08-专项拓展训练 概率与统计的综合问题高中数学必修第二册人教版

的平均数， 为从，两地区随机抽出的这200名乘客的满意程度评分的
平均数，试比析】 |1 − | = |2 − |.理由如下：
1 = 55 × 0.05 + 65 × 0.15 + 75 × 0.3 + 85 × 0.3 + 95 × 0.2 = 79.5，
调研,从在甲、乙两家商场消费的顾
客中各随机抽取了100人,每人分别对
各自消费的商场进行评分,满分均为6
0分.整理评分数据，得到甲商场分数的频率分布直方图和乙商场分数的频
数分布表如下所示:
分数区间
频数
[0,10)
2
[10,20)
3
[20,30)
5
[30,40)
15
[40,50)
40
[50,60]
35
10
所以所求概率为
15
=
2
.
3
2.[2024广东梅州开学考试]某中学准备在中秋节向全校学生征集书画作品,
美术老师田老师从全校随机抽取了四个班级记作，，，,对征集到的
作品的数量进行了分析统计,制作了如下两幅不完整的统计图.
（1）田老师抽取的四个班级共征集到多少作品?
【解析】
120
由题图1知班级作品数量占比为
故() =
3
3
,即2人评分都在[10,20)内的概率为 .
10
10
（3）如果从甲、乙两家商场中选择一家消费,你会选择哪一家?请说明理由.
【解析】 选择乙商场，理由如下:
(i)从对两个商场评分低于30分的人数所占的比例来看，
对甲商场评分低于30分的频率为0.2,所以对甲商场评分低于30分的人数所
第十章 概率
专项拓展训练
概率与统计的综合问题
过专项 阶段强化专项训练
1.随着经济全球化、信息化，企业之
间的竞争从资源的争夺转向人才的竞
争.吸引、留住、培养和用好人才成
为人力资源管理的战略目标和紧迫任
务.在此背景下，某信息网站在15个
城市对刚毕业的大学生的月平均工资
和月平均期望工资进行了调查，数据
2 = 55 × 0.15 + 65 × 0.2 + 75 × 0.3 + 85 × 0.2 + 95 × 0.15 = 75.
因为分别从，两地区抽出的人数比为1: 1，所以 =
1
1
2
则|1 − | = 2.25，|2 − | = 2.25，则|1 − | = |2 − |.
1
+ 2
2
= 77.25，
快速直达专线.该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，
从，两地区分别随机调查了100名乘客，将乘客对该线路的满意程度评
分（满分100分）分成5组：[50,60), [60,70)，[70,80), [80,90)，[90,100]，
整理得到如下频率分布直方图：
根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级：
抽三名同学去参加学校书画座谈会,请用画树状图的方法求恰好抽中一名
男生、两名女生的概率.
【解析】 恰好抽中一名男生、两名女生去参加学校书画座谈会的概率，
即不参加学校书画座谈会的获奖同学为一名男生、一名女生的概率.
记五名获奖同学中的两名男生分别为,,三名女生分别为，,，则从五
名获奖同学中抽出两名的情况如树状图所示:
（1）在抽取的100人中,求对甲商场评分低于30分的人数.
【解析】 由甲商场分数的频率分布直方图,得对甲商场评分低于30分的频
率为(0.003 + 0.005 + 0.012) × 10 = 0.2,
所以对甲商场评分低于30分的人数为100 × 0.2 = 20.
（2）从对乙商场评分在[0,20)内的人中随机选出2人,求2人评分都在
则() = 0.82 × 0.652 + 2 × 0.2 × 0.8 × 0.652 + 2 × 0.35 × 0.65 × 0.82 =
0.8 × 0.65(0.8 × 0.65 + 2 × 0.2 × 0.65 + 2 × 0.35 × 0.8) = 0.696 8.
（3）设1 ，2 分别为从,地区各随机抽出的100名乘客的满意程度评分
随机选择2个城市，求这2个城市的月平均期望工资都低于 8 500元的概率.
【解析】 月平均期望工资与月平均工资之差的绝对值高于1 000元的城市
有6个，
其中月平均期望工资高于8 500元的有1个，记为；月平均期望工资低于
8 500元的有5个，记为1 ,2 ,3 ,4 ,5 .
选取2个城市的可能结果有1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,1 2 ,1 3 ,1 4 ,1 5 ,
则从地区随机抽取1名乘客，估计该乘客的满意程度等级是非常满意的
概率为0.02 × 10 = 0.2.
（2）假设两地区乘客的评分相互独立，从地区与地区各随机抽取2名
乘客，记事件 =“抽取的4名乘客中，至少有3名乘客的满意程度等级是
满意或非常满意”，估计事件的概率；
【解析】 从地区随机抽取1名乘客，该乘客的满意程度等级是满意或非
[10,20)内的概率.
【解析】 对乙商场评分在[0,10)内的有2人，设为，,对乙商场评分在
[10,20)内的有3人，设为，，,
则从这5人中随机选出2人的样本空间 = {,,,,,,,,,
},共包含10个样本点，
记事件 =“2人评分都在[10,20)内”，则 = {,,},共包含3个样本点，
常满意的概率为(0.03 + 0.03 + 0.02) × 10 = 0.8.
由题图知(0.015 + + 0.03 + + 0.015) × 10 = 1，解得 = 0.02.
从地区随机抽取1名乘客，该乘客的满意程度等级是满意或非常满意的
概率为(0.03 + 0.02 + 0.015) × 10 = 0.65,
2 3 ,2 4 ,2 5 ,3 4 ,3 5 ,4 5 ，共15种，其中2个城市的月平均期望工
资都低于8 500元的可能结果有1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，2 3 ，
2 4 ，2 5 ，3 4 ，3 5 ，4 5 ，共10种，
占的比例为20%；
对乙商场评分低于30分的人数为2 + 3 + 5 = 10,
所以对乙商场评分低于30分的人数所占的比例为10%，
10% < 20%，所以选择乙商场.
(ii)甲 = 10 × (5 × 0.003 + 15 × 0.005 + 25 × 0.012 + 35 × 0.020 + 45 ×
0.020 + 55 × 0.040) = 41.9.
乙 =
1
100
× (5 × 2 + 15 × 3 + 25 × 5 + 35 × 15 + 45 × 40 + 55 × 35) =
44.3.
甲 < 乙 ，所以选择乙商场.
（注：其他理由合理均可）
4.为方便，两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条
如图所示.
（1）若某大学毕业生从这15个城市中随机选择 1个城市就业，求该生选
中月平均工资高于 8 500元的城市的概率；
【解析】 设事件 =“该生选中月平均工资高于8 500元的城市”，
15个城市中月平均工资高于8 500元的有6个，
所以() =
6
15
=
2
.
5
（2）若从月平均期望工资与月平均工资之差的绝对值高于1 000元的城市中
360
=
1
3
5，5 ÷ = 15，
所以田老师抽取的四个班级共征集到15个作品.
1
，又班级作品数量为
3
（2）请把图2的条形统计图补充完整.
【解析】 班级的作品数为15 − 3 − 5 − 4 = 3，
把题图2的条形统计图补充完整如下:
（3）若全校有五名同学获奖,其中有两名男生、三名女生，现在要在其中
共有20种等可能的情况，恰好抽中一名男生、一名女生不参加学校书画座
谈会的情况有12种,
12
3
所以恰好抽中一名男生、两名女生去参加学校书画座谈会的概率为 = .
20
5
3.[2024广东梅州模考]某市消费者协
会开展消费环境建设基层行活动,实
地调研了甲、乙两家商场,对顾客在
两家商场消费体验的满意度进行现场
满意程度评分
[50,70)
[70,90)
[90,100]
满意程度等级
不满意
满意
非常满意
（1）从地区随机抽取1名乘客，估计该乘客的满意程度等级是非常满意
的概率；
【解析】 由频率分布直方图知，
(0.005 + 0.015 + 0.03 + 0.03 + ) × 10 = 1，解得 = 0.02，