2019秋高三数学上学期期末试题汇编：14.解三角形 1 Word版含解析

（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）
16.锐角的内角，，的对边分别为，，.若，则的取值范围是__________．【答案】
【解析】
【分析】
本道题结合余弦定理处理,结合锐角这一条件,计算出角A的大小,化简
,计算范围,即可.
【详解】运用余弦定理,,代入,得到
,结合正弦定理,可得
所以,而,所以,
而,解得,所以
,而
所以
【点睛】本道题考查了余弦定理和三角值化简,难度较大.
（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）
10.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A＝3tan B，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．
【详解】解：∵a cos B﹣b cos A，
∴由正弦定理化简得：sin A cos B﹣sin B cos A sin C sin（A+B）sin A cos B cos A sin B，
整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，
∴cos A cos B＞0，
∴tan A＝3tan B；
∴则222．
∴可得的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）
9.在中，角所对的边分别是，已知，且，则的面积是（）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简已知条件，并用正弦定理转为边的形式，然后用余弦定理列方程组，解方程组求得的长，由三角形面积公式求得三角形的面积.
【详解】依题意有，
即或.
当时，由正弦定理得①，
由余弦定理得②，
解由①②组成的方程组得，
所以三角形面积为.
当时，，三角形为直角三角形，，
故三角形面积为.
综上所述，三角形的面积为或，故选D.
【点睛】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式，考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查了化归与转化的数学思想方法.在化简的过程中，要注意运算化简，当
时，可能是或者，即解的情况有两种，不能直接两边约掉.
【点睛】解三角形常利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等.
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识.
（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）
15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上
这段文字写成公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得：c＝2a＝2，a，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】解：∵AB＝2BC＝2，
∴由题意可得：c＝2a＝2，a，
∵（sin A﹣sin B）（sin A+sin B）＝sin A sin C﹣sin2C，
∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，
∴S ac．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）
10.在中，内角所对的边分别为，已知，的面积，且
，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为，所以由余弦定理，得，即，再由正弦定理得，即，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴.
∵，∴，∵，解得，∴，即，∴
.故选C．
（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）
16.已知的内角分别为,，，，且的内切圆面积为,则的最小值为__________．
【答案】6
【解析】
又的内切圆面积为，则的内切圆半径，则的面积
由余弦定理可得
将代入整理得
即解得（舍），
即（当且仅当时取等号），故
的最小值为6.
即答案为6.
（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）
16.中，内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理将已知化简可得角B，再由余弦定理和基本不等式得ac的最大值，即可得到面积的最大值.
【详解】由及正弦定理得，
，即，
又，于是可得，
即，.
在中，由余弦定理得，即，
又因为，，
由此可得，当且仅当时等号成立，
面积，
故面积最大值为.
故答案为：
【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理和三角形面积公式的应用，考查利用基本不等式求最值问题，属于
常考题型.
（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）
14.的内角所对的边分别为，已知，，则的最小值为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先由正弦定理将化为，，可求出，再由余弦定理可得，即可的a的最小值.
【详解】因为，所以，因为，所以
，由余弦定理，得，即.
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，结合基本不等式即可求三角形边的最值.
（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）
9.已知锐角外接圆的半径为2，，则周长的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理解得角C，再利用正弦定理得出a+b+c关于B的三角函数，从而得出周长的最大值．
【详解】∵锐角外接圆的半径为2，，
∴即，
∴，又为锐角，
∴，
由正弦定理得，
∴a＝4sin A，b＝4sin B，c＝
∴a+b+c＝24sin B+4sin（B）＝6sin B+2cos B+24sin（B）+2，
∴当B即B时，a+b+c取得最大值46．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，正弦定理解三角形，属于中档题．
（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）
16.在锐角中，，,在边上，并且，，则的面积为__________．【答案】
【解析】
【分析】
在中，由正弦定理，可得到，在中，由正弦定理
，可得到，由是锐角，可知，
，结合三角形的面积公式可得到答案。

【详解】在中，由正弦定理得：，则，
在中，由正弦定理得：，则，
因为，，所以，由于三角形是锐角三角形，故，则，故的面积为.
【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题。

（广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）
16.在平面凸四边形中，（为常数），若满足上述条件的平面
凸四边形有且只有个，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
画出图像，计算出点到直线的距离，和的长度，当的取值范围就是.
【详解】画出图像如下图所示，到直线的距离为，关于的对称点是.由于
，根据余弦定理得，设，则
，，故
，所以.当在线段（除两端点）上运动时，符合“平面凸四边形
有且只有个”这个要求.故的取值范围是，即.
【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查余弦定理的两种表示形式，考查两角差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，考查解直角三角形以及凸四边形的概念，属于中档题.余弦定理有两种表示形式，一个是整式，一个是分式，即，在解题过程中要熟练运用对应的形式.
（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题）
5.已知△的面积为，三个内角，，的对边分别为，，，若，，则（）
A. 2
B. 4
C.
D.
【答案】A
【解析】
分析：由三角形面积公式及余弦定理代入条件可得，从而可得，进而得解.
详解：△的面积中.
由，可得.
化简得，即.
所以，解得或（舍）.
所以.
所以.
故选A.
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意应用与该题相关的知识点以及题中所给的量，建立相应的等量关系式，最后求得结果.
（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）
11.在斜中，设角，，的对边分别为，，，已知，若是角的角平分线，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知，可得结合余弦定理可得又是角的角平分线，且，结合三角形角平分线定理可得
，再结合余弦定理可得的值，则可求.
【详解】
由已知，根据正弦定理可得又由余弦定理可得
故即结合三角形角平分线定理可得，再结合余弦定理可得
，
，由，
可得
故
故选B.
【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形角平分线定理，属中档题.
（湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题）
10.在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】。

故选B。

点睛：解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、
统一结构”)是使问题获得解决的突破口．
【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．
【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．
【此处有视频，请去附件查看】
【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，灵活运用余弦定理和三角形面积公式即可，属于基础题型.
（湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）
16.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则，，必须满足__________．【答案】
【解析】
【分析】
由整理得：，从而可判断，利用余弦定理得，整理得：，再利用不等式的性质即可得解。

【详解】因为,
所以,
整理得：,所以,即边最大，
又，所以，整理得：.
所以，
又，，
所以.即：
【点睛】本题主要考查了两角和差的正弦、余弦公式，考查了余弦定理及不等式的性质，考查了转化思想，属于中档题。

（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）
10.
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过正弦定理可得的范围即为的范围，通过整理可求得，再利用的范围求得的取值范围，得到最终结果。

【详解】
即
又，即
本题正确选项：
【点睛】本题的关键是运用正弦定理将边长关系变为角的关系；需要注意的是在求解最终结果时，要注意角的范围对三角函数取值范围的影响。

【此处有视频，请去附件查看】
（广东省江门市2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）
15.已知、、是锐角△内角、、的对边，是△的面积，若，，，则_________．【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式得到角C的正弦值，进而得到角C的值，再由余弦定理得到边c的值.
【详解】根据三角形面积公式得到，因为三角形为锐角三角形，故得到角C为，再由余弦定理得到
故答案为：7.
【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
（广东省韶关市2019届高三1月调研考试数学理试题）
15.在中，分别是内角的对边，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理结合条件可得，再利用余弦定理可得，从而得到结果.
【详解】由正弦定理得：
整理得：，即
由余弦定理得：，，即，
故答案为：
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与
锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
（广东省韶关市2019届高三1月调研考试数学理试题）
4.已知三棱柱的底面边长和侧棱都相等，侧棱底面，则直线与所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接，由AC可得∠是直线与所成角，计算即可.
【详解】连接，因为AC，所以∠就是异面直线与所成角.在中，设，，由余弦定理可求得，
故选A.
【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．
（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）
16.在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则
面积为___．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意首先求得角A的大小，然后结合余弦定理和三角形面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：
，，，.
利用余弦定理有：，
结合，可得：，
则.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，余弦定理的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
（山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）
14.在中，角的对边分别为，若，，，则等于___．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用余弦定理直接计算即可得到答案.
【详解】由余弦定理知：，即，解得或b=-2(舍去），故答案为：1
【点睛】本题考查余弦定理的简单应用，属于简单题.
（山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）
7.在中，角的对边分别为，若，，则（）
A. 1
B. 2
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将已知条件利用正弦定理化简即可得到答案.
【详解】因为，由正弦定理，得，所以，故选:A
【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.
（陕西省汉中市重点中学2019届高三下学期3月联考数学（文）试题）
10.在中，角，，的对边分别为，，，若，，为钝角，点是边的中点，且，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由正弦定理将已知化简得，再利用中线的向量定理得到，平方运算得，可得
的面积.
【详解】由正弦定理将边化为角得到：，
即，又B为三角形的内角，∴sinB，
∴，.
因为，
所以，
即，
当时，解得，
所以的面积为.
故选D.
【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了三角形中线的求法、三角形面积公式，属于中档题.
（西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学）
9.中，，，，则外接圆的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件利用余弦定理可求c，再利用正弦定理求得外接圆半径，即可求得面积．
【详解】中，，，且，
由余弦定理可知，∴；
又，
∴由正弦定理可知外接圆半径为.
所以外接圆面积为.
故应选C.
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，及三角形外接圆面积的计算，属于基础题．
（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题）
16.已知平面四边形中，，，，，的面积为，
______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，根据余弦定理先求解出AB的长度；设则∠DBA＝，利用余弦定理建立方程组即可求解BD的长度．
【详解】设（）,BD=x,则AD=2x，
在△ABC中，由余弦定理可得：AC2＝BC2+AB2﹣2BC•AB•cos∠ABC=4，又，
∴AB=6,BC=4，又=, ∴；
在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝BD2+AB2﹣2BD•AB•cos(，
计算得到即，由+=1，即+=1，解得
-16+48=0，解得=12或4，又，>-,所以=12，x=,
故答案为.
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用和计算能力．属于中档题．
（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）
16.在如图所示的四边形区域中，，，,现园林绿化师计划在区域外以为边增加景观区域,当时，景观区域面积的最大值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
连接AC,得AD=在中，由余弦定理利用基本不等式，求得面积最大值即可.
【详解】连接AC,知为等腰三角形，且,AC=
在中，设，由余弦定理得，
即，当且仅当取等，的最大值为absin.
故答案为
【点睛】本题考查余弦定理，基本不等式求最值，是中档题.
（河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）
16.在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用余弦定理可得，再利用正弦定理可得，限制角C的范围，利用正弦函数的图像与性质即可得到结果.
【详解】由题意得，故，，
由正弦定理，得，所以，，
所以.
因为，所以，从而，
所以，
从而，即.
故答案为：
【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，考查转化与化归的数学思想.
（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学文试题）
15.在中，角，，的对边分别是，，，若，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先通过正弦定理，化简可得c=2b，在带入，可得,再利用余弦定理得出结果.
【详解】由题意可得，，由正弦定理得，c=2b，
又，则
由余弦定理可得：
故答案为
【点睛】本题考查了正余弦定理的合理运用，属于基础题.
（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）
6.
在中，，，的面积为则
A. 13
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值．
【详解】，，的面积为
解得：，
由余弦定理可得：
本题正确选项：
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）
10.在中，的对边分别为，已知，则的周长是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由sinB=2sinA，利用正弦定理得b=2a，由此利用余弦定理能求出a，b，从而得到的周长.
【详解】∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a，
由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC
=a2+4a2﹣2a2=3a2，
又c=，解得a=1，b=2．
∴ 的周长是
故选：C
【点睛】解三角形的基本策略
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）
3.钝角三角形ABC的面积是1，且AB= ，AC= 2，则( )
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式求出角，分别对角A分别为和两种情形进行讨论，然后利用余弦定理进行求解即可．
【详解】三角形的面积，
∴，则或，
若，则，
此时三角形为等腰直角三角形，不是钝角三角形，
若，则，此时满足条件，
故选A.
【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，注意要对角进行分类讨论，属于中档题.
（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）
17.在中，角，，的对边分别是，，.已知.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求的面积.
【答案】（I）；（II）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由，利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可得，结合角的范围可得结果；（Ⅱ）由余弦定理可得，求出的值，利用三角形面积公式可得结果.
【详解】（Ⅰ）∵，
∴由正弦定理可得，
，
因为，
∴，∴.
∵，∴.
（Ⅱ）∵，∴，
∵，∴，
∴.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.
另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
17.在中，角，，所对的边分别为，，，，的面积. （Ⅰ）求角；
（Ⅱ）求周长的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由可得到，代入，结合正弦定理可得到，再利用余弦定理可求出的值，即可求出角；（Ⅱ）由，并结合正弦定理可
得到，利用，，可得到
，进而可求出周长的范围。

【详解】解：（Ⅰ）由可知，
∴.由正弦定理得.
由余弦定理得，∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，.
的周长为
.
∵，∴，∴,
∴的周长的取值范围为.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查了三角形的面积公式，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题。

（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）
17.已知在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知函数，且方程有解，求实数t的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理将边化为角，化简可得，结合的范围即可得结果；（Ⅱ）易得函数关于点对称，故原题等价于，结合的范围求出的范围即可.
【详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理得．
即，又角为三角形内角，，
所以，
又因为为三角形内角，所以．
（Ⅱ）的图像关于对称，由，
可得，，
又为锐角三角形，所以，
，，所以．
【点睛】本题主要考查了通过正弦定理实现边角互化，三角函数的值域问题，解决问题的关键是通过函数的对称性转化为求三角函数的值域问题.
（陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
17.某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道（不
考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，，，.
（1）求服务通道的长度；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道最长？
【答案】（1）5（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接BD，在中应用余弦定理求得BD，进而在应用勾股定理求得BE。

（2）在中，应用余弦定理表达出AB与AE的等量关系，再结合不等式求得的最大值即可。

【详解】（1）连接，
在中，由余弦定理得：
，
.，
，
又，，
在中，.
（2）在中，，.
由余弦定理得，
即，
故，
从而，即，
当且仅当时，等号成立，
即设计为时，折线段赛道最长.
【点睛】本题考查了余弦定理及应用余弦定理解三角形的应用，不等式的用法，属于基础题。

（广东省汕尾市2019届高三普通高中3月教学质量检测理科数学试题）
17.在中，内角的对边分别为，已知．
求；
若，且面积，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A 的值．
（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b的值，根据余弦定理可得a的值．
【详解】（1）∵，
∴b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC，
由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC，
可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC，
可得：cosA=sinA，可得：tanA=，
∵A∈（0，π），
∴A=
（2）∵，且△ABC面积=bcsinA=2c×c×，
∴解得：c=2，b=4，
∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：a=2
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）
17.在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求的大小.
（2）若，求的面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由余弦函数的和角公式可求得，结合三角形内角的取值范围，可得，从而求得；
（2）利用三角形的面积公式以及（1）的结论，可得，利用基本不等式以及题中的条件，求得当且仅当时取等号，即面积的最大值为，得到结果.
【详解】（I）由得，
可得，
所以.
（II）
，
当且仅当时取等号，即面积的最大值为.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦和角公式，已知三角函数值求角，三角形的面积公式，基本不等式，属于简单题目.
（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）
14.在中，，，，则的角平分线，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知及正弦定理可求，可得，利用三角形内角和定理及已知可求，进而可求
的值，在中，由正弦定理即可解得的值．
【详解】
中，，，
由正弦定理可得：
，
为的角平分线
，。