2016届陕西省西安中学高三第三次模拟数学(理)试题

西安中学
高三年级第三次模拟考试理科数学试题
第I 卷(选择题，共60分〕
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中只有一项是
符合题目要求的．
1、设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，假设A ∩B=∅，则实数a 的取值范围是〔 〕
(A)(,1]-∞-
(B)(,1]-∞
(C)[1,)-+∞
(D)[1,)+∞
2、复数1cos sin z x i x =-，2sin cos z x i x =-，则21z z •=
(A)1
(B)2
(C)3 (D)4
3、在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，2
12n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的〔 〕
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
4、某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的投影长度为6，在侧视图中的投影长度为5，则该长方体的全面积为 (A)253+ (B)456+ (C)6
(D)10
5、一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，
假设a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是〔 〕
(A)13，12 (B)12，13 (C)13，13 (D)13，14 6、等比数列}{n a 中，,60,404321=+=+a a a a 78a a +=
(A)135 (B)100 (C)95 (D)80 7、已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,假设a ⊥b ,则y x 39+的最小值为〔 〕
(A) 32
(B) 2
(C) 9
(D) 6
8、已知ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为32
，则这个三角形的周长是〔 〕
(A)15
(B)18 (C)21 (D)24
9、已知双曲线2
2
1(00)mx ny m n -=>>、的离心率为2，则椭圆122=+ny mx 的离心率为
(A)
3
3 (B)
3
3
2 (C)
3
6 (D)
3
1 10、如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0,—1)，
B (π,—1)，
C (π,1)，
D (0,1)，正弦曲线f (x )=sin x 和余
弦
曲线g (x )=cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )
(A)π
21+
(B)π
221+
(C)π1
(D)π
21
11、函数()f x 的定义域为[]1,1-，图像 如图1所示；函数()g x 的定义域为
[]1,2-，
图像如图2所示..{}
(())0A x f g x ==,
{}(())0B x g f x ==,则A ∩B 中元素的个
数为〔 〕.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
12、设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，假设存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，假设函数f (x )＝ax 2
－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次
不动点”，则实数a 的取值范围是( )
(A)(－∞，0)
(B)⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12
(C)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ (D).⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12
第II 卷(非选择题，共90分〕
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。

13、已知抛物线2
y ax =的准线方程是1
4
y =-
，则a = . 14、8
()x y z ++的展开式中项3
4
x yz 的系数等于 .(用数值作答)
15、已知函数14
cos 042()log (3)1 4x x f x x x π
⎧≤≤⎪=⎨-+>⎪⎩，
，
，假设实数a b c 、、互不
相等，且满足)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是 .
16、给出如下四个命题： 〔1〕图①中的阴影部分可用 集合
(){}
2
2,20x y x
y y +-<；
〔2〕设两个正态分布2111(,)(0)N μσσ>和2222(,)(0)N μσσ>曲线如图②所示,则1212,μμσσ<<； 〔3〕已知边长为2的等边三角形ABC ，过C 作BC 的垂线l ，如图③，则将ABC 绕l 旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是23π；
〔4〕执行如图④所示的程序框图，输出S 的值是1
2
-. 其中正确命题的序号是______________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、〔此题总分值12分〕
如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点，02
βαπ
<<<<π． 〔I 〕证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 〔II 〕假设34πα=,()2
cos 3
αβ-=，求sin 2β的值；
18、〔本小题总分值12分〕
在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝2， AA 1＝2，D 为AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，CO ⊥侧面ABB 1A 1. 〔I 〕证明：CD ⊥AB 1；
〔II 〕假设OC ＝OA ，求直线C 1D 与平面ABC 所成角的正弦值．
19、〔本小题总分值12分〕
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：
3
1()f x x =,2()5x
f x =,3()2,f x =421()21x x
f x -=+，5()sin()2
f x x π
=+，6()cos f x x x =． 〔Ⅰ〕从中任意拿取2张卡片，假设其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。

在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
〔Ⅱ〕现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，假设取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
20、〔本小题总分值12分〕
已知P 是圆22:4C x y +=上的动点，P 在x 轴上的射影为'P ，点M 满足'PM MP =，当P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .
〔Ⅰ〕求曲线E 的方程；
〔Ⅱ〕经过点(0,2)A 的直线l 与曲线E 相交于点,C D ，并且3
5
AC AD =，求直线l 的方程.
21、〔本小题总分值12分〕
已知函数1ln(1)
()x f x x
++=
． 〔I 〕求函数()f x 的图象在点1x =处的切线的斜率； 〔II 〕假设当0x >时，()1
k
f x x >+恒成立，求正整数k 的最大值．
请考生在第〔22〕、〔23〕、〔24〕三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 22、〔本小题总分值10分〕[选修4﹣1：几何证明选讲]
如图，等腰梯形ABDC 内接于圆，过B 作腰AC 的平行线BE 交圆于
F ，
过A 点的切线交DC 的延长线于,1,2P PC ED PA ===．
〔I 〕求AC 的长； 〔II 〕求证：BE EF =.
23、〔本小题总分值10分〕[选修4－4：坐标系与参数方程]
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为2cos (1sin x t t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩为参数，0)απ<<，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.
〔I 〕求曲线C 的直角坐标方程；
〔II 〕设点P 的直角坐标为(2,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且28||||3
PA PB ⋅=
，求tan α的值.
24、〔本小题总分值10分〕[选修4—5：不等式选讲]
设函数5
(),2
f x x x a x R =-
+-∈． 〔I 〕求证：当2
1
-
=a 时，不等式ln ()1f x >成立． 〔II 〕关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值．
高三年级第三次模拟考试理科数学试题
参考答案及评分标准
一、选择题：
13.a =1
15. (8 23)，
16.〔1〕〔3〕
三、解答题：
17.〔1〕[证明]由题意得，)sin ,(cos αα=OA ，)sin ,(cos ββ=OB OB OA ⋅∴=βαβαsin sin cos cos + ………………2分
又因为OA 与OB 夹角为βα-1
OA ∴)cos()βαβα-=- ………………………4分 综上cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立． ……………………………6分 〔II 〕方法一: ()2
cos 3
αβ-=
， 1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=9
1
- …8分
3=4απ，即9
1
)223cos(-=-βπ， ………………………………10分
9
1
2sin =∴β． ………………………………12分
方法二: ()2cos 3αβ-=
，3
=4
απ，即32sin 22cos 22=+-ββ， …………8分
322cos sin =-∴ββ，两边平方得，9
8
2sin 1=-β ……………………………10分 9
1
2sin =
∴β． …………………………………12分 18、
解：(1)证明：由题意可知，在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD AB ＝2
2
，在Rt △ABB 1中，
tan ∠AB 1B ＝AB BB 1＝2
2
.
又因为0<∠ABD ，∠AB 1B 2
π
<
，所以∠ABD ＝∠AB 1B ，
所以∠ABD ＋∠BAB 1＝∠AB 1B ＋∠BAB 1＝
2
π
，
所以AB 1⊥BD .
又CO ⊥侧面ABB 1A 1，且AB 1⊂侧面ABB 1A 1，∴AB 1⊥CO .
又BD 与CO 交于点O ，所以AB 1⊥平面CBD .
又因为BC ⊂平面CBD ，所以BC ⊥AB 1. (6分)
〔II 〕如下图，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系，则A (0，－
63，0)，B 〔－2 33，0，0〕，C 〔0，0，6
3〕，B 1〔
0错误！未找到引用源。

，0〕，D 〔
3
3
，0，0〕. 又因为CC 1→＝2AD →，所以C 1〔2 33
，，63〕.所以AB →＝〔－2 33，63，0〕，AC →
＝〔0，63，63〕，
DC 1→
＝〔33
，，63〕。

设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AC →·
n ＝0，
得00x y y z ⎧+=⎪⎪+=错误！未找到引用源。

令y ＝2，则z ＝－2，x ＝1， 故n ＝(1，2，－2)是平面ABC 的一个法向量．
设直线C 1D 与平面ABC 所成的角为α，则sin α＝|DC 1→·n ||DC 1→||n |＝3 55
55. (12分)
19．解：〔Ⅰ〕()3
1f x x =为奇函数；()25x
f x =为偶函数；()32f x =为偶函数；()421
21
x x f x -=+为奇函
数；()5sin()2
f x x π
=+为偶函数; ()6cos f x x x =为奇函数.
所有的基本领件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本领件总数为11
2333C C C + .
满足条件的基本领件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本领件个数为23C
故所求概率为2311233314
C P C C C ==
+, 〔Ⅱ〕ξ可取1，2，3，4． 10
3
)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，
20
1
)4(,203)3(1313141
115121613141315121613=
⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ；
故ξ的分布列为
.47201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ∴ξ的数学期望为.47
20、【解析】〔I 〕设(,)M x y ，则(,2)P x y 在圆2
2
:4C x y +=上，所以22
44x y +=，即
2
214
x y +=………..4分 〔II 〕经检验，当直线l x ⊥轴时，题目条件不成立，所以直线l 存在斜率.设直线:2l y kx =+.设1122(,),(,)C x y D x y ，则
22
221
(14)161204
2x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩
.………6分 22(16)4(14)120k k ∆=-+⋅>，得234
k >
. 1221614k x x k +=-
+….①，122
12
14x x k =+……②. ……………8分 又由35AC AD =，得1235x x =，将它代入①，②得21k =，1k =±〔满足23
4
k >〕.
所以直线l 的斜率为1k =±.所以直线l 的方程为2y x =±+………………12分
21、【解析】22
-ln (+1)
1+1
1()=-+x
x x f x x x
'（）, 11
(1)=-1+-ln 2=-(+ln 2)22
f '∴………3分
〔2〕当0>x 时，1)(+>x k x f 即k x
x x x h >+++=)]
1ln(1)[1()(对0>x 恒成立.
即)(x h 〔0>x 〕的最小值大于k .……5分
2)
1ln(1)(x x x x h +--=
'，记()1ln(1)(0)x x x x φ=--+>
则01)(>+='x x
x ϕ，所以)(x ϕ在),0(+∞上连续递增. …………7分
又02ln 22)3(,03ln 1)2(>-=<-=ϕϕ，所以)(x ϕ存在唯一零点0x ，且满足)3,2(0∈x ，
)1ln(100++=x x .………………9分
由0x x >时，00;0)(,0)(x x x h x <<>'>ϕ时，0)(<x ϕ，0)(<'x h 知：
)(x h 的最小值为)4,3(1)]
1ln(1)[1()(00
000∈+=+++=
x x x x x h .
所以正整数k 的最大值为3. ……………………12分
22.解：〔I 〕1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ，…2分 又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠
CBA PAC ∆∆∴∽，AB
AC
AC PC =∴
，…………4分 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC …………5分 〔II 〕 2==AC BE ，2=CE ，而 EF BE ED CE ⋅=⋅， …………8分22
12=⋅=
∴EF ，
BE EF =∴． …………10分
23.【解析】〔1〕当0ρ>时，将22x y ρ=
+，2
2
sin y x y
θ=
+，2
2
cos x x y
θ=
+代入
2sin 4cos ρθθ=，得24y x =. 经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式.
所以曲线C 的直角坐标方程为2
4.y x =……………………………………………5分 〔II 〕将2cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩代入24y x =，得2
2sin
(2sin 4cos )70t t ααα⋅+--=，
所以122
728
||sin 3t t α=
=，…………………………………………………………8分 所以23sin 4α=，3πα=或23
π
，即tan 3α=或tan 3α=-.…………10分
24.【解析】(1)证明：由51()||||22f x x x =-++1222153225222x x x x x ⎧
-+ <-⎪⎪
⎪
= -≤≤⎨⎪
⎪
- >⎪⎩
得函数()f x 的最小值为3，从而()3f x e ≥>，所以ln ()1f x >成立. ………..5分
(2) 由绝对值的性质得555
()|||||()()|||222
f x x x a x x a a =-+-≥---=-， 所以()f x 最小值为5||2a -，从而5
||2
a a -≥，
解得54a ≤，因此a 的最大值为5
4
.………………………………………………………10分。