2017年文(全国Ⅲ卷)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）
文科数学
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2017·全国Ⅲ文，1)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．(2017·全国Ⅲ文，2)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．(2017·全国Ⅲ文，3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A ．月接待游客量逐月增加
B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．(2017·全国Ⅲ文，4)已知sin α－cos α＝43，则sin2α等于( ) A ．－79 B ．－29 C ．29 D ．79
5．(2017·全国Ⅲ文，5)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
3x ＋2y －6≤0，
x ≥0，
y ≥0，
则z ＝x －y 的取值范围是( )
A．[－3,0] B．[－3,2] C．[0,2] D．[0,3]
6．(2017·全国Ⅲ文，6)函数f(x)＝1
5sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x＋
π
3＋cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x－
π
6的最大值为()
A．6
5B．1 C．
3
5D．
1
5
7．(2017·全国Ⅲ文，7)函数y＝1＋x＋sin x
x2的部分图象大致为()
8．(2017·全国Ⅲ文，8)执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()
A．5 B．4 C．3 D．2
9．(2017·全国Ⅲ文，9)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()
A．π B．3π
4C．
π
2D．
π
4
10．(2017·全国Ⅲ文，10)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．A 1E ⊥DC 1 B ．A 1E ⊥BD C ．A 1E ⊥BC 1 D ．A 1E ⊥AC
11．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 的离心率为( ) A ．63 B ．33 C ．23 D ．13
12．(2017·全国Ⅲ文，12)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a 等于( ) A ．－12 B ．13 C ．1
2 D ．1
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2017·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.
14．(2017·全国Ⅲ文，14)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.
15．(2017·全国Ⅲ文，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.
16．(2017·全国Ⅲ文，16)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －12>1的x 的取值范围是________．
三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分
17．(2017·全国Ⅲ文，17)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a n 2n ＋1的前
n 项和．
18．(2017·全国Ⅲ文，18)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．
19．(2017·全国Ⅲ文，19)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.
(1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE 与四面体ACDE的体积比．
20．(2017·全国Ⅲ文，20)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
21．(2017·全国Ⅲ文，21)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a<0时，证明f(x)≤－3
4a－2.
选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(2017·全国Ⅲ文，22)[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
23．(2017·全国Ⅲ文，23)[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；
(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．
参考答案
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【解析】∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．∴A∩B中元素的个数为2.
故选B.
2．【答案】C
【解析】∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.
3．【答案】A
【解析】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A.
4．【答案】A
【解析】∵sin α－cos α＝4
3，∴(sin α－cos α)
2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝
16
9，∴sin 2α＝－
7
9.
故选A.
5．【答案】B
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，即z max＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，即z min＝0－3＝－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．
故选B.
6．【答案】A
【解析】方法一 ∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π6
＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋3
2cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x
＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π3，
∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值6
5，故选A. 方法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x ＝π
2，
∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－x
＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤6
5.
∴f (x )max ＝6
5，故选A. 7．【答案】D
【解析】当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin x
x 2→＋∞，故排除选项B. 当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin x
x 2＞0，故排除选项A ，C ，故选D.
8．【答案】D
【解析】假设N ＝2，程序执行过程如下： t ＝1，M ＝100，S ＝0，
1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－100
10＝－10，t ＝2， 2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－10
10＝1，t ＝3， 3＞2，输出S ＝90＜91.符合题意．
∴N ＝2成立．显然2是N 的最小值．故选D.
9．【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．
∴r ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
122＝32，∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4. 故选B.
10．【答案】C
【解析】方法一 如图，∵A 1E 在平面ABCD 上的投影为AE ，而AE 不与AC ，BD 垂直，
∴B ，D 错；
∵A 1E 在平面BCC 1B 1上的投影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1，∴A 1E ⊥BC 1，故C 正确； (证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ，又CE ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面CEA 1B 1. 又A 1E ⊂平面CEA 1B 1，∴A 1E ⊥BC 1)
∵A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故A 错，故选C.
方法二 (空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－1，DC 1→＝(0,1,1)，BD →＝(－1，－1，0)，BC 1→＝(－1,0,1)，AC →＝(－1,1,0)，∴A 1E →·DC 1→≠0，A 1E →·BD →≠0，A 1E →·BC 1→＝0，A 1E →·AC →≠0，∴A 1E ⊥BC 1，故选C.
11．【答案】A
【解析】由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2ab
a 2＋
b 2
＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝c
a ＝a 2－
b 2a ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
＝63，故选A.
12．【答案】C
【解析】方法一 f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1) ＝(x －1)2＋a [e x －1＋e －(x －1)]－1，
令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1.
∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，∴函数g (t )为偶函数．
∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．
又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0，∴2a －1＝0，解得a ＝1
2.故选C. 方法二 f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .
e x －1＋e －x ＋1≥2e x －1·e －x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”． －x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”．
若a ＞0，则a (e x －1＋e －x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12. 若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 故选C.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．【答案】2
【解析】∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，∴a·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.
14．【答案】5
【解析】∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±
3a x . 又双曲线的一条渐近线方程为y ＝3
5x ，∴a ＝5.
15．【答案】75°
【解析】如图，由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴sin B ＝22.
又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°.
16．【答案】⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞
【解析】由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞1
2三段讨论． 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋1
2＞1，
解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.
当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立．
当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立．
综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞.
三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答)
17．解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，
故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，
两式相减，得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1
(n ≥2)． 又由题设可得a 1＝2，满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1
. (2)记⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n .
由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1
， 则S n ＝11－13＋13－15＋…＋
12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.
18．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为
2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，
所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.
Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为
36＋25＋7＋490
＝0.8.
因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.
19．(1)证明 如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO .
因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .
又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO .
又DO ∩OB ＝O ，所以AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD .
(2)解 连接EO .
由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO .
在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.
又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.
由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .
又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .
故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12
，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.
20．(1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下：
设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.
又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2
＝－12， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况．
(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－m 2，
y －12＝x 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－m 2，y ＝－12.
所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2 r 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．
21．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x
. 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，
故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明 由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12a －1－14a ， 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a ＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x －1.
当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；
当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.
所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0，所以当x >0时，g (x )≤0.
从而当a <0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a ＋1≤0，即f (x )≤－34a －2.
22．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；
消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧ y ＝k (x －2)，
y ＝1k (x ＋2).
消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)． 所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．
(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．
联立⎩
⎪⎨⎪⎧ ρ2
(cos 2θ－sin 2θ)＝4，
ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.
代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.
23．解 (1)f (x )＝⎩⎨⎧ －3，x ＜－1，
2x －1，－1≤x ≤2，
3，x ＞2.
当x ＜－1时，f (x )≥1无解；
当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.
所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．
(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .
而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，
当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.
故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤
－∞，54.。