2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试卷及解析

2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1．（3分）若x 与3互为相反数，则||3x +等于( ) A ．3-
B ．0
C ．3
D ．6
2．（3分）下列运算正确的是( ) A ．22()a a -=
B ．624a a a -=
C ．224363a a a -+=
D ．235()a a =
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,2)-，作点A 关于y 轴的对称点，得到点A '，再将点A '向下平移4个单位，得到点A ''，则点A ''的坐标是( ) A ．(1,2)--
B ．(1,2)
C ．(1,2)-
D ．(2,1)-
4．（3分）如图中有四条互相不平行的直线1L 、2L 、3L 、4L 所截出的七个角 ． 关于这七个角的度数关系， 下列何者正确( )
A ．247∠=∠+∠
B ．316∠=∠+∠
C ．146180∠+∠+∠=︒
D ．235360∠+∠+∠=︒
5．（3分）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x 人，女孩有y 人，则下列方程组正确的是( )
A ．12x y x y -=⎧⎨=⎩
B ．2(1)x y x y =⎧⎨=-⎩
C ．12(1)x y
x y -=⎧⎨=-⎩
D ．12(1)x y
x y +=⎧⎨=-⎩
6．（3分）王师傅驾车到某地办事，洗车出发前油箱中有50升油．王师傅的车每小时耗油12升，行驶3小时后，他在一高速公路服务站先停车加油26升，再吃饭、休息，此过程共耗时1小时，然后他继续行驶，下列图象大致反映油箱中剩余油量y （升)与行驶时间t （小时）之间的函数关系的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，tan 2BAC ∠=，(0,)A a ，(,0)B b ，点C 在第二象限，BC 与y 轴交于点(0,)D c ，若y 轴平分BAC ∠，则点C 的坐标不能表示为( )
A ．(2,2)b a b +
B ．(2,2)b c b --
C ．(,22)b c a c ----
D ．(,22)a c a c ---
8．（3分）已知正方形MNOK 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与AB 边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B 顺时针旋转，使KM 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN 边与CD 边重合，完成第二次旋转；⋯⋯连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B ，M 间的距离可能是( )
A ．0.5
B ．0.7
C 21
D 31
9．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以OB 为直径画圆M ，过D 作M 的切
线，切点为N ，分别交AC 、BC 于点E 、F ，已知5AE =，3CE =，则DF 的长是( )
A ．3
B ．4
C ．4.8
D ．5
10．（3分）小轩从如图所示的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象中，观察得出了下面五条信息：①0abc <；②0a b c ++<；③20b c +>；④240ac b ->；⑤3
2
a b =．你认为其中正确信息的个数有(
)
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分， 11．（4分）分解因式2233a b -= ．
12．（4分）若一组数据4，a ，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是 ．
13．（4分）ABC ∆的两边长分别为2和3，第三边的长是方程28150x x -+=的根，则ABC ∆的周长是 ． 14．（4分）如图，在22⨯的网格中，以顶点O 为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点
A ，则tan ABO ∠的值为 ．
15．（4分）如图，已知P 为等边ABC ∆形内一点，且3PA cm =，4PB cm =，5PC cm =，则图中PBC ∆的面积为 2cm ．
16．（4分）如图，在菱形ABCD 中，45DAB ∠=︒，2AB =，P 为线段AB 上一动点，且不与点A 重合，过点P 作PE AB ⊥交AD 于点E ，将A ∠沿PE 折叠，点A 落在直线AB 上点F 处，连接DF 、CF ，当CDF ∆为等腰三角形时，AP 的长是 ．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分.
17．如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为
1
3
x +．
（1）求被墨水污染的部分； （2）原分式的值能等于
1
7
吗？为什么？ 18．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）: 七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98 八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98 整理得到如下统计表 年级 最高分 平均分 中位数
众数
方差 七年级 98 94
a
m
7.6 八年级
98
n
94 93
6.6
根据以上信息，完成下列问题
（1）填空：a = ；m = ；n = ； （2）两个年级中， 年级成绩更稳定；
（3）七年级两名最高分选手分别记为：1A ，2A ，八年级第一、第二名选手分别记为1B ，2B ，现从这四
人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率． 19．我们把有两边对应相等，且夹角互补（不相等）的两个三角形叫做“互补三角形”，如图1，ABCD 中，AOB ∆和BOC ∆是“互补三角形”． （1）写出图1中另外一组“互补三角形” ；
（2）在图2中，用尺规作出一个EFH ∆，使得EFH ∆和EFG ∆为“互补三角形”，且EFH ∆和EFG ∆在EF 同侧，并证明这一组“互补三角形”的面积相等．
20．跳跳一家外出自驾游，出发时油箱里还剩有汽油30升，已知跳跳家的汽车没百千米平均油耗为12升，设油箱里剩下的油量为y （单位：升），汽车行驶的路程为x （单位：千米）， （1）求y 关于x 的函数表达式；
（2）若跳跳家的汽车油箱中的油量低于5升时，仪表盘会亮起黄灯警报．要使油箱中的存油量不低于5升，跳跳爸爸至多能够行驶多少千米就要进加油站加油？
21．已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧． （1）如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；
（2）当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB ∠的大小．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线1
22
y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ．点C 的坐标是(1,0)-，
抛物线22y ax bx =+-经过A 、C 两点且交y 轴于点D ．点P 为x 轴上一点，过点P 作x 轴的垂线交直线
AB 于点M ，交抛物线于点Q ，连接DQ ，设点P 的横坐标为(0)m m ≠．
（1）求点A 的坐标． （2）求抛物线的表达式．
（3）当以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求m 的值．
23．如图：AB 是O 的直径，点D 在O 上，AC 交O 于G ，E 是AG 上一点，D 为BCE ∆内心，BE 交AD 于F ，且DBE BAD ∠=∠． （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：DF DG =；
（3）若45ADG ∠=︒，1DF =，则有两个结论：①AD BD 的值不变；②AD BD -的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1．【解答】解：x 与3互为相反数， 3x ∴=-，
||3|3|3336x ∴+=-+=+=．
故选：D ．
2．【解答】解：A 、22()a a -=，正确；
B 、62a a -，无法计算，故此选项错误；
C 、222363a a a -+=，故此选项错误；
D 、236()a a =，故此选项错误．
故选：A ．
3．【解答】解：点A 的坐标是(1,2)-，作点A 关于y 轴的对称点，得到点A '， (1,2)A ∴'，
将点A '向下平移4个单位，得到点A ''，
∴点A ''的坐标是：(1,2)-．
故选：C ． 4．【解答】解：
四条互相不平行的直线1L 、2L 、3L 、4L 所截出的七个角，
1AOB ∠=∠，
46180AOB ∠+∠+∠=︒， 146180∴∠+∠+∠=︒． 故选：C ．
5．【解答】解：设男孩x 人，女孩有y 人，根据题意得出：
12(1)x y
y x -=⎧⎨
-=⎩
， 解得：43x y =⎧⎨=⎩
，
故选：C ．
6．【解答】解：根据题意可得：油量先下降到14升，然后加油，油量上升，加油、吃饭、休息的这一小时，油量不减少，然后开始行驶，油量降低． 故选：D ．
7．【解答】解：作CH x ⊥轴于H ，AC 交OH 于F ．
tan 2BC
BAC AB
∠=
=， 90CBH ABH ∠+∠=︒，90ABH OAB ∠+∠=︒， CBH BAO ∴∠=∠，90CHB AOB ∠=∠=︒， CBH BAO ∴∆∆∽，
∴
2BH CH BC
AO BO AB
===， 2BH a ∴=-，2CH b =，
(2,2)C b a b ∴+，
由题意可证CHF BOD ∆∆∽，
∴CH HF
BO OD =
， ∴
2b FH
b c
=
， 2FH c ∴=，
(2,2)C b c b ∴--， 222c b a +=-，
222b a c ∴=--，b a c =--，
(,22)C a c a c ∴---，
故选：C ．
8．【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M 的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B ，M 间的距离大于等于221，
当正方形和正六边形的边重合时，点B ，M 间的距离可能是131， 故选：D ．
9．【解答】解：延长EF ，过点B 作直线平行AC 和EF 相交于P ， 5AE =，3EC =， 8AC AE CE ∴=+=，
四边形ABCD 是菱形， 1
42
OA OC AC ∴==
=，AC BD ⊥， 431OE OC CE ∴=-=-=，
以OB 为直径画圆M ， AC ∴是M 的切线， DN 是M 的切线， 1EN OE ∴==，MN AN ⊥， 90DNM DOE ∴∠=∠=︒， MDN EDO ∠=∠， DMN DEO ∴∆∆∽， ::DM MN DE OE ∴=，
1
2MN BM OM OB ===，
3DM OD OM MN ∴=+=，
33DE OE ∴==， //OE BP ， ::OD OB DE EP ∴=， OD OB =， 3DE EP ∴==， 22BP OE ∴==， //OE BP ， EFC PFB ∴∆∆∽，
::3:2EF PF EC BP ∴==， :3:5EF EP ∴=，
3
1.85
EF EP ∴=⨯=，
3 1.8 4.8DF DE EF ∴=+=+=．
故选：C ．
10．【解答】解：图象开口向下， 0a ∴<，
对称轴132b x a =-=-，
32b a ∴=，则3
2a b =，
0b ∴<，
图象与x 轴交于y 轴正半轴， 0c ∴>，
0abc ∴>，故选项①错误；选项⑤正确；
②由图象可得出：当1x =时，0y <， 0a b c ∴++<，故选项②正确；
③当1x =-时，0y a b c =-+>，
∴
3
02
b b
c -+>，
20b c ∴+>，故选项③正确；
④抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ->，则240ac b -<， 故选项④错误． 故正确的有3个． 故选：B ．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分， 11．【解答】解：2233a b -
223()a b =- 3()()a b a b =+-．
故答案是：3()()a b a b +-．
12．【解答】解：一组数据4，a ，7，8，3的平均数是5 478355a ∴++++=⨯
解得：3a =
从小到大排列为：3，3，4，7，8 第3个数是4，
∴这组数据的中位数为4．
故答案为：4．
13．【解答】解：解方程28150x x -+=可得3x =或5x =， ABC ∴∆的第三边为3或5，
但当第三边为5时，235+=，不满足三角形三边关系， ABC ∴∆的第三边长为3， ABC ∴∆的周长为2338++=，
故答案为：8．
14．【解答】解：如图，连接OA ，过点A 作AC OB ⊥于点C ，
则1AC =，2OA OB ==，
在Rt AOC ∆中，2222213OC OA AC =-=-=
23BC OB OC ∴=-=-，
∴在Rt ABC ∆中，1
tan 2323
AC ABO BC ∠=
==+-． 故答案是：23+．
15．【解答】解：如图，将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BKA ∆， 则4PB BK ==，5AK PC ==，60PBK ∠=︒，
KBP ∴∆为等边三角形，
60KPB ∴∠=︒，4KP =， 3AP =，
222AP KP AK ∴+=，
90APK ∴∠=︒， 150APB ∴∠=︒，
作BH AP ⊥于H ，则30BPH ∠=︒， 1
22
BH BP ∴=
=， PBC ∴∆的面积AKB =∆的面积2131
34423343242
APK BPK APB S S S ∆∆∆=+-=⨯⨯+
⨯-⨯⨯=+． 故答案为：433+．
16．【解答】解：如图1，当DF CD =时，点F 与A 重合或在点F '处． 在菱形ABCD 中，2AB =， 2CD AD ∴==，
作DN AB ⊥于N ，
由折叠的性质得：此时点P 与N 重合， 在Rt ADN ∆中，2AD =，45DAN ∠=︒，2DN AN NF =='
2AP ∴
如图2，当2CF CD ==时，点F 与B 重合或在F '处，
点F 与B 重合，
PE ∴是AB 的垂直平分线，
1
12
AP AB ∴=
=； 点F 落在F '处时，222AF '=+， 1
122
AP AF '∴=
=+； P 在AB 上，
2AP ∴<，12AP =+，舍去
如图3中，当FD FC =时， 21AF =+，
121222
AP AF ∴=
=+． 综上所述：当CDF ∆为等腰三角形时，AP 的长为2或1或21
22
+． 故答案为：2或1或
2122
+．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分. 17．【解答】解：（1）设被墨水污染的部分是A ，
由题意得，
241
933
x A x x x -÷=
--+， 解得4A x =-；
故被墨水污染的部分为4x -； （2）解：不能，若1137
x =+， 则4x =， 由分式，
2
24443
9394
x x x x x x x x ----÷=⋅----， 当4x =时，原分式无意义， 所以不能．
18．【解答】解：（1）94a =；92m =， 1
(88939393949495959798)9410
n =
+++++++++=； （2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小， 所以八年级的成绩稳定； 故答案为94，92，94；八； （3）列表得：
共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，
P ∴（这两人分别来自不同年级的概率）82123
=
=． 19．【解答】解：（1）ABCD 中，OA OC =， OD OD =，180AOD COD ∠+∠=︒，
AOD ∴∆和DOC ∆是“互补三角形”， 故答案为：AOD ∆和DOC ∆；
（2）如图所示，//EH FG ，且EH FG =，则EFH ∆即为所求，
证明：连接GH ，
//EH FG ，且EH FG =，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
//GH EF ∴， EFG EFH S S ∆∆∴=．
20．【解答】解：（1）设y 关于x 的函数表达式为：y kx b =+，因为0.12k =-， 把0x =，30y =代入0.12y x b =-+， 可得30b =，
y 关于x 的函数表达式为：0.1230y x =-+；
（2）当5y 时，0.12305x -+， 625
3
x 答：跳跳爸爸至多能够行驶
625
3
千米就要进加油站加油． 21．【解答】解：（1）①如图，作AE PB ⊥于点E ，
APE ∆中，45APE ∠=︒，2PA =
2
21AE PE ∴===， 4PB =，3BE PB PE ∴=-=，
在Rt ABE ∆中，90AEB ∠=︒，
2210AB AE BE ∴=+=．
②解法一：如图，因为四边形ABCD 为正方形，可将
PAD ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到△P AB '，
可得PAD ∆≅△P AB '，PD P B '=，PA P A '=． 90PAP '∴∠=︒，45APP '∠=︒，90P PB '∠=︒ 22PP PA ∴'==，
22222425PD P B PP PB ∴='='+=+=；
解法二：如图，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，与DA 的 延长线交PB 于G ． 在Rt AEG ∆中， 可得10cos cos 3AE AE AG EAG ABE =
==
∠∠，13EG =，2
3
PG PE EG =-=． 在Rt PFG ∆中，
可得10cos cos 5PF PG FPG PG ABE =∠=∠=，10
15
FG =． 在Rt PDF ∆中，可得，
2222
101010()(
)(10)255153
PD PF AD AG FG =+++=+++=． （2）如图所示，
将PAD ∆绕点A 顺时针旋转90︒
得到△P AB '，PD 的最大值即为P B '的最大值，
△P PB '中，P B PP PB ''<+，22PP PA '==，4PB =， 且P 、D 两点落在直线AB 的两侧，
∴当P '、P 、B 三点共线时，P B '取得最大值（如图）
此时6P B PP PB ''=+=，即P B '的最大值为6． 此时180135APB APP '∠=︒-∠=度．
22．【解答】解：（1）令1
202
y x =-+=，解得：4x =，0y =，则2x =，
即：点A 坐标为：(4,0)，
B 点坐标为：(0,2)；
（2）把点A 、C 坐标代入二次函数表达式， 解得：3
2
b =-，12a =，
故：二次函数表达式为：213
222
y x x =
--； （3）设点1(,2)2M m m -+，则213
(,2)22
Q m m m --，
以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时， 则：21
||(4)42MQ m m BD =±--==，
当21
442
m m --=，
解得：1m = 当21
442
m m --=-， 解得：2m =，0m =（舍去）；
故：2m =或1+或1 23．【解答】（1）证明：连接DE ，BG ．
D 为BC
E ∆内心，
DBC DBE ∴∠=∠，
DBE BAD ∠=∠，
DBC BAD ∴∠=∠，
AB 是O 的直径，
90AGB ∴∠=︒， 90BCG CBG ∴∠+∠=︒， 90BCG CBD GBD ∴∠+∠+∠=︒，
DAC DBG ∠=∠，ADB DAC ACB CBD ∠=∠+∠+∠， 90ADB DBG ACB CBD ∴∠=∠+∠+∠=︒ 90BAD ABD ∴∠+∠=︒，
90DBC ABD ∴∠+∠=︒，即90ABC ∠=︒，
AB BC ∴⊥，
BC ∴是O 的切线；
（2）证明：如图1，连接DE ， DBC BAD ∠=∠，DBC DBE ∠=∠，
DBE BAD ∴∠=∠，
ABF BAD ABF DBE ∴∠+∠=∠+∠， BFD ABD ∴∠=∠，
DGC ABD ∠=∠， BFD DGC ∴∠=∠， DFE DGE ∴∠=∠，
D 为BC
E ∆内心，
DEG DEB ∴∠=∠，
在DEF ∆和DEG ∆中DFE DGE DEG DEF DE DE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DEF DEG AAS ∴∆≅∆， DF DG ∴=；
（3）解：AD BD -的值不变；
如图2，在AD 上截取DH BD =，连接BH 、BG ，
AB 是直径，
90ADB AGB ∴∠=∠=︒， 45ADG ∠=︒， 45ABG ADG ∴∠=∠=︒，
∴AB ，
90BDH ∠=︒，BD DH =， 45BHD ∴∠=︒，
18045135AHB ∴∠=︒-︒=︒，
9045135BDG ADB ADG ∠=∠+∠=︒+︒=︒， AHB BDG ∴∠=∠， BAD BGD ∠=∠，
ABH GBD ∴∆∆∽，
∴
2AH AB
DG BG ==， 1DG =，
∴2AH =，
AD BD AD DH AH -=-=，
∴2AD BD -=．。