【理数】 2011模拟课标分类(大纲版)：三角函数

1. （2011
贵州四校一联）函数)3
2sin(3)(π-=x x f 的图象为C ，以下三个命题
中，正确的有（ C ）个 ①图象C 关于直线
对称; ②函数)(x f 在区间
内是增函数;
③由x y 2sin 3=的图象向右平移个单位长度可以得到图象C .
A.0
B.1
C.2
D.3 2.
（2011贵州四校一联）
(10分)已知：
.23,2),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈-==ππx x x x x .
(1)+的取值范围；(5分)
(2)求：函数x x f ++=sin 2)(的最小值. (5分)
解答:(1) ||(cos a b +=
=
20,12cos 1,32≤+≤∴≤≤-≤≤x x ππ
(2)()2sin 2sin 2cos )4
f x x x x x π
=+=-=-
由54
4
4
x π
π
π≤-
≤
，得当32x π=时，()f x 取得最小值-2
3．(2011
豫南九校四联)
设2
()3sin(
)43
f x x π
=+，若12,()()()x f x f x f x ∀∈≤≤R ，则12||x x -的最小值为(B) A. 8 B. 4
C. 2
D. 1
4．（本小题满分12分）
(2011豫南九校四联)
已知2(2sin ,)OA a x a =，(1cos 1)OB x x =-+，O 为坐标原点，0a ≠，设
()f x OA OB b =⋅+，b a >．
（1）若0a >，写出函数()y f x =的单调递增区间；
（2）若函数()y f x =的定义域为[,]2
π
π，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．
解：（1）2()2sin sin cos f x a x x x a b =-+++2sin(2)6
a x
b π
=+
+…（2分）
∵0a >，∴由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
得函数()y f x =的单调递增区间是[,]()36
k k k π
π
ππ-
+∈Z ………………（6分）
（写成27(,)()36
k k k ππ
ππ+
+∈Z 也可以） （2）[,]2x ππ∈时，7132[,]666x πππ+∈，sin(2)6x π+1
[1,]2∈-………………（8分）
当0a >时，()[2,]f x a b a b ∈-++
225a b a b -+=⎧⎨
+=⎩，得1
4a b =⎧⎨=⎩
， ………………（10分） 当0a <时，()[,2]f x a b a b ∈+-+
225a b a b +=⎧⎨
-+=⎩，得1
3a b =-⎧⎨=⎩
… 5. （2011
乐山一调）函数()sin sin cos
cos 3232
x x f x ππ=-在一个周期内的图象是（ A ）
6.（（2011
乐山一调））设函数()f x m n =⋅，其中()()cos ,3sin2,2cos ,1m x x n x ==。

（1）求函数()f x 的单调增区间。

（2）在ABC D 中，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，()2,3,4f A a b c ==+=，求ABC D 的面积。

解：（1）()f x 单增区间是：(
)
,()36
k k k Z ππππ-+∈…………….6分
（2）1sin 2ABC S bc A =D
7. （2011泸州一诊）已知α是第二象限角，并且
4
tan 3α=-
，则sin α=(B)
A.
45-
B. 45
C.
35-
D. 35
8．（2011泸州一诊）函数
sin 2,[,]
22y x x x ππ=-∈-的最大值是2π
.
9．（2011泸州一诊）
设函数
2
(1cos2)sin
()cos
2sin()
2
f
αα
αα
π
α
+
=+
-
.
（Ⅰ）求函数
()
fα的最小正周期；
（Ⅱ）
求使不等式
1
()
82
f
π
α->
成立的α的范围.
解：（Ⅰ）
2
(1cos2)sin
()cos
2sin()
2
f
αα
αα
π
α
+
=+
-
=
2
2
cos sin
cos
cos
αα
α
α
+
2分=
2
1
sin2cos
2
αα
+
3分
1
(sin2cos21)
2
αα
=++
4分
1
)
42
π
α
=++
，5分所以函数的周期为
2
2
T
π
π
==
；6分
（Ⅱ）
∵
1
()
82
f
π
α->
,
∴
11
))
8422
ππ
α-++>
,
∴
11
2
22
α+>
,
∴
1
sin2
2
α>
, 8分∴
5
222
66
k k
ππ
παπ
+<<+
, 10分∴
5
,
1212
k k k
ππ
παπ
+<<+∈Z
，
∴使不等式成立的α取值范围是
5
(,)(
1212
k k k
ππ
ππ
++∈Z)
. 12分
10．（2011泸州一诊）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos a B b A =.
（Ⅰ）求证:
222
1
3a b c -=；
（Ⅱ）若22
1sin 23cos sin B
B B +=--,.
解：（Ⅰ）∵cos 2cos a B b A =,
∴222222
222a c b b c a a b
ac bc +-+-⋅=，
2分
∴
2222222()
a c
b b
c a +-=+-,
∴222
33a b c -=,
∴222
a b c -=13.
4分
（Ⅱ）22
12sin cos 3cos sin B B
B B +=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=，
∴cos 0B ≠， ∴2
tan tan 20B B --=，
∴tan 2B =或tan 1B =-
而tan 1B =-使22
cos sin 0B B -=，舍去，
∴tan 2B =， 6分
∵cos 2cos a B b A =, ∴sin cos 2sin cos A B B A =，
∴sin sin 2
cos cos A B
A
B =,tan 2tan A B =， ∴tan 4A =，
7分
∵
tan tan()
C A B =-+
=
tan tan tan()1tan tan A B A B A B +-+=--
=2
3tan 12tan B
B -
-
=3261247⨯-=
-⨯，
9分
∴tan tan tan 0A B C >>>,
∴0
2
A B C π
>>>>, 10分
∵
6
tan 4,tan 7A C ==
，∴
sin A C ， 11分
∴由正弦定理sin sin BC AB
A C =
，∴
sin sin BC C AB A ==，
∴最小边的边长为.
11．(2011
绵阳二诊)已知f (x ) = sin (x +2
π)，g (x ) = cos (x －2
π)，则下列命题中正
确的是(D)
A ．函数y = f (x ) · g (x ) 的最小正周期为2π
B ．函数y = f (x ) · g (x ) 是偶函数
C ．函数y = f (x ) + g (x ) 的最小值为－1
D ．函数y = f (x ) + g (x ) 的一个单调增区间是]4
,43[ππ- 12．(2011绵阳二诊)为了得到函数)6
2sin(π-=x y 的图象，可以将函数y = cos 2x 的
图象(B)
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向右平移3
π
个单位长度 C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向左平移
3
π
个单位长度
13．(2011绵阳二诊)已知等腰三角形的面积为
2
3
，顶角的正弦值是底角正弦值的3倍，则该三角形一腰的长为(A)
A ．2
B ．3
C ．2
D ．6
14．(2011
绵阳二诊)已知函数f （x ）= sin x －cos (6
-πx )，x ∈[ 0，2π)，则满足f
（x ）＞0的x 值的集合为（34,
3π
π）或 }3
43
|
{π
π
<
<x x ． 15．(2011
绵阳二诊)给出下列命题：
① “sin α－tan α＞0”是“α 是第二或第四象限角”的充要条件； ② 平面直角坐标系中有三个点A （4，5）、B （－2，2）、C （2，0），则直线AB 到直线
BC 的角为4
arctan 3
；
③ 函数x
x x f 22
cos 3cos )(+=的最小值为32；
④ 设[m ] 表示不大于m 的最大整数，若x ，y ∈R ，那么[x + y ]≥[x ] + [y ] ． 其中所有正确命题的序号是①④．（将你认为正确的结论序号都写上） 16．(2011
绵阳二诊)设△ABC 三个角A ，
B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，向量)2,(b a =，)1,(sin A =，且//． （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若△ABC 是锐角三角形，)tan cos sin ,1(),cos ,(cos B A A n B A m -==，求n m ⋅的取值范围．
解 :（Ⅰ）∵ )2,(b a p =，)1,(sin A q =，//，
∴ a －2b sin A = 0，由正弦定理得 sin A －2sin B sin A = 0
3分
∵ 0＜A ，B ，C ＜π，∴ 21
sin =B ，得 6π=B 或56
B π= 6分
（Ⅱ）∵ △ABC 是锐角三角形，∴ 6
π
=B ，
)cos 3
3
sin ,1(),23,(cos A A A -==，
于是 )cos 3
3(sin 23cos A A A n m -+=⋅=A A sin 23
cos 21+
=)6sin(π+A ． …………………… 9分
由 65ππ=
-=+B C A 及 0＜C ＜2π
，得 )65,3(65πππ∈-=C A ． 结合0＜A ＜2π
，∴ 23ππ<<A ，得 3262πππ<+<A ，
∴ 1)6sin(23<+<π
A ，即 12
3<⋅<n m ．。