lR=×2R×R=R2，故答案为 R2，
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，利用扇形的周长计算其弧长是解决本题的关键，属基础题
14. 若两直线2x+y+2=0与ax+4y﹣2=0互相垂直，则实数a= ．
参考答案：
﹣8
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于﹣1，即可求出答案．
【解答】解：∵直线2x+y+2=0的斜率，直线ax+4y﹣2=0的斜率，且两直线
2x+y+2=0与ax+4y﹣2=0互相垂直，
∴k1k2=﹣1，∴，解得a=﹣8．
故答案为﹣8．
【点评】理解在两条直线的斜率都存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于﹣1是解题的关键．
15. 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为．
参考答案：
5
【考点】93：向量的模．
【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．
【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）
设P（0，b）（0≤b≤a）
则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），
∴=（5，3a﹣4b）
∴=≥5．
故答案为5．
16. 等腰△ABC 的顶角A=，|BC|=2
，以A 为圆心，1为半径作圆，PQ 为该圆的一条直径，则
?
的最大值为
．
参考答案：
【考点】9R ：平面向量数量积的运算． 【分析】利用平面向量的三角形法则，将，
分别AP ，AC ，AB 对应的向量表示，进行数量积的运
算，得到关于
夹角θ的余弦函数解析式，借助于有界性求最值即可．
【解答】解：如图：由已知
= =
；
故答案为：
．
17. 数列{ a
n }中，前n 项的和S n = n 2 + 1，则a n = 。

参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题14分）某个公园有个池塘，其形状为直角三角形
, ，米，
米。

（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在
、
、
上取点、、，并且，
，
（如图1），游客要在
内喂鱼，希望面积越大越好。

设
（米），用表示
面积
，并求出
的最大值；
（2）现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在、
、
上取点、、，
建造正
走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好。

设
，用
表示
的周长
，并求出
的最小值。

参考答案：
（1）直角三角形, ，米，
米
,
，
∠CFE=30°， 设EF=x,，CE=
，
BE=50-， EF⊥ED,
EF⊥AB,
DE=
， ，
当x=50时，
;
(2)设边长为a,
,
,
CE=acos
,EB=50- acos
,∠EDB=
,
在三角形DEB中，，
的最小值为,的最小值是。

19. (本小题满分12分)
已知不等式的解集为D．
(1)求集合D；
(2)设函数，．求函数f(x)的值域．
参考答案：
解：(1)原不等式等价于，解得. .………6分
(2)
当时，取最小值，
当时，取最大值，
该函数的值域是. .………12分
20. 已知函数f（x）=cos2﹣sin cos﹣．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若，求sin2α的值．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）将化为f（x）=cos（x+）即可求得f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）由可求得cos（α+）=，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2α的值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，f（x）=﹣sin cos﹣
=（1+cosx）﹣sinx﹣
=cos（x+）．
∴函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[﹣，]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=，
∴cos（α+）=，
∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣cos2（α+）
=1﹣2
=1﹣
=．
21. 已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)=-x2+ax.
（1）若a=-2，求函数f (x)的解析式；
（2）若函数f (x)为R上的单调减函数，
①求a的取值范围;
②若对任意实数m,f (m-1)+f (m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围.
参考答案：
(1) .
(2) ①a≤0②t>.
【详解】（1）当时，，又因为为奇函数，
所以
所以
（2）①当时，对称轴，所以在上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减，
又在上，在上，
所以当a0时，为R上的单调递减函数
当a>0时，在上递增，在上递减，不合题意
所以函数为单调函数时，a的范围为a…
②因为，∴
所以是奇函数，∴
又因为为上单调递减函数，所以恒成立，
所以恒成立，所以
22. （本小题满分12分）已知定义在上的奇函数是增函数，且.（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）解不等式.参考答案：。