揭阳市普宁市华美实验学校2016-2017学年高一上学期期中数学试卷 含解析

2016—2017学年广东省揭阳市普宁市华美实验学校高一(上）期
中数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题卷上）
1．设集合M=｛﹣1，0，1｝，N=｛x|x2≤x}，则M∩N=（）
A．{0｝ B．｛0，1｝C．｛﹣1，1｝D．{﹣1，0，1}
2．设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M为（）
A．(2,+∞）B．（﹣∞,2） C．(﹣∞，2] D．［2，+∞）
3．函数f(x）=log2x在区间［1，2]上的最小值是(）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．指数函数f(x）=（a﹣1）x在R上是增函数，则a的取值范围是(）
A．a＞1 B．a＞2 C．0＜a＜1 D．1＜a＜2
5．已知a=30。

4，b=0.43，c=log0.43，则（）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
6．函数f(x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则下列各式成立的是(）A．f（﹣2）＞f（0)＞f(1）B．f（﹣2)＞f（﹣1）＞f（0）C．f（1)＞f(0）＞f（﹣2）D．f（1）＞f（﹣2）＞f（0）
7．已知函数f（x）=若f（a）=,则a=（）
A．﹣1 B．C．﹣1或 D．1或
8．若函数y=f(x）是函数y=3x的反函数，则f（)的值为（）
A．﹣log23 B．﹣log32 C．D．
9．已知f(x）=log(x2﹣2x)的单调递增区间是（)
A．（1，+∞) B．（2,+∞）C．（﹣∞，0) D．（﹣∞，1)
10．函数f（x)=a x﹣1+4(a＞0,且a≠1)的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）A．（5，1）B．（1，5）C．（1，4）D．（4，1)
11．幂函数y=f（x）经过点(3，），则f（x)是（）
A．偶函数，且在(0,+∞)上是增函数
B．偶函数，且在（0，+∞)上是减函数
C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数
D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则
实数k的取值范围是（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞,1） C．（1，+∞) D．（0，1］
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为．
14．函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是．
15．设f（x）=ax2+bx+2是定义在［1+a，2]上的偶函数,则f（x）的值域是．
16．关于函数f（x）=lg（x≠0,x∈R）有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称;
②在区间(﹣∞，0）上,函数y=f(x）是减函数;
③函数f（x)的最小值为lg2；
④在区间(1，+∞）上，函数f（x）是增函数．
其中正确命题序号为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤。

）
17．已知全集U={1，2，3,4},集合A=｛1，2，x2}与B=｛1，4}是它的子集，
（1）求∁U B;
（2)若A∩B=B，求x的值；
（3）若A∪B=U，求x．
18．计算：
①﹣（）﹣（π+e）0+（）；
②2lg5+lg4+ln．
19．已知函数f（x)=2x2﹣4x+a，g（x）=log a x（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若函数f（x）在［﹣1，2m］上不具有单调性,求实数m的取值范围；
（Ⅱ)若f（1）=g（1）．
（ⅰ）求实数a的值；
（ⅱ）设，t2=g（x），，当x∈(0，1）时，试比较t1，t2，t3的大小．
20．已知函数f（x）=log2（x+1），g(x）=log2（3x+1）．
(1）求出使g（x）≥f（x)成立的x的取值范围；
（2)当x∈[0,+∞）时，求函数y=g(x）﹣f（x）的值域．
21．已知函数f(x）=log a，（a＞0且a≠1）．
（1）判断f(x）的奇偶性，并加以证明；
(2)是否存在实数m使得f（x+2）+f（m﹣x）为常数?若存在，求出m的值;若不存在,说明理由．
22．已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1(m＞0）在区间［0，3]上有最大值4，最小值0．(Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ)设f（x)=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈［﹣3,3］时恒成立，求k的取值范围．
2016-2017学年广东省揭阳市普宁市华美实验学校高一
（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题卷上）
1．设集合M=｛﹣1,0，1｝，N={x|x2≤x},则M∩N=（)
A．{0｝ B．｛0，1｝C．｛﹣1，1｝D．｛﹣1,0，1}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．
【解答】解：因为N={x｜x2≤x}={x|0≤x≤1｝，M=｛﹣1,0，1}，
所以M∩N=｛0，1}．
故选B．
2．设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M为（）
A．（2，+∞）B．(﹣∞,2）C．（﹣∞，2］D．[2,+∞）
【考点】函数的定义域及其求法；并集及其运算．
【分析】要使函数有意义，则2﹣x≥0解得x≤2，则∁R M的答案可求．【解答】解：要使函数有意义，
则2﹣x≥0即x≤2．
∴M={x|x≤2｝．
则∁R M=（2，+∞）．
故选：A．
3．函数f（x）=log2x在区间［1,2］上的最小值是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】对数函数的值域与最值．
【分析】先分析函数f（x)=log2x的单调性，进而可得函数f(x）=log2x在区间[1,2]上的最小值．
【解答】解：∵函数f(x）=log2x在区间[1，2］上为增函数，
∴当x=1时，函数f(x）取最小值0,
故选:B
4．指数函数f(x）=(a﹣1）x在R上是增函数,则a的取值范围是()
A．a＞1 B．a＞2 C．0＜a＜1 D．1＜a＜2
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】根据指数函数的性质，即可判断．
【解答】解：∵指数函数f（x）=(a﹣1）x在R上是增函数，
∴a﹣1＞1，
即a＞2．
故选：B
5．已知a=30.4，b=0。

43，c=log0
3，则（)。

4
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．
【解答】解：∵a=30.4＞30=1，
b=0。

43=0。

064,
3＜log0.41=0，
c=log0。

4
∴c＜b＜a．
故选：C．
6．函数f（x）是R上的偶函数,且在［0,+∞）上单调递增，则下列各式成立的是(）A．f（﹣2）＞f（0）＞f（1) B．f(﹣2)＞f（﹣1）＞f（0）C．f（1）＞f（0）＞f（﹣2）D．f（1）＞f（﹣2）＞f（0）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由f（x）是R上的偶函数可得f（﹣2）=2，且2＞1＞0，结合已知在［0，+∞）上单调递增，可比较大小
【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，
∵f（﹣2）=2,且2＞1＞0
∴f（2）＞f（1）＞f（0）
即f（﹣2)＞f（1）＞f(0)
∵f(﹣1）=f（1)
∴f(﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）
故选B
7．已知函数f（x）=若f（a）=，则a=（）
A．﹣1 B．C．﹣1或 D．1或
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
【分析】按照分段函数的分类标准，在各个区间上,构造求解,并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍．
【解答】解：令f(a）=
则或，
解之得a=或﹣1,
故选：C．
8．若函数y=f（x）是函数y=3x的反函数，则f（）的值为（)
A．﹣log23 B．﹣log32 C．D．
【考点】反函数．
【分析】由题意可得f（x)=log3x，代值计算即可．
【解答】解：∵函数y=f（x）是函数y=3x的反函数，
∴y=f(x)=log3x，
∴f（)=log3=﹣log32
故选：B
9．已知f(x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（）
A．（1，+∞) B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．(﹣∞,1）
【考点】复合函数的单调性．
【分析】令t=x2﹣2x＞0，求得函数的定义域，且f(x）=g（t）=log t，根据复合函数的单
调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间，利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．
【解答】解：令t=x2﹣2x＞0，求得x＜0,或x＞2,故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），且f（x）=log（x2﹣2x)=g（t）=log t．
根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．
再利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间为(﹣∞，0），
故选：C．
10．函数f（x)=a x﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是() A．(5，1) B．（1，5）C．（1,4）D．(4，1）
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】由题意令x﹣1=0，解得x=1，再代入函数解析式求出y的值为5，故所求的定点是（1,5）．
【解答】解:令x﹣1=0，解得x=1，则x=1时,函数y=a0+4=5，
即函数图象恒过一个定点（1，5）．
故选B．
11．幂函数y=f（x)经过点（3，)，则f（x）是（）
A．偶函数，且在(0，+∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0,+∞)上是减函数
C．奇函数，且在（0,+∞)是减函数
D．非奇非偶函数，且在（0,+∞）上是增函数
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可．
【解答】解：设幂函数的解析式为：y=xα，
将（3，)代入解析式得：
3α=，解得α=，
∴y=，
故选：D．
12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根,则实
数k的取值范围是()
A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1,+∞）D．（0，1］
【考点】分段函数的应用．
【分析】画出函数f(x）=的图象，和直线y=k，将关于x的方程f（x)=k
有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．通过平移直线，观察即可得到．
【解答】解：画出函数f（x)=的图象,
和直线y=k，
关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．观察得出：
（1)k＞1,或k＜0有且只有1个交点；
（2)0＜k≤1有且只有2个交点．
故实数k的取值范围是（0,1]．
故选D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为（，2］．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由0＜2x﹣1≤3，即可求得不等式log3(2x﹣1）＜1的解集．
【解答】解：∵log3(2x﹣1）≤1,
∴0＜2x﹣1≤31=3，
∴＜x≤2，
∴不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为(,2］，
故答案为：（,2］．
14．函数f（x）=（x﹣1)2﹣2的递增区间是［1，+∞）．
【考点】二次函数的性质．
【分析】首先求出函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的导数，然后令f′（x）＞0,求出函数的递增区间即可．
【解答】解：f′（x)=2(x﹣1）,
令f′（x）＞0，
解得x＞1，
所以f（x）在［1，+∞）递增，
即函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是［1，+∞）．
故答案为：［1,+∞）．
15．设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2］上的偶函数,则f（x）的值域是[﹣10，2］．【考点】函数奇偶性的性质;函数的值域．
【分析】根据函数奇偶性的性质,确定定义域的关系，然后根据方程f（﹣x)=f（x），即可求出函数的值域．
【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+2是定义在［1+a，2］上的偶函数，
∴定义域关于原点对称,即1+a+2=0，
∴a=﹣3．
又f（﹣x）=f(x),
∴ax2﹣bx+2=ax2+bx+2，
即﹣b=b解得b=0，
∴f（x）=ax2+bx+2=﹣3x2+2，定义域为［﹣2，2]，
∴﹣10≤f（x）≤2,
故函数的值域为[﹣10，2］．
故答案为：[﹣10，2]．
16．关于函数f（x）=lg(x≠0，x∈R)有下列命题:
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
②在区间（﹣∞，0）上，函数y=f（x)是减函数；
③函数f（x）的最小值为lg2；
④在区间（1，+∞）上，函数f（x)是增函数．
其中正确命题序号为①③④．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】函数f(x）为偶函数，图象关于y轴对称,再由函数t（x）=，的单调性可判其他命题．
【解答】解:∵函数，显然f（﹣x）=f（x）,即函数f（x)为偶函数，图象关于y轴对称，
故①正确；当x＞0时，,令t（x)=，则t′（x）=1﹣
可知当x∈（0，1）时，t′（x)＜0，t（x)单调递减，当x∈（1，+∞)时，t′（x）＞0,t（x）单调递增，
即在x=1处取到最小值为2．由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.）
17．已知全集U=｛1，2,3，4}，集合A={1，2,x2}与B=｛1,4}是它的子集，
（1）求∁U B；
（2）若A∩B=B，求x的值;
（3）若A∪B=U，求x．
【考点】并集及其运算；交集及其运算．
【分析】（1）根据全集U及B,求出B的补集即可;
（2）根据A与B的交集为B,得到B为A的子集,求出x的值即可；
（3）根据A与B的并集为U，求出x的值即可．
【解答】解：(1)∵全集U=｛1，2，3，4｝,B={1，4｝，
∴∁U B={2，3｝;
（2）∵A={1,2，x2｝，B={1，4}，且A∩B=B，
∴x2=4，
则x=±2；
（3)∵A={1，2,x2}，B={1,4},且A∪B=U，
∴x2=3,
则x=±．
18．计算：
①﹣（）﹣（π+e)0+(）；
②2lg5+lg4+ln．
【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】利用指数和对数的运算性质和运算法则求解．
【解答】解：①﹣（）﹣（π+e）0+（）
=﹣﹣1+2
=2．
②2lg5+lg4+ln
=lg25+lg4+
=lg100+
=．
19．已知函数f（x）=2x2﹣4x+a，g（x)=log a x(a＞0且a≠1)．
(Ⅰ）若函数f（x）在［﹣1，2m]上不具有单调性，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若f（1）=g(1）．
（ⅰ）求实数a的值；
（ⅱ)设，t2=g（x），，当x∈（0，1）时，试比较t1，t2,t3的大小．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）可得抛物线的对称轴为x=1,由题意可得﹣1＜1＜2m;
(Ⅱ）（i)由题意可得f（1)=0，即﹣2+a=0；（ii)当x∈（0,1）时,易求t1,t2，t3的取值范围，由范围可得大小关系;
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y=2x2﹣4x+a开口向上，对称轴为x=1,
∴函数f(x）在（﹣∞，1］单调递减,在[1，+∞）单调递增，
∵函数f(x）在[﹣1，2m］上不单调，
∴2m＞1,得，
∴实数m的取值范围为;
（Ⅱ）(ⅰ）∵f（1）=g（1)，
∴﹣2+a=0，
∴实数a的值为2．
（ⅱ）∵,t2=g（x）=log2x，，
∴当x∈（0,1)时，t1∈(0,1），t2∈（﹣∞,0）,t3∈（1，2），
∴t2＜t1＜t3．
20．已知函数f（x）=log2（x+1）,g(x)=log2(3x+1)．
（1）求出使g（x）≥f(x）成立的x的取值范围；
（2）当x∈［0，+∞）时,求函数y=g（x）﹣f（x）的值域．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】（1）利用对数函数y=log2x的单调性即可求得g（x)≥f（x）成立的x的取值范围; （2）分析函数y=g（x)﹣f(x）的单调性，结合x∈[0，+∞）可得函数y=g（x）﹣f（x）的值域．
【解答】解：(1）∵f(x）=log2（x+1)，g（x)=log2（3x+1），g（x)≥f（x)，
∴3x+1≥x+1＞0,
∴x≥0．
即使g(x）≥f（x）成立的x的取值范围为[0，+∞）．
（2）∵y=g（x）﹣f（x）
=log2（3x+1）﹣log2(x+1）
=log2（x≥0）．
令h（x）==3﹣，
则h(x)为［0，+∞）上的增函数，
∴1≤h（x）＜3，
故y=g（x）﹣f（x）∈［0，log23]，
即函数y=g（x）﹣f（x)的值域为[0,log23]
21．已知函数f（x）=log a,（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x)的奇偶性，并加以证明;
(2）是否存在实数m使得f（x+2）+f(m﹣x）为常数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】(1)f（x)=log a为奇函数，求函数的定义域并利用奇函数的定义证明即可; （2）假设存在这样的m，则f（x+2)+f(m﹣x)=log a，即
为常数,设为k，整理由多项式系数相等可得m和k的方程组，解方程组可得．
【解答】解:（1）f（x）=log a为奇函数，下面证明:
解＞0可得定义域为｛x|x＜﹣5或x＞5}，关于原点对称，
f（﹣x）=log a=﹣log a=﹣f(x)，
∴函数f（x)为奇函数；
（2）假设存在这样的m，则f（x+2)+f(m﹣x）
=log a•=log a，
∴为常数，设为k，
则（k﹣1）x2+（m﹣2）(1﹣k）x﹣3(m﹣5）﹣7k（m+5)=0对定义域内的x恒成立
∴,解得
∴存在这样的m=﹣2
22．已知二次函数g(x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间［0，3］上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
(Ⅱ)设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3］时恒成立，求k的取值范
围．
【考点】二次函数的性质;函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）由题意得方程组解出即可，（Ⅱ）将f（x）进行变形，通过换元求出函数h(t）的最值,从而求出k的值．
【解答】解：（Ⅰ)∵g（x）=m（x﹣1)2﹣m+1+n
∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1
∵m＞0依题意得，
即，
解得
∴g（x)=x2﹣2x+1，
（Ⅱ）∵
∴，
∵f(2x)﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，
即在x∈［﹣3，3］时恒成立
∴在x∈［﹣3，3]时恒成立
只需
令，
由x∈[﹣3,3］得
设h（t)=t2﹣4t+1
∵h(t)=t2﹣4t+1
=(t﹣2）2﹣3
∴函数h（x)的图象的对称轴方程为t=2
当t=8时，取得最大值33．
∴k≥h(t）max=h(8）=33
∴k的取值范围为［33,+∞)．
2016年11月19日。