7.最值问题1代数式的最值.

代数式的最值
1.若0x >，则4
23x x
++的最小值是_________．
【答案】2+2.设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．
【答案】3.若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是 ．
【答案】1
4
4.已知不等式()19a x y x
y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
2006年，陕西高考
【解析】C ；只需求()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的最小值大于等于9即可，
又(
)1111a x y x y a a a a x y y x ⎛⎫++=+⋅++++=+ ⎪⎝⎭
≥，
等号成立当且仅当x y
a y x
⋅=
即可，所以
219+≥，
即
2
80+≥
2
4-（舍），
所以4a ≥，即a 的最小值为4．
【答案】C ；
5.当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ． 【答案】1±，大，1．
6.正数a 、b 满足9a b =，则1
a b
+的最小值是 ．
【解析】9a b =
，1196a b b b +=+=≥，当1
33
b a ==，时取到等号．
【答案】6；
7.若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________． 【关键字】2007年，上海高考
【解析】方法1：
∵41x y +==≥，
∴2
11416xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤．当且仅当441x y x y =⎧⎨+=⎩即12
1
8x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时x y ⋅取得最大值116．
方法2：2
1141444216
x y x y x y +⎛⎫⋅=⋅⋅= ⎪
⎝⎭≤，以下同方法1 ． 【答案】1
16
8.设0,0x y ≥≥，2
2
12
y x +=
，则的最大值为 ．
【解析】法一：∵0,0x y ≥≥，22
12
y x +=，
∴
=
=
22
122y x ++
22
1222y x ++
=． 当且仅当22
12
y x +=
，即x =
，2y =时，
4．
法二：令cos x y θθ==⎧⎨⎩
（π
02θ≤≤），
则
cos =
=
当222cos 12sin θθ=+，即π
6
θ=
时，
4，
此时x =
，2y =．
9.已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛
⎫
⎛
⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为
【解析】∵1x y +=， ∴11111122529x y x y y x y x x y
x
y x y x y ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+
+=++=++ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
≥ 当且仅当
y x x y =，且1x y +=时等号成立， 即1
2
x y ==时等号成立 【答案】9；
10.设0a b >>，那么21
()
a b a b +-的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【关键字】2006年，江苏初赛
【解析】由0a b >>知0a b ->，故有2
()4
a b a b -≤．
∴222144()a a b a b a ++-≥≥．当且仅当224b a b a a =-⎧⎪
⎨=⎪⎩
即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时等号成立． ∴21
()
a b a b +-的最小值为4，故选C ．
【答案】C ；
11.设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值是 ． 【解析】令cos x θ=，sin y θ=
则()()()2
22211111sin cos 1sin 24
xy xy x y θθθ-+=-=-=-
∴sin20θ=时，上式最大值1，sin21θ=±时上式取最小值3
4
．
【答案】1；3
4；
12.已知()23
200x y x y
+=>>，，则xy 的最小值是 ．
【关键字】2004年，重庆高考
【解析】232x y +=，即232y x
xy
+=，∴()23200y x xy x y +=>>，．
∴223xy y x =+≥．
∴
2
0．
6xy ≥．当且仅当23y x =，即2x =，3y =时，取“=”．
∴xy 的最小值是6．
【答案】6；
14.已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．
【解析】设,,,x y m n θθϕϕ====，其中,(0,)2
π
θϕ∈，
则有cos sin sin ))mx ny ϕθϕθϕθ+=+=-
故当θϕ=时，mx ny +
15.0,0,4,a b a b >>+=求2
2
11a b a b ⎛
⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的最小值．
【解析】由4,a b +=，知2
(
)42a b ab +=≤． ∴22211112a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≥22
4444254.422ab ⎛⎫⎛
⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==≥ 当且仅当11
a b a b +=+，且a b =时取到等号，此时2a b ==．
故2211a b a b ⎛
⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的最小值是252．
【答案】25
2
16.设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2
y xz
的最小值是 ．
【关键字】2008年，江苏新课标高考
【解析】由230x y z -+=得32
x z
y +=，代入2y xz 得：229666344x z xz xz xz xz xz +++=≥，
当且仅当3x z =时取“=”．
【答案】3；
17.已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x = ，y = 时，xy 有最大值为 ． 【考点】代数式的最值
【答案】∵x 、y +∈R ，
∴2520x y +=≥2510x y ==时，可取等号． 故有10xy ≤，且当5,2x y ==时，取等号，此时xy 有最大值10．
18.若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是 ，此时a = ，b = ．
【答案】∵a 、b +∈R ，∴21()24a b ab +=≤，当且仅当1
2a b ==时，可取等号．
故ab 的最大值为14，此时1
2a b ==．
19.
求函数2y 的最小值．
【答案】设3t =，∴2
1y t t =
=+．
当3t ≥时，函数1y t t =+递增．故原函数的最小值为110
333
+=．
20.求函数a
x a x y +++=
2
21的最小值．
21.将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
()2
s =
梯形的周长梯形的面积
，则s 的最小值是 ．
【关键字】2010年，江苏高考
22.设实数x ，y 满足2
38xy ≤≤，249x y ≤≤，则3
4x y
的最大值是 ．
【关键字】2010年，江苏高考
【答案】27；
23.求函数
y =
【答案】原函数可化成：33
y =+
-
设33t ≥，则1
3(3)
y t t t =+-≥，
根据对勾函数的单调性知：1
y t t
=+在[3,)+∞上单调增，从而当3t =时，取到最小值，
从而113333y +-=≥，原函数的最小值为1
3
．
24.求函数2211
()1f x x x x x =++++的最小值．
【解析】2211()()()1f x x x x x =++++211
()()1x x x x =+++-
设1t x x =+，2t ≥，∴215
()()24
g t t =+-
当2t =-，即1x =-时，()f x 有最小值1．
【答案】1；
25.已知3x ≥，求4
y x x
=+
的最小值．
【答案】方法一：设()40k k
y x k x x
-=+
+>，则44k k y x x --=≥，
由k x x =，得x 3=，得9k =，所以5
6y x
-≥（当且仅当3x =时，取“=”号）．
又因为3x ≥，所以553x --≥，所以5513
6633
y x --=≥≥，
当且仅当3x =时，取“=”号．故当3x =时，函数4y x x =+的最小值是13
3
．
注：求解步骤：
①添项：
k x
； ②
k 的值．
方法二：设()4
f x x x =+，且213x x >≥，则
()()21212144f x f x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()()211212
40x x x x x x --=>，所以()()210f x f x ->， 即()()21f x f x >．从而()4
f x x x
=+
在[)3+∞，上单调递增， 所以()()1333f x f =≥，故当3x =时，函数4y x x =+取到最小值13
3．
26.
求函数2y =
【答案】
法一：设2t
，则21(2)y t t t ==+≥，
根据对勾函数的单调性知：1
y t t
=+在[2,)+∞上单调增，从而当2t =时，取到最小值，
从而15222y +=≥，原函数的最小值为5
2
．
［对勾函数的单调性以前介绍过，也可以直接证明得到：
设212t t >≥，121212121212
111
()()()t t y y t t t t t t t t --=-+-=-，由12120,4
t t t t -<>，得：1210t t ->，故12y y <．∴函数1
(2)y t t t =+≥为增函数．
事实上1
y t t
=+的单调增区间为(,1]-∞-和[1,)+∞
法二：y ==
记u ，则2x 越大，u 的值越大，从而u 的最小值为3
2．
当0u >
时，y =u 取最小值
32时，对应有原函数的最小值5
2
．
2t =≥，知1
(2)y t t t
=+≥，可得关于t 的二次方程210t yt -+=，
∵2t ≥，故使得此方程有一个大于等于2的根的y 值可取到．
设函数2()1f t t yt =-+，它的图象为开口向上的抛物线，且有(0)10f =>，且若存在两根，则两根之积等
于1，故当且仅当(2)0f ≤时满足条件，解得5
2
y ≥．
27.函数()992(33)x x x x
f x --=+-+的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3-
D ．2-
【解析】2()(33)2(33)2x x x x f x --=+-+-，设33x x t -=+，则2t ≥．
()f x 可化为2222(1)3y t t t =--=--，故当2t =时y 取得最小值为2-．
【答案】D ； 28.⑴求函数22
4
1
y x x =+
+的最小值，并求出取得最小值时的x 值． ⑵
求y =的最大值．
【答案】⑴∵2241,
01x x +>+，∴22
2244(1)111
y x x x x =+=++-+
+13=≥，
∴y 的最小值为3，当且仅当224
11
x x =++，即1x =±时取到此最小值．
0，
∴y =
63==
=，
时，即22x =
，x =y
29.⑴求函数21
1ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值
⑵求函数3
12y x x
=--的取值范围．
【答案】⑴法一；
211(1)(1)121111
ax x ax x a a y ax ax a a x a x x x x ++-+==+=+-+=+++-++++，
∵1x >-，0a >，∴(1)0,01
a
a x x +>>+，∴上式2121a a +-=≥，
当且仅当(1)1
a
a x x +=+，即0x =或2x =-（舍去）时等号成立，∴min 1y =．
法二：
令1t x =+，则0,1t x t >=-，代入函数表达式得：2(1)(1)112a t t a
y at a t t
-+-+==++-，
∵0,0t a >>，∴
上式121a -=≥，
当且仅当a
at t
=，即1t =（负值舍去）等号成立．此时10x t =-=．
⑵①当0x >时，320,0x x >>
，
33121(2)11y x x x x =--=-+-=-≤，当且仅当3
2(0)x x x =>，
即x =
(,1y ∈-∞-； ②当0x <时，320,0x
->->
，又3
(2)()6x x
-⋅-=，
∴31211y x x =-
-++≥
当且仅当3
2(0)x x x
-=-<
，即x =时，取到等号，此时[1)y ∈++∞，
综上知，此函数的取值范围为：(,1[12
6,)-∞-++∞．
30.⑴求函数22(2)y x x =
-的最大值． ⑵求2y
=
的最小值．
⑶求函数2y =的最值．
【答案】⑴法一：由2
(
)2
a b a b ab ++⇒≥≤（其中0,0a b >>） 当2
02x <<时，0y >，且有222
2
2
2(2)()12
x x x x +--=≤，
当且仅当222x x =-，即1x =±时等号成立． 当2x ≥或0x =时，0y ≤．
故此函数的最大值为1，在1x =±取到此最大值．
法二：2222(2)(1)11y x x x =-=--+≤，当21x =时，取到等号，即此时函数的最大值．
⑵22
1122y ===
22x =，x =
即y x =
⑶设3t =，∴2
1y t t =
=+．
当3t ≥时，函数1
y t t
=+递增．
故原函数的最小值为110
333
+=，无最大值．
31.⑴已知54x <，求函数1
1454y x x
=-+-的最小值．
⑵求函数3
12y x x =--的取值范围．
⑶求函数22
(2)y x x =-的最大值．
【答案】⑴∵5
4
x <，∴540x ->，
∴11
14(54)45454y x x x x
=-+
=-+---4≥2=- 当且仅当15454x x -=-，即1x =时取等号（3
2
x =舍去）∴当1x =时，y 有最小值2-．
⑵当0x >时，320,0x x >>，又3
26x x
⋅=，
当且仅当32x x =，即x =时，函数3
2x x
+有最小值
∴此时有max 1y =-，从而当0x >时，有(,1y ∈-∞-；
当0x <时，320,0x x ->->，又3
(2)()6x x
-⋅-=，
当且仅当32x x -=-，即x =时，函数3
(2)x x
-+有最小值
∴此时有min 1y =+0x <时，有[1)y ∈++∞．
∴此函数的取值范围为：(,1[126,)-∞-++∞．
⑶法一：由2
()2
a b a b ab ++≥≤（其中0,0a b >>）
当202x <<时，0y >，且有2222
22(2)()12
x x x x +--=≤，
当且仅当22
2x x =-，即1x =±时等号成立．当2x ≥或0x =时，0y ≤． 故此函数的最大值为1，在1x =±取到此最大值．
法二：2222(2)(1)11y x x x =-=--+≤，当21x =时，取到等号，即此时函数的最大值．
32. ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222
()≥
a b a b x y x y
+++，指出等号成立的条件； ⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1
(0)2
，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．
【答案】⑴应用2元均值不等式，得
22222222()()≥a b y x x y a b a b a b x y x y ++=++⋅+⋅++2()a b =+， 故222()≥a b a b x y x y +++．当且仅当22y x a b x y ⋅=⋅，即x a y b
=时上式取等号．
⑵由⑴22223(23)()252122(12)≥f x x x x x +=+=-+-．
当且仅当23212x x =
-，即1
5
x =时上式取最小值，即min [()]25f x =． 33.分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213
()32(0)f x x x x x x
=+++->的最小值．
【答案】先求()g x 的最小值：
22221311139()32()3()()24
g x x x x x x x x x x x =-+
+-=---=---， 当132x x -=时，即2x =（负值舍去）时，()g x 取到最小值94-；
再求()f x 的最小值：
法一：22221311()32()3()2326≥f x x x x x x x x x =+++-=+++-⨯=，
当且仅当1
x x
=
，即1x =时取到等号，故()f x 的最小值为6． 法二：222213111325
()32()3()4()24f x x x x x x x x x x x =+++-=+++-=++-，
∵0x >，∴12≥x x +，当且仅当1
2x x +=，即1x =时，()f x 取到最小值6．
34.求函数42233
1x x y x ++=+的最小值．
【答案】422
22
331(1)121311
≥x x y x x x ++==++++=++，当且仅当0x =时取到等号；
35.函数()f x =
的最大值为（ ）
A ．
25
B ．
12
C D ．1
【解析】()12
f x ==，1x =时取等号． 【答案】B ；
36.设函数1
()21(0)f x x x x
=+-<，则()f x （ ）
A ．有最大值
B ．有最小值
C ．是增函数
D ．是减函数
【解析】12x x -+=-≥()1f x -≤，当2
x =时等号成立．
【答案】A ；
37.设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为 ． 【考点】代数式的最值
【难度】3星 【题型】填空
【关键字】无
【解析】∵22log log 1x y +=，∴2xy =．
2222()()2()2S x y x y x y x y xy =+-+=+-+- 22()2()4(1)5x y x y x y =+-+-=+--
221)51)54-=-=-≥
当x y =时取到等号
【答案】4-
38.设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则11
a b +的最小值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．1
D ．1
4
【关键字】2009年，天津高考
【解析】考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
因为333a b ⋅=，所以1a b +=，
于是
1111()()224≥b a a b a b a b a b +=++=+++， 当且仅当
b a a b =即1
2
a b ==时“=”成立． 【答案】B ；
39.已知：0x >，求23
4x x +的最小值．
【答案】∵0x >，∴223334422x x x x x +
=++=≥
当2
3
42x x
=，即x =时，取到等号，故原式的最小值为
40.已知：,,0,1x y z x y z >++=，求149
x y z
++的最小值．
【答案】
14949x y z x y z x y z
x y z x y z ++++++++=+⋅+⋅
4949
149()()()y x z x z y
x y x z y z
=++++++++1436+=≥，
当且仅当23y z x =
=，即111
,,632
x y z ===时取到等号．故149x y z ++的最小值为36．
41.已知a 、b 、c +∈R 且1a b c ++=
【答案】由柯西不等式得
(()()()
22211111141414134321a b c a b c +++++++=+++=⎡⎤⎣⎦≤当且仅当
1
3
a b c ===时等号成立．
42.求1111sin cos y a a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值π02a ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭． 【答案】由柯西不等式得
1111
sin cos y a a ⎛
⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2
22111111sin cos a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎛⎫⎛⎫=++⋅+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎣
⎦⎣⎦≥
(2
2
11⎛=+ ⎝
≥3=+
所以3y +≥π
4
a =
时等号成立．故min 3y =+43.若0,0a b >>，且2a b +=，求22a b +的最小值． 【答案】和定求平方和的最小值可用：2
2
2
()2
a b a b ++≥
∵2a b += ∴222a b +≥，即22a b +的最小值为2． 当且仅当1a b ==时取到此最小值．
44.已知0,0a b >>，1a b +=2． 【答案】法一：
利用基本不等式：2a b +得：
2， 当且仅当1122a b +=+，即1
2
a b ==时，取到等号．
法二：21122a b +=++++2=+ ∵0,0a b >>，1a b +=，∴21()24a b ab +=≤，当且仅当1
2
a b ==时取等号．
从而224+≤2，当且仅当1
2
a b ==时取等号． 45.已知给定正数a ，b 和未知数x ，y ，且0x >，0y >，满足10a b +=，1a b
x y
+=，x y +的最小值为18，
求a ，b 的值．
【答案】()()10≥a b y x
x y x y a b a b x y x y
+=++=⋅+⋅++，当且仅当22ay bx =时取到等号．由题意
知，此时101816ab =⇒=，又10a b +=，解得28a b =⎧⎨
=⎩或8
2a b =⎧⎨=⎩
； 46.若，
a b +∈R ，且1ab a b =++，分别求a b +和ab 的最小值．
【答案】11≥ab a b =+++∴10≥ab -．
13ab +≥+1a b == 又2
12≤a b a b ab +⎛⎫++= ⎪⎝⎭
，∴2
()4()40≥a b a b +-+-．
即2(1≥a b ++ （此时1a b ==+，∴ab 的最小值为3+a b +的最小值为2(1+．
47.若a 是12b +与12b -的等比中项，则22ab
a b +的最大值为（ ）
A ．
1552 B ．4
2 C
【关键字】2007年，重庆高考
【解析】法一：a 是12b +与12b -的等比中项，则222214414a b a b ab =-⇒+=≥ ∴14
ab ≤，∵()2224241a b a b ab +=+-=
∴
22ab a b ==+
=∵1||4
ab ≤，∴14ab ≥∴22
ab a b +
法二：∵a 是12b +与12b -的等比中项，2214a b =- ∴22(2)1a b +=
令sin 2cos a b αα=⎧⎨=⎩，则2sin cos 2sin cos ab a b αααα⋅=++ 令sin cos sin cos t αααα
⋅=+，若sin cos 0αα=，则0t =．若sin cos 0αα≠，不妨设sin 0α>，cos 0α>
则sin cos 1sin cos 11sin cos sin cos cos sin t αααααααααα++===+⋅⋅
≥当且仅当11cos sin αα==
1t
取得最小值
t 【答案】B。