2015-2016年浙江省温州市乐清市乐成寄宿中学高二(下)3月月考数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年浙江省温州市乐清市乐成寄宿中学高二（下）3
月月考数学试卷（文科）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）若抛物线y2＝ax的焦点与椭圆＝1的左焦点重合，则a的值为（）A．﹣8B．﹣16C．﹣4D．4
2．（5分）以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（）
A．1B．C．D．2
3．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且双曲线与抛物线x2
＝﹣4y的准线交于A，B，S△OAB＝，则双曲线的实轴长（）
A．2B．4C．2D．4
4．（5分）下列命题中，真命题是（）
A．∃x0∈R，e≤0
B．∀x∈R，2x＞x2
C．a+b＝0的充要条件是＝﹣1
D．a＞1且b＞1是ab＞1的充分条件
5．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（）
A．B．C．D．2
6．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）
A．B．2C．D．
7．（5分）直线与双曲线有且只有一个公共点，则k的不同取值有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（5分）某汽车启动阶段的路程函数为s（t）＝2t3﹣5t2+2，则t＝2秒时，汽车的加速度是（）
A．14B．4C．10D．6
9．（5分）已知P为椭圆上的点，点M为圆上的动点，点
N为圆C2：（x﹣3）2+y2＝1上的动点，则|PM|+|PN|的最大值为（）
A．8B．12C．16D．20
10．（5分）已知f（x）＝2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（）
A．﹣37B．﹣29C．﹣5D．以上都不对11．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）
A．2B．3C．4D．6
12．（5分）点P在曲线y＝x3﹣x+上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范
围是（）
A．[0，]B．[0，）∪[，π）
C．[，π）D．（，]
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．（5分）函数f（x）＝lnx﹣2x的单调递减区间是．
14．（5分）若命题p：曲线﹣＝1为双曲线，命题q：函数f（x）＝（4﹣a）x在R 上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）下列命题中，真命题的有．（只填写真命题的序号）
①若a，b，c∈R则“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件；
②若椭圆的两个焦点为F1，F2，且弦AB过点F1，则△ABF2的周长为16；
③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；
④若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0．
16．（5分）已知曲线与直线x+y﹣1＝0相交于P、Q两点，且（O为
原点），则的值为．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝x2+xlnx
（Ⅰ）求这个函数的导数f′（x）；
（Ⅱ）求这个函数在x＝1处的切线方程．
18．（12分）已知命题p：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：m2﹣15m ＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．
19．（12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．
20．（12分）如图，已知四边形ABCD内接于抛物线x2＝y，点C（3，9），AC平行于x轴，BD平行于该抛物线在点C处的切线，∠BAD＝90°．
（Ⅰ）求直线BD的方程；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．
21．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P
为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B 并延长分别交直线x＝4于P，Q两点，问是否为定值？若是，求出此定值；
若不是，请说明理由．
22．（12分）已知椭圆C：2x2+3y2＝6的左焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，求线段AB的长；
（Ⅲ）设线段AB的中点为P，O为坐标原点，直线OP交椭圆C交于M、N两点，是否存在直线l使得|NP|＝3|PM|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
2015-2016学年浙江省温州市乐清市乐成寄宿中学高二（下）3月月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）若抛物线y2＝ax的焦点与椭圆＝1的左焦点重合，则a的值为（）A．﹣8B．﹣16C．﹣4D．4
【解答】解：椭圆＝1的左焦点是F（﹣2，0）．
∵抛物线y2＝ax的焦点与椭圆＝1的左焦点重合，
∴抛物线y2＝ax的焦点是F（﹣2，0），
∴a＝﹣8．
故选：A．
2．（5分）以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（）
A．1B．C．D．2
【解答】解：设正方形的边长为t，对角线的长为t，
以正方形的一条边的两个端点为焦点，
且过另外两个顶点的椭圆的离心率为，
双曲线的离心率为，
故它们的积为1，
故选：A．
3．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且双曲线与抛物线x2
＝﹣4y的准线交于A，B，S△OAB＝，则双曲线的实轴长（）
A．2B．4C．2D．4
【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，
∴＝＝，可得a＝b．
抛物线x2＝﹣4y的准线为：y＝．
代入双曲线方程可得：，
解得x＝±．
∴|AB|＝2．
∴S△OAB＝＝×＝×，
解得a2＝2，
∴a＝．
则双曲线的实轴长为2．
故选：A．
4．（5分）下列命题中，真命题是（）
A．∃x0∈R，e≤0
B．∀x∈R，2x＞x2
C．a+b＝0的充要条件是＝﹣1
D．a＞1且b＞1是ab＞1的充分条件
【解答】解：A，根据指数函数的图象与性质可知e x≥0恒成立，故A假；
B，举个反例说明其不成立即可，如x＝2时，左边＝右边，故B假；
C，当a+b＝0且b≠0时，才能推出，所以不是充分条件，故C假；
D，显然当a＞1且b＞1时，必有ab＞1成立，故D为真命题．
故选：D．
5．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（）
A．B．C．D．2
【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|＝m，
∵|AF|＝3，
∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3
∴2+3cosθ＝3
∴cosθ＝
∵m＝2+m cos（π﹣θ）
∴
∴△AOB的面积为S＝＝
故选：C．
6．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）
A．B．2C．D．
【解答】解：设M在双曲线﹣＝1的左支上，
且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°，
则M的坐标为（﹣2a，a），
代入双曲线方程可得，
﹣＝1，
可得a＝b，
c＝＝a，
即有e＝＝．
故选：D．
7．（5分）直线与双曲线有且只有一个公共点，则k的不同取值有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：联立得，即
当时，，满足题意；
当时，△＝0有两解．
故选：D．
8．（5分）某汽车启动阶段的路程函数为s（t）＝2t3﹣5t2+2，则t＝2秒时，汽车的加速度是（）
A．14B．4C．10D．6
【解答】解：汽车的速度为v（t）＝s′（t）＝6t2﹣10t，
∴a＝v′（t）＝12t﹣10
∴a＝v′（2）＝24﹣10＝14．
故选：A．
9．（5分）已知P为椭圆上的点，点M为圆上的动点，点
N为圆C2：（x﹣3）2+y2＝1上的动点，则|PM|+|PN|的最大值为（）
A．8B．12C．16D．20
【解答】解：依题意，椭圆的焦点为（﹣3，0），（3，0），
分别是两圆（x+3）2+y2＝1和（x﹣3）2+y2＝1的圆心，
所以（|PM|+|PN|）max＝|PC1|+|PC2|+2
＝2×5+1+1＝12，
故选：B．
10．（5分）已知f（x）＝2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（）
A．﹣37B．﹣29C．﹣5D．以上都不对
【解答】解：∵f′（x）＝6x2﹣12x＝6x（x﹣2），
∵f（x）在（﹣2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，
∴当x＝0时，f（x）＝m最大，
∴m＝3，从而f（﹣2）＝﹣37，f（2）＝﹣5．
∴最小值为﹣37．
故选：A．
11．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）
A．2B．3C．4D．6
【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0化为（x+1）2+（y﹣2）2＝2，圆的圆心坐标为（﹣1，2）半径为．
圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，所以（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a+2b+6＝0，
即a＝b+3．
点（a，b）与圆心的距离，，
所以点（a，b）向圆C所作切线长：
＝
＝≥4，当且仅当b＝﹣1时弦长最小，为4．
故选：C．
12．（5分）点P在曲线y＝x3﹣x+上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）
A．[0，]B．[0，）∪[，π）
C．[，π）D．（，]
【解答】解：∵tanα＝3x2﹣1，
∴tanα∈[﹣1，+∞）．
当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，）；
当tanα∈[﹣1，0）时，α∈[，π）．
∴α∈[0，）∪[，π）
故选：B．
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．（5分）函数f（x）＝lnx﹣2x的单调递减区间是（，+∞）．
【解答】解：∵f（x）＝lnx﹣2x，
∴f′（x）＝﹣2，
令f′（x）＜0，
解得：x＞，
故答案为：（，+∞）．
14．（5分）若命题p：曲线﹣＝1为双曲线，命题q：函数f（x）＝（4﹣a）x在R 上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．
【解答】解：当p为真命题时，（a﹣2）（6﹣a）＞0，解之得2＜a＜6．
当q为真命题时，4﹣a＞1，即a＜3．
由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p、q一真一假．
当p真q假时，3≤a＜6．当p假q真时，a≤2．
因此实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．
故答案为：（﹣∞，2]∪[3，6）．
15．（5分）下列命题中，真命题的有①③④．（只填写真命题的序号）
①若a，b，c∈R则“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件；
②若椭圆的两个焦点为F1，F2，且弦AB过点F1，则△ABF2的周长为16；
③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；
④若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0．
【解答】解：①∵a，b，c∈R，
∴“ac2＞bc2”⇒“a＞b”，
反之，由不成立．
若a，b，c∈R则“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件故成立的充分不必要条件．
故①正确；
②若椭圆的两个焦点为F1，F2，且弦AB过点F1，
则△ABF2的周长为4a＝20，故②不正确；
③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，
则p是假命题，
所以命题q一定是真命题，故③正确；
④若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，
则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故④正确．
故答案为：①③④．
16．（5分）已知曲线与直线x+y﹣1＝0相交于P、Q两点，且（O为原点），则的值为2．
【解答】解：设p（x1，y1）；Q（x2，y2）
∵
∴k op*k oq＝﹣1即；y1y2＝﹣x1x2
联立两方程：（b﹣a）x2+2ax﹣a﹣ab＝0
x1+x2＝
x1x2＝
y1y2＝1﹣（x1+x2）+x1x2＝﹣x1x2
即2ab＝b﹣a
∴1/a﹣1/b＝2
＝＝2
故答案为2
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝x2+xlnx
（Ⅰ）求这个函数的导数f′（x）；
（Ⅱ）求这个函数在x＝1处的切线方程．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）、由题意可知切点的横坐标为1，
所以切线的斜率是k＝f'（1）＝2×1+ln1+1＝3，
切点纵坐标为f（1）＝1+1×ln1＝1，
故切点的坐标是（1，1），
所以切线方程为y﹣1＝3（x﹣1），
即y＝3x﹣2．
18．（12分）已知命题p：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：m2﹣15m ＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．
【解答】解：命题p为真命题时，
将方程改写为，
只有当1﹣m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
若命题q为真命题时，
0＜m＜15，
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，
∴p，q中有一真一假；
当p真q假时，无解；
当p假q真时，，解得
综上：m的取值范围为
19．（12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．
【解答】解：（Ⅰ）设双曲线的方程是，则，．又∵c2＝a2+b2，∴b2＝1，．
所以双曲线的方程是3x2﹣y2＝1．
（Ⅱ）①由
得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2＝0，
由△＞0，且3﹣k2≠0，得，且．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，
所以x1x2+y1y2＝0．
又，，
所以y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1＝1，
所以，解得k＝±1．
20．（12分）如图，已知四边形ABCD内接于抛物线x2＝y，点C（3，9），AC平行于x轴，BD平行于该抛物线在点C处的切线，∠BAD＝90°．
（Ⅰ）求直线BD的方程；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（Ⅰ）y′＝2x，x＝3时，y′＝6，A（﹣3，9）
设直线BD的方程为y＝6x+b，代入抛物线x2＝y，可得x2﹣6x﹣b＝0
设B（x1，y1），D（x2，y2），∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣b
∵∠BAD＝90°，
∴k AD k AB＝•＝（x2﹣3）（x1﹣3）＝﹣b﹣3×6+9＝﹣1∴b＝﹣8，
∴直线BD的方程为y＝6x﹣8；
（Ⅱ）b＝﹣8，x2﹣6x﹣b＝0的根为2，4，对应的纵坐标为4，16，
∴四边形ABCD的面积S＝＝36．
21．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P
为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B 并延长分别交直线x＝4于P，Q两点，问是否为定值？若是，求出此定值；
若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）已知椭圆的离心率为，
不妨设c＝t，a＝2t，即，其中t＞0，
又△F1PF2面积取最大值时，
即点P为短轴端点，因此，解得t＝1，
则椭圆的方程为；
（2）设直线AB的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立可得（3+4t2）y2+6ty﹣9＝0，
则，，
直线AA1的方程为，
直线BA1的方程为，
令x＝4，可得，，
则，，
即有，
即为定值0．
22．（12分）已知椭圆C：2x2+3y2＝6的左焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，求线段AB的长；
（Ⅲ）设线段AB的中点为P，O为坐标原点，直线OP交椭圆C交于M、N两点，是否存在直线l使得|NP|＝3|PM|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：2x2+3y2＝6，即为
+＝1，可得a＝，b＝，c＝1，
即有e＝＝；
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，即为x＝﹣1，
代入椭圆方程可得y2＝，解得y＝±，
则线段AB的长为；
（Ⅲ）由F（﹣1，0），设直线AB：x＝my﹣1，代入椭圆方程，
可得（3+2m2）y2﹣4my﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2＝，
即有中点P的坐标为（，），
直线OP：y＝﹣x，代入椭圆方程，可得
x＝±，
可设x N＝，x M＝﹣，
假设存在直线l使得|NP|＝3|PM|，
即有＝3，
即为﹣＝3（﹣﹣），解得m＝±，
则存在直线l：x＝±y﹣1，使得|NP|＝3|PM|．。