2017_2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期文科期末数学试卷解析

导数的运算
10 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第10题5分
已知双曲线
的渐近线方程为
，则它的离心率为
．
答案
解析
，
．
∴
．
故答案为： ．
考点
解析几何 双曲线 双曲线的离心率
双曲线的渐近线
11 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第11题5分
解析 （1）
是平行四边形，
．
∴ 为 中点．
∵ 为 中点．
∴在
中， 为中位线．
∴
．
∵
面，
面．
∴
面．
（2） ∵ 面
．
面
．
∴
．
∵
，
．
∴面．
∵
面．
∴
面．
（3） 在
中．
∵ 为 中点，
．
∴
为等腰三角形．
∴
．
．
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 空间几何体体积和表面积的计算
点、直线、平面间的位置关系
空间中的平行
椭圆 长为（ ）．
的两个焦点 ， ，点 是椭圆上的任意一点（非右顶点），则
A.
B.
C.
D.
的周
答案 B
解析 椭圆定义， 周长为 故选： ．
． ．
考点
解析几何 椭圆 椭圆的定义、图形及标准方程
6 2017年北京丰台区高三下学期高三二模理科第6题5分 共3个 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（ ）．
空间中的垂直
19 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第19题15分
已知椭圆
的右焦点为
，离心率为 ．
（1） 求椭圆 的方程．
（2） 过 且斜率为 的直线交椭圆于 ， 两点， 是直线 直线 ， ， 的斜率成等差数列．
上任意一点，求证：
答案 （1）
．
（2） 证明见解析．
A.
B.
C.
D.
答案 C 解析 如图所示，
棱长 且
，
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴最大侧面的面积为 ，故选 ．
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 空间几何体体积和表面积的计算
三视图
7 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第7题5分
如果函数
存在极值，则实数 的取值范围是（ ）．
2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二 上学期文科期末数学试卷
一、一．选择题．（每小题5分，共40分）
1 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第1题5分
抛物线
的焦点坐标为（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析
，
．
故选： ．
考点
解析几何 抛物线 抛物线的定义、图形及标准方程
是等比数列． ，．
∵ ∴
∴
（2）
． 是等差数列．
． ，．
． ．
．
．
考点
数列 数列的概念 数列的递推公式
数列的前n项和
等差数列 等差数列的性质
等比数列 等比数列的概念和通项
16 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第16题12分
已知函数
，
．
（1） 如果点
角 终边上一点，求 的值．
2 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上）．
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析
．
故选： ．
考点
函数与导数 导数及其应用 导数概念及其几何意义
3 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第3题5分
双曲线
的渐近线方程为（ ）．
三、三．解答题．（本题共6个小题，共80分）．
15 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第15题12分
已知 是等比数列，
，
，数列 满足
，
，且
是等差数
列．
（1） 求数列 和 的通项公式．
（2） 求数列 的前 项和．
答案 （1） （2）
；
．
．
解析 （1） 数列 ∴
已知函数
．
（1） 若 ，求曲线
在
处的切线方程．
（2） 若 在
上递增，求实数 的取值范围．
（3） 当 时，求证：对于任意的
，均有
．
答案 （1）
．
（2）
．
（3） 证明见解析．
解析 （1）
时
．
．
．
．
切线方程： ．
（2）
．
∵在
上递增．
∴
时，
时．
即
．
∴
．
令
．
．
，
．
∴ 单调递增，
．
∴ ，即
．
（3）
．
令
．
．
，
， 单调递增．
解析 （1）
，
，
． ．
∴椭圆 的方程为
（2） 的方程为：
． ．
设
，
．
，
．
．
．
，
，
．
． ∴ ， ， 的斜率成等差数列．
考点
数列 等差数列 等差数列的性质
解析几何 椭圆 椭圆的定义、图形及标准方程
椭圆的性质
直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线的位置关系
20 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第20题15分
，．
考点
函数与导数 导数及其应用 利用导数求函数的极值与最值
13 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第13题5分
已知函数 是定义在 上的可导函数，直线
与函数 的图像相切，如图所示，则
函数
的图像在点
处的切线方程为
．
答案
解析
，
．
，
．
．
∴切线方程为： ．
故答案为： ．
考点
函数与导数 导数及其应用 导数概念及其几何意义
解析几何 直线与方程 直线的方程
14 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第14题5分
某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 种商品，第二天售出 种商品，第三
天售出 种商品：前两天都售出的商品有 种，后两天都售出的商品有 种，则该网店．
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析
∴． 故选： ．
． ．
考点
函数与导数 导数及其应用 利用导数求函数的极值与最值
8 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第8题5分
如图，在棱长为 的正方体 上（含边界）一动点，满足
中，点 ， 是棱 ， 的中点， 是底面 ，则线段 长度的取值范围是（ ）．
已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥的体积等于
．
答案
解析 故答案为：
． ．
．
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 空间几何体体积和表面积的计算
12 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第12题5分
若函数
在 处取极值，则
．
答案
解析
，
检验，满足．
故答案为： ．
奇偶性
导数及其应用 利用导数求函数的极值与最值
18 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第18题13分
如图，在四棱锥
中，四边形
是平行四边形，
且
，
， 平面
．
（1） 为棱 的中点，求证：
平面
（2） 求证：平面
平面 ．
（3） 若
，
，求四棱锥
． 的体积．
答案 （1） 证明见解析． （2） 证明见解析． （3） ．
当 不与 轴垂直时，设 的方程为
，
因为 与圆相切于第二象限，故 ，
由题意
，解得
，
所以直线 的方程为
．
故选 ．
考点
解析几何 直线与方程 直线的倾斜角与斜率
直线的方程
直线的位置关系
圆与方程 圆的方程
直线与圆的位置关系
5 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第5题5分
已知函数
为奇函数．
（1） 求 的值．
（2） 求函数 在
的最小值．
（3） 若函数 在区间
上单调递减，求实数 的取值范围．
答案 （1） （2） （3）
． ．
．
解析 （1） 为奇函数．
∴
．
．
∴．
（2）
，
．
．
令
，
．
∴ （3） ∵
∴ ∴ ∴
极大值 ． ． ．
．
在
单调递减．
．
，
．
，
．
极小值
考点
函数与导数 函数 单调性
，
， 单调递增．
∴
，
．
．
∴
使
．
∴在
单调递增，在
单调递减．
∴
．
．
．
∴
．
∴
．
考点
函数与导数 导数及其应用 导数概念及其几何意义
利用导数研究函数的单调性
三角函数与解三角形 三角函数 三角函数的定义
解析几何 直线与方程 直线的方程
（1）第一天售出但第二天未售出的商品有
种．
（2）这三天售出的商品最少有
种．
答案 1: 2:
解析 （1）由容斥原理可知第一天售出但第二天未售出的商品有
（2）由（ ）知，前两天售出的商品种类为
种，
当第三天售出的 种商品都是第一天或第二天售出的商品时，
这三天售出的商品种类最少为 种．
故答案为 ．
种．
考点
集合与常用逻辑用语 集合之间的关系与运算 集合的运算
A.
B.
C.
D.
答案 D 解析 面
，∴ 在 上即可．
，
．
故选： ．
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 空间几何体
空间中的垂直
二、二．填空题．（每小题5分，共30分）．
9 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第9题5分
已知
，则
．
答案
解析
，
．
故答案为： ．
考点
函数与导数 导数及其应用 导数概念及其几何意义
（2） 设
，求 的单调增区间．
答案 （1）
．
（2）
解析 （1）
，
（2）
，． ．
．
．
∴ 单调增区间为
考点
函数与导数 函数 单调性
， ．
． ，
三角函数与解三角形 三角函数 正弦函数的图象与性质
三角恒等变换 和差角公式
17 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第17题13分
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析
．
故选： ．
考点
解析几何 双曲线 双曲线的定义、图形及标准方程
4 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第4题5分 共2个
如果过原点的直线 与圆
切于第二象限，那么直线 的方程是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 B 解析 当 垂直于 轴时， 与圆相离，